高二數(shù)學-直線與方程典型習題(教師版)

1、實用標準文案【知識點一：傾斜角與斜率】（ 1）直線的傾斜角關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點：1、與 x 軸相交； 2、 x 軸正向； 3、直線向上方向。直線與 x 軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為 00傾斜角的范圍 001800（ 2）直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為900 的直線斜率不存在 .記作 ktan (900 )當直線 l 與 x 軸平行或重合時 ,00, ktan 000當直線 l 與 x 軸垂直時 ,90 0, k 不存在 .經(jīng)過兩點 P1 (x1, y1 ), P( x2 , y2（)x1x2）的直線的斜率公式是y2y1kx1x2每條直線都有傾斜角，但并不是每條

2、直線都有斜率.（ 3）求斜率的一般方法：已知直線上兩點，根據(jù)斜率公式ky2y1 ( x2x1 ) 求斜率；x2x1已知直線的傾斜角或 的某種三角函數(shù)根據(jù)ktan來求斜率；（ 4）利用斜率證明三點共線的方法：已知 A( x1, y1), B(x2 , y2 ), C( x3 , y3 ) ，若 x1x2x3或 kABkBC ，則有 A 、 B、 C 三點共線?！局R點二：直線平行與垂直】（ 1）兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1 ,l 2 ，其斜率分別為 k1 , k2 ，則有 l1 / l 2k1 k2特別地， 當直線 l1 , l2 的斜率都不存在時，l1與l 2 的關(guān)系為平行（ 2）兩

3、條直線垂直：如果兩條直線 l1 , l2 斜率存在，設(shè)為 k1, k2 ，則有 l 1l 2k1 k2-1注： 兩條直線 l1 , l2 垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直；反過來， 兩直線垂直， 斜率之積不一定為-1。如果 l1 ,l 2 中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0 時， l1與l 2 互相垂直 .（ 2）線段的中點坐標公式若點 P1, P2的坐標分別是 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 )，精彩文檔實用標準文案xx1 x22且線段 PP12的中點 M (x, y)的坐標為y1y2y2【知識點四直線的交點坐

4、標與距離】（ 1）兩條直線的交點設(shè)兩條直線的方程是 l1 : A1 x B1 y C10 ,l2 : A2x B2 y C2 0A1 xB1 yC10兩條直線的交點坐標就是方程組的解。A2 xB2 yC20若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行.（ 2）幾種距離兩點間的距離： 平面上的兩點P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) 間的距離公式| PP1 2 |( x 2x1 ) 2( y 2 y1 ) 2特別地，原點 O (0,0) 與任一點 P( x, y) 的距離 | OP |x2y2點到直線的距離：點 P

5、( x , y ) 到直線 AxByC0 的距離0o0| Ax 0By 0C|dB 2A 2兩條平行線間的距離： 兩條平行線 Ax ByC0與AxBy C20 間的距離1d |C1 C2 | A2 B2注 :1 求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；2 求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計算。需要更多的高考數(shù)學復習資料精彩文檔實用標準文案精講精練【例】 已知，直線 l 過原點 O 且與線段AB 有公共點，則直線l 的斜率的取值范圍是（）ABCD答案： B分析：由于直線l 與線段 AB 有公共點，故直線l 的斜率應(yīng)介于OA ， OB 斜率之間解：由

6、題意，由于直線l 與線段 AB 有公共點，所以直線 l 的斜率的取值范圍是考點：本題主要考查直線的斜率公式，考查直線l 與線段 AB 有公共點，應(yīng)注意結(jié)合圖象理解【例】 在坐標平面內(nèi)，與點A （ 1， 2）距離為 1，且與點B （ 3， 1）距離為 2 的直線共有（）A1條B2條C3條D4條答案： B分析：由題意， A、 B 到直線距離是 1 和 2，則以 A、 B 為圓心，以 1、 2 為半徑作圓，兩圓的公切線的條數(shù)即可解：分別以A 、B 為圓心，以1、 2 為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求考點：本題考查點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想【例】 方程 xy1 所表示的圖形的面積為_。答

7、案： 2解：方程xy1 所表示的圖形是一個正方形，其邊長為2【例】 設(shè) a bk( k0, k為常數(shù) ) ，則直線 axby1恒過定點答案： (1,1)kk解： axby1變化為 ax(k a) y1,a( xy)ky10,對于任何 axy0R 都成立，則10ky【例】 一直線過點 M (3,4)，并且在兩坐標軸上截距之和為12 ，這條直線方程是 _ 答案： 4xy160，或x 3y90解：設(shè) y4k( x3), y0, x43; x0, y3k4;43 3k4 12kk3k4110,3 k 211k40, k4, 或 k1k3【例】 已知 A （ 1，2）， B（ 3， 4），直線l1： x

8、=0， l 2： y=0 和 l3： x+3y 1=0 、設(shè) Pi 是 l i （i=1 ， 2， 3）上與 A 、 B 兩點距離平方和最小的點，則P1P2P3 的面積是 _精彩文檔實用標準文案答案：分析：設(shè)出P1，P2， P3，求出 P1 到 A ， B 兩點的距離和最小時，P1 坐標，求出P2，P3 的坐標，然后再解三角形的面積即可解：設(shè) P1（ 0， b）， P2（ a，0）， P3（ x0， y0）由題設(shè)點P1 到 A ， B 兩點的距離和為顯然當 b=3 即 P1（ 0， 3）時，點P1 到 A ， B 兩點的距離和最小，同理P2（ 2，0）， P3（ 1， 0），所以考點：本題考查

