求軌跡方程的常用方法例題及變式)

1、求軌跡方程的常用方法:題型一直接法此法是求軌跡方程最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件M I P(M )直接翻譯成X, y的形式f(x,y) =0,然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡f(X, y) = 0，要注意軌跡方程的純粹性和完備性，即曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說曲線上所有的點(diǎn)適合這個(gè)條件而毫無例外(純粹性)；反之，適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏(完備性)例 1 過點(diǎn)A(2,3)任作互相垂直的兩直線AM和AN，分別交x,y軸于點(diǎn)M , N，求線段MN中點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x, y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及M,N在軸上得M (0,2y),N(2x,0)(x,y- R)

2、寫AM丄AN二kAMRAN=1=_1(X工1)，化簡得4x + 6y-13 = 0 (x H1)2x2023當(dāng)x=1時(shí)，M(0,3),N(2,0)，此時(shí)MN的中點(diǎn)P (1,/它也滿足方程4x + 6y-13 = 0,所以中點(diǎn)P的軌跡方程為4x+ 6y-13 = 0o變式 1 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的 2 倍。(1) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2) 過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn)。若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜題型二定義法圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應(yīng)特別重視利用圓錐曲線的定義解題，包括用定義法求軌跡方程。. . 2 2例

3、 2 動(dòng)圓M過定點(diǎn)P(-4,0)，且與圓C :x +y -8x=0相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。解：根據(jù)題意II MC I - IMP IF 4，說明點(diǎn)M到定點(diǎn)C、P的距離之差的絕對值為定值,故點(diǎn)M的軌跡是雙曲線。打2a =4”a = 2,C = 4故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為2 2412變式 2在ABC中，BC =24, AC,AB 上的兩條中線長度之和為 39,求ABC的重心的軌跡方程.解：以線段BC所在直線為 x 軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)2系，如圖 1, M 為重心，則有|BM|+|CM I =X39 =26 .3 M 點(diǎn)的軌跡是以 B，C 為焦點(diǎn)的橢圓,其中 c =12, a

4、 =13 . 所求ABC的重心的軌跡方程為題型三相關(guān)點(diǎn)法此法的特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)M（X, y）的坐標(biāo)取決于已知曲線C上的點(diǎn)（X, y）的坐標(biāo)，可先用x, y來表示x,y，再代入曲線C的方程f（x,y） = O，即得點(diǎn)M的軌跡方程。2 2例 3 如圖，從雙曲線X -y =1上一點(diǎn)Q引直線x + y = 2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程分析：從題意看動(dòng)點(diǎn)P的相關(guān)點(diǎn)是Q,Q在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，所以本題適合用相關(guān)點(diǎn)法。解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X, y），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（eyj，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2x-Xj,2y - yj寫N在直線X + y = 2上,二2xXj+2y yj= 2又PQ垂直于直線X +

5、y = 2,y Vi、J=1，即X - y + y1- xi= 0X2變式 3 已知ABC的頂點(diǎn) B(3,0), 0(1,0)，頂點(diǎn)A在拋物線 y =x 上運(yùn)動(dòng)，求ABC的重心G的軌跡方程.題型四參數(shù)法選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y，得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù),普通方程，選參數(shù)時(shí)必須首先充分考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素，然后在選取合適的參數(shù)， 因?yàn)閰?shù)不同，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量的不同，常見的參數(shù)有截距、角度、斜率、線段長度等。例 4 已知線段AA=2a,直線I垂直平分AA于0,在I上取兩點(diǎn) P, P,使有向線段 OP,OP 滿足 OP OP=4,求直線AP與AP的交點(diǎn)M的軌跡方程.解：如圖

6、 2，以線段AA所在直線為 x 軸，以線段AA的中垂線為y軸建立由點(diǎn)斜式得直線 AP, AP的方程分別為 y=l(x+a),a兩式相乘，消去 t，得 4x2+a2y2=4a2(y H0).Xi由解得“131,=一X+y12213,=-X + y -1又點(diǎn)Q在雙曲線2 2 2x - y =1上，二x12-y1=1代入，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為2x2-2y2-2x + 2y -1 = 0r3+i+x0ix=-解：設(shè) G(x, y) , A(x0, y。)，由重心公式，得3y。，x0= 3x + 2,Ly 3y.又/ A(xo,yo)在拋物線2 2y =x 上，y0=x0.將，代入，得3y =(3x +

7、2)2(y H0),即所求曲線方程是 y=3x2+4x+4(y H0).3即得其直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn) P(0, t)(t H0),則由題意，得 P!o,4.4y(Xa).ta這就是所求點(diǎn)M的軌跡方程.2變式 4 設(shè)橢圓方程為X2+L =1，過點(diǎn)M （0,1）的直線I交橢圓于點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),4I上的動(dòng)點(diǎn)P滿足OP =1（OA+OB），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2,-1），當(dāng)I繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)時(shí)，求:（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）| NP|的最小值與最大值.分析：（1）設(shè)出直線I的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出X1+X2,y1+y2，進(jìn)而表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，用消參法求軌跡方程；（2）將| NP |表示成變量X的二次函

8、數(shù)。解：（1）法一：直線I過點(diǎn)M （0,1），當(dāng)I的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則I的方程為y=kx+1。設(shè)A（Xi,yi）,B（X2,y2），由題設(shè)可列方程為A1! . y21I 4將代入并化簡得：（4+k2）x2+2kx-3 = 0.2kX1+x2 = -2所以4+k于是耳1莎+麗（,寧）=（斗,忌） 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X, y），則-kX =-24 +k24.防口消去參數(shù)k得4x2+y2-y =0A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)（0,0），也滿足方程,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+ y2- y = 0。當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí),46設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），因A（xi，yi）,B（X2, y?）在橢圓上，所以當(dāng)Xi=X2時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0,2）、（0-2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,0），也滿足，所以點(diǎn)P的軌跡方程為2Xi*222424=1122+ -(yi2-y22)=o41所以(人+x2)(XiX2)+(力+ y2)(yi y2)=04一得:2Xi2-X2當(dāng)xX2時(shí)，有捲+X2+丄（+ y2）=04Xi-X2并且y-1X2亠2=5 y為X2將代入并整理得4