線(xiàn)性微分方程與常數(shù)變異法ppt課件

1、一階線(xiàn)性微分方程 第四節(jié) 第十二章 )()(xQyxPdxdy )()(xQyxPdxdy 一階線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一階線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: :, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上述方程稱(chēng)為齊次的上述方程稱(chēng)為齊次的. .上述方程稱(chēng)為非齊次的上述方程稱(chēng)為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)一、一階線(xiàn)性方程的定義一、一階線(xiàn)性方程的定義例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 223,yyxy , 1cos yy線(xiàn)性的線(xiàn)性的; ;非線(xiàn)性的非線(xiàn)性的. .2dxyxydy我也是！. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy1ln|( )ln|,yP x dxC 齊次方程的通解為：齊

2、次方程的通解為：.)( dxxPCey1. 線(xiàn)性齊次方程線(xiàn)性齊次方程二、一階線(xiàn)性微分方程的解法二、一階線(xiàn)性微分方程的解法可分離變量的方程可分離變量的方程只寫(xiě)一個(gè)原函數(shù)2. 2. 線(xiàn)性非齊次方程線(xiàn)性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy ,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設(shè)設(shè) ,)()(ln dxxPxvy()().v xP x dxyee 即即與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:()( )v xCeu x.)( dxxPCey常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)

3、的方法. .設(shè)設(shè) dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy是方程是方程 的解，那的解，那么么).()(xQyxPdxdy yy 和和代代入入原原方方程程得得),()()(xQexudxxP ,)()()(CdxexQxudxxP 積分得積分得,)()()(CdxexQxudxxP 積分得積分得一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解公式為一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解公式為:( )( )P x dxyQ x edxC ( )( )( )( )P x dxP x dxP x dxyCeeQ x edx 對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解( )

4、P x dxe 一階線(xiàn)性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)一階線(xiàn)性非奇次方程解的結(jié)構(gòu).sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ 1dxxye ln| |ln| |sinxxxeedxCx Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解：解：例例1 1( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC sin xx 1dxxedxC 本章類(lèi)本章類(lèi)似積分似積分可不加可不加絕對(duì)值絕對(duì)值例例2 2322(1).1dyxydxx 求求方方程程的的通通解解解：解：322(1) .1dyyxdxx 化為標(biāo)準(zhǔn)型：化為標(biāo)準(zhǔn)型：21dxxye 32ln(1)2ln(1)2(1)xxe

5、xedxC 32(1)x 21dxxe dxC 2ln(1)xe 2ln(1)xe 2(1)x 2(1)x 2(1) ?x3222(1)(1)(1)xxxdxC 122(1)(1)xxdxC 122(1)2(1)xxC32ln(1)2ln(1)2(1)xxyexedxC 5222(1)(1)xC x例例3. 3. 求方程求方程 的通解的通解. .tan5dyxydx解法一解法一: : 一階線(xiàn)性微分方程公式一階線(xiàn)性微分方程公式cot xdxye 5cot x cot xdxedxC ln|sin | xe 5cot x ln|sin | xedxC sin x 5cot x 1sindxCx s

6、in x 2cos5sinxdxCx 5sinCx 例例3. 3. 求方程求方程 的通解的通解. .tan5dyxydx解法二解法二: : 分離變量法分離變量法5tandydxyx 5tandydxyx 1ln|5| ln|sin|ln|yxC sin5.yCx2;2 sindyyxyxydx 例例4 4 如下圖，平行于如下圖，平行于 軸的動(dòng)直線(xiàn)被曲軸的動(dòng)直線(xiàn)被曲 線(xiàn)線(xiàn) 與與 截下的線(xiàn)段截下的線(xiàn)段PQPQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積, , 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得

7、,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線(xiàn)為所求曲線(xiàn)為).222(32 xxeyx23xyy dxxPdxxPeCdxexQy)()()(例例5 5：設(shè)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)：設(shè)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn) P(x,y) P(x,y) 處的切線(xiàn)與射線(xiàn)處的切線(xiàn)與射線(xiàn) OP OP 以及以及y y 軸圍成圖形的面積是常數(shù)軸圍成圖形的面積是常數(shù)a. a. 求曲線(xiàn)的方程求曲線(xiàn)的方程. .xPyoxA切線(xiàn)方程：切線(xiàn)方程：Yy y ()Xx 令令 X= 0 , 得得 A 點(diǎn)的縱坐標(biāo)點(diǎn)的縱坐標(biāo).Yyxy 1|

8、.2Sxyxya 2| 2 .xyx ya 22 .xyx ya 212.ayyxx 22 .xyx ya 212.ayyxx dxxPdxxPeCdxexQy)()()(11212dxdxxxaeedxCx 312axdxCx 2122axxC 2122axxC (1);2yyeyyxe 例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解2yydxyxedye 2ydxxyedy ( )( )( )P y dyP y dyxeQ y edyC 11 2dydyyxeyeedyC 2yyyeyee dyC 2yeyC 20(2)( )( ).xf t dtf xx 例例6 6：求下列方程的解：求下列方

9、程的解2( )( )2f xfxx兩邊求導(dǎo)，得兩邊求導(dǎo)，得22yyx(0)0.f 積分方程有時(shí)會(huì)蘊(yùn)含定解條件積分方程有時(shí)會(huì)蘊(yùn)含定解條件2 2xxyex e dxC 22(22).xxxCe 22(22)4.xyxxe 例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解00( )(1)( ).xxxy t dtxty t dt（3 3） 設(shè)設(shè)y(x)y(x)當(dāng)當(dāng)x0 x0 時(shí)可微，且滿(mǎn)足時(shí)可微，且滿(mǎn)足求求 y.y.00( )( )( )(1)( ).xxy t dtxy xty t dtxxy x 200( )( )( ).xxy t dtty t dtx y x2( )( )2( )( ).y xxy

10、 xxy xx yx 23.yxyx y 2310.xyyx 13ln| |.xxyCe 兩兩次次求求導(dǎo)導(dǎo)( )f x(,) 0( )(2 ) ( ),xF xxt f t dt( )F x3 3、設(shè)、設(shè)在在上連續(xù)，且上連續(xù)，且單調(diào)減少，單調(diào)減少，單調(diào)增加。單調(diào)增加。證明：證明：00( )( )2( )xxF xxf t dttf t dt 0( )( )( )2( )xFxf t dtxf xxf x 積中 ( )( )x ff x 0( )( )0 xyf xFx 時(shí)時(shí) 由由單單調(diào)調(diào)減減少少得得0( )( )0 xyf xFx 時(shí)時(shí) 由由單單調(diào)調(diào)減減少少得得證明：證明：當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)所以命題成立。所以命題成立。( )f x( )(0