9、得到直線的距離公式，函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題【例】 已知直線（ a 2） y= （ 3a 1） x1，為使這條直線不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)a 的范圍是 _答案： 2， +）分析：由已知中直線（a2） y= （ 3a 1） x 1 不經(jīng)過第二象限，我們分別討論a 2=0 （斜率不存在），a 20（斜率存在）兩種情況，討論滿足條件的實數(shù)a 的取值，進而綜合討論結(jié)果，得到答案解：若 a2=0 ，即 a=2 時，直線方程可化為x=，此時直線不經(jīng)過第二象限，滿足條件；若 a 20，直線方程可化為y=x，此時若直線不經(jīng)過第二象限，則0，0，解得 a 0綜上滿足條件的實數(shù)a 的范圍是 2，

10、+）考點：本題考查的知識點是確定直線位置的幾何要素，其中根據(jù)直線的斜截式方程中，當k0且 b0時，直線不過第二象限得到關(guān)于a的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵，但解答時，易忽略對a 2=0（斜率不存在）時的討論，而錯解為（2， +）?！纠?過點 A(5,4) 作一直線 l ，使它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5 。解：設(shè)直線為y4k (x 5), 交 x 軸于點 ( 45,0) ，交 y 軸于點 (0,5 k 4) ，kS1455k45, 401625k102kk得 25k 230k160 ，或 25 k250k 160解得28k, 或 k2x 5y 1 0 08x 5 y 20 0為

11、所求。5，或5【例】 直線 y3 x1和 x 軸， y 軸分別交于點A, B ，在線段 AB 為邊在第一象限內(nèi)作等邊ABC ，3如果在第一象限內(nèi)有一點P(m, 1 ) 使得 ABP 和 ABC 的面積相等，求 m的值。2解：由已知可得直線CP / AB ，設(shè) CP 的方程為 y3 x c,( c 1)3精彩文檔實用標準文案則 c 1AB33, c 3 ， y3 x3 過 P(m, 1)123213得13 m3, m53232【例】 已知點 A(1,1)， B(2, 2) ，點 P 在直線 y1 x 上，求 PA22PB 取得最小值時 P 點的坐標。22PB2(t1)2(2 t 2) 2(t2)

12、 210t 214t 10解：設(shè) P(2t, t) ，則 PA(2t 1)2當 t22P(7, 7 )7時，PAPB取得最小值，即10510【例】 求函數(shù) f (x)x22x2x24x8 的最小值。解： f ( x)( x1)2(01)2( x2) 2(02) 2 可看作點 ( x,0)到點 (1,1)和點 (2, 2) 的距離之和， 作點 (1,1)關(guān)于 x 軸對稱的點 (1, 1)f ( x)min123210【例】 在 ABC 中，已知 BC 邊上的高所在直線的方程為x 2y+1=0 ， A 的平分線所在直線的方程為y=0若點 B 的坐標為（1， 2），求點 C 的坐標分析：根據(jù)三角形的

13、性質(zhì)解A 點，再解出 AC 的方程，進而求出 BC 方程，解出C 點坐標逐步解答解：點 A 為 y=0 與 x2y+1=0 兩直線的交點，點 A 的坐標為（ 1， 0） kAB =1又 A 的平分線所在直線的方程是y=0 ，kAC= 1 直線 AC 的方程是 y= x 1而 BC 與 x 2y+1=0 垂直，kBC= 2 直線 BC 的方程是 y 2= 2（x 1）由 y= x1， y= 2x+4 ，解得 C（ 5， 6）考點：直線的點斜式方程。本題可以借助圖形幫助理解題意，將條件逐一轉(zhuǎn)化求解【例】 直線 l 過點 P（ 2，1），且分別與x ，y 軸的正半軸于 A ， B 兩點， O 為原點

14、（ 1）求 AOB 面積最小值時l 的方程；（ 2） |PA|?|PB|取最小值時 l 的方程分析：（ 1）設(shè) AB 方程為，點P（ 2，1）代入后應(yīng)用基本不等式求出ab 的最小值，即得三角形OAB 面積面積的最小值（2）設(shè)直線 l的點斜式方程，求出 A ，B 兩點的坐標，代入 |PA|?|PB|的解析式，精彩文檔實用標準文案使用基本不等式，求出最小值，注意檢驗等號成立條件解：（ 1）設(shè) A （a， 0）、 B （ 0，b ）， a0， b 0， AB 方程為，點 P（2， 1）代入得2， ab 8（當且僅當a=4， b=2 時，等號成立），故三角形 OAB 面積 S=ab4，此時直線方程為：

15、，即 x+2y 4=0（ 2）設(shè)直線l ：y 1=k （x 2），分別令y=0， x=0，得 A （ 2， 0）， B（ 0， 1 2k）則 |PA|?|PB|=4，當且僅當k2=1，即 k= ±1 時， |PA|?|PB|取最小值，又k 0，k= 1，這時 l 的方程為x+y 3=0考點：本題考查直線在坐標軸上的截距的定義，直線的截距式方程，以及基本不等式的應(yīng)用【例】 求傾斜角是直線y3x 1 的傾斜角的 14，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點 (3， 1)； (2)在 y 軸上的截距是5.解：直線的方程為y3x 1， k3，傾斜角 120°，3由題知所求直線的傾斜角為30°，即斜率為 3 .3(1)直線經(jīng)過點 ( 3， 1)，所求直線方程為y 1 3 (x3)，即3x 3y 6 0.(2)直線在 y 軸上的截距為 5，由斜截式知所求直線方程為y3x 5，即 3x 3y 150.3【例】 已知直線l： kx y 1 2k 0(1)證明：直線l 過定點；(2)若直線 l 交 x 負半軸于 A，交 y 正半軸于 B， AOB 的面積為 S，試求 S 的最小值并求出此時