線性微分方程與常數(shù)變異法ppt課件

1、一階線性微分方程 第四節(jié) 第十二章 )()(xQyxPdxdy )()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程的標準形式一階線性微分方程的標準形式: :, 0)( xQ當當上述方程稱為齊次的上述方程稱為齊次的. .上述方程稱為非齊次的上述方程稱為非齊次的., 0)( xQ當當一、一階線性方程的定義一、一階線性方程的定義例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 223,yyxy , 1cos yy線性的線性的; ;非線性的非線性的. .2dxyxydy我也是！. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy1ln|( )ln|,yP x dxC 齊次方程的通解為：齊

2、次方程的通解為：.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性齊次方程二、一階線性微分方程的解法二、一階線性微分方程的解法可分離變量的方程可分離變量的方程只寫一個原函數(shù)2. 2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy ,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設設 ,)()(ln dxxPxvy()().v xP x dxyee 即即與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:()( )v xCeu x.)( dxxPCey常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)

3、的方法. .設設 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy是方程是方程 的解，那的解，那么么).()(xQyxPdxdy yy 和和代代入入原原方方程程得得),()()(xQexudxxP ,)()()(CdxexQxudxxP 積分得積分得,)()()(CdxexQxudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解公式為一階線性非齊次微分方程的通解公式為:( )( )P x dxyQ x edxC ( )( )( )( )P x dxP x dxP x dxyCeeQ x edx 對應齊次對應齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解( )

4、P x dxe 一階線性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)一階線性非奇次方程解的結(jié)構(gòu).sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ 1dxxye ln| |ln| |sinxxxeedxCx Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解：解：例例1 1( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC sin xx 1dxxedxC 本章類本章類似積分似積分可不加可不加絕對值絕對值例例2 2322(1).1dyxydxx 求求方方程程的的通通解解解：解：322(1) .1dyyxdxx 化為標準型：化為標準型：21dxxye 32ln(1)2ln(1)2(1)xxe

5、xedxC 32(1)x 21dxxe dxC 2ln(1)xe 2ln(1)xe 2(1)x 2(1)x 2(1) ?x3222(1)(1)(1)xxxdxC 122(1)(1)xxdxC 122(1)2(1)xxC32ln(1)2ln(1)2(1)xxyexedxC 5222(1)(1)xC x例例3. 3. 求方程求方程 的通解的通解. .tan5dyxydx解法一解法一: : 一階線性微分方程公式一階線性微分方程公式cot xdxye 5cot x cot xdxedxC ln|sin | xe 5cot x ln|sin | xedxC sin x 5cot x 1sindxCx s

6、in x 2cos5sinxdxCx 5sinCx 例例3. 3. 求方程求方程 的通解的通解. .tan5dyxydx解法二解法二: : 分離變量法分離變量法5tandydxyx 5tandydxyx 1ln|5| ln|sin|ln|yxC sin5.yCx2;2 sindyyxyxydx 例例4 4 如下圖，平行于如下圖，平行于 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQPQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, , 求曲線求曲線 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導得兩邊求導得

7、,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy dxxPdxxPeCdxexQy)()()(例例5 5：設曲線上任意一點：設曲線上任意一點 P(x,y) P(x,y) 處的切線與射線處的切線與射線 OP OP 以及以及y y 軸圍成圖形的面積是常數(shù)軸圍成圖形的面積是常數(shù)a. a. 求曲線的方程求曲線的方程. .xPyoxA切線方程：切線方程：Yy y ()Xx 令令 X= 0 , 得得 A 點的縱坐標點的縱坐標.Yyxy 1|

8、.2Sxyxya 2| 2 .xyx ya 22 .xyx ya 212.ayyxx 22 .xyx ya 212.ayyxx dxxPdxxPeCdxexQy)()()(11212dxdxxxaeedxCx 312axdxCx 2122axxC 2122axxC (1);2yyeyyxe 例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解2yydxyxedye 2ydxxyedy ( )( )( )P y dyP y dyxeQ y edyC 11 2dydyyxeyeedyC 2yyyeyee dyC 2yeyC 20(2)( )( ).xf t dtf xx 例例6 6：求下列方程的解：求下列方

9、程的解2( )( )2f xfxx兩邊求導，得兩邊求導，得22yyx(0)0.f 積分方程有時會蘊含定解條件積分方程有時會蘊含定解條件2 2xxyex e dxC 22(22).xxxCe 22(22)4.xyxxe 例例6 6：求下列方程的解：求下列方程的解00( )(1)( ).xxxy t dtxty t dt（3 3） 設設y(x)y(x)當當x0 x0 時可微，且滿足時可微，且滿足求求 y.y.00( )( )( )(1)( ).xxy t dtxy xty t dtxxy x 200( )( )( ).xxy t dtty t dtx y x2( )( )2( )( ).y xxy

10、 xxy xx yx 23.yxyx y 2310.xyyx 13ln| |.xxyCe 兩兩次次求求導導( )f x(,) 0( )(2 ) ( ),xF xxt f t dt( )F x3 3、設、設在在上連續(xù)，且上連續(xù)，且單調(diào)減少，單調(diào)減少，單調(diào)增加。單調(diào)增加。證明：證明：00( )( )2( )xxF xxf t dttf t dt 0( )( )( )2( )xFxf t dtxf xxf x 積中 ( )( )x ff x 0( )( )0 xyf xFx 時時 由由單單調(diào)調(diào)減減少少得得0( )( )0 xyf xFx 時時 由由單單調(diào)調(diào)減減少少得得證明：證明：當當當當所以命題成立。所以命題成立。( )f x( )(0