統(tǒng)計學常用分布及其分位數(shù)

1、§ 1.4常用的分布及其分位數(shù)1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導出的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗統(tǒng)計中常用的分布。當Xi、X2、Xn相互獨立且都服從 N(0,1)時，x2的i分布稱為自由度等于n的2分布，記作 Z2 (n),它的分布密度P(z)=z 0其他,n ii 2-Uu2 e d u ,式中的-0稱為Gamma® 數(shù)，且】1 =1,1 =店。/ 2分布是非對稱分布，具有可加性，即當丫與Z12丿相互獨立，且丫2(n), z2(m，貝y 丫+z2(n+m。證明：先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互獨立且都服從N(0,1),再

2、根據 2分布的定義以及上述隨機變量 的相互獨立性，令y=x 2+X2+xn, z=xn 1+X2 2+xn m,y+z= x 2+X2+xn+xnxn 2+xn m, 即可得到丫+Z2(n+m。2. t分布若X與丫相互獨立，且X N(0,1) , 丫2(n)，則Z = x 丫的分布稱為自由度等于n的t分布，記作Zt ( n)，它的分布密度P(z)=心)rz2 n ().請注意:t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當n>30時，t分布與標準正態(tài)分布 N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這 時，t分布的分布函數(shù)值查 N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以 得到。3. F分布若X與丫相互獨立，且X0 2(

3、n)，丫0 2(m), 則Z=X 丫的分布稱為第一自由度等于n第二自由度等于n mm的F分布，記作 ZF ( n, m)，它的分布密度P(z)=-1z2請注意：F分布也是非對稱分布，它的分布密度與自由度l2丿i2丿n m(m n z) 20,其他ZF ( n, m)時，F(xiàn) ( m ,n )。1Z的次序有關，當4. t 分布與 若Xt( n),F分布的關系 則 Y=X2 F(1,n)證：Xt( n) , X的分布密度P(x)=1)|ln丿<2；.nn】n 12 。Y=X 2 的分布函數(shù) Fy (y) =PY< y=PX 2 <y。當 廠0 時，F(xiàn),y)=0, PY(y)=0 ;

4、當 y>0 時，F(xiàn),y) =P-. yvXv, y=_； P(x)dx=2 0y P(x)dx,Y=X 2的分布密度nn2PY(y)=-r1 十 nI< 2丿1 -1y21 n(n y) 2與第一自由度等于精彩文檔1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此 Y=X2F（1, n）。為應用方便起見，以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從 各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應用問題時，通常是查 分位數(shù)表。有關分位數(shù)的概念如下：4. 常用分布的分位數(shù)1）分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機變量的分布函數(shù)有關，根據應用 的需要，有三種不同的稱呼，即a分位數(shù)、上側a分位數(shù) 與雙側a分位數(shù)，它們的定義

5、如下：當隨機變量X的分布函數(shù)為F（ X），實數(shù)a滿足0 < a <1 時，a分位數(shù)是使PX< X a =F（ X a ）= a的數(shù)X a ,上側a分位數(shù)是使PX >入=1 - F（入）=a的數(shù)入，雙側a分位數(shù)是使PX<入1=F（入1）=0.5 a的數(shù)入1、使PX> 入 2=1 - F（入 2）=0.5 a 的數(shù)入 2。因為1- F（入）=a, F（入）=1 - a,所以上側a分位數(shù)入 就是1- a分位數(shù)X 1- a ；F（入1）=0.5 a, 1- F（入2）=0.5 a,所以雙側a分位數(shù)入1就是0.5 a分位數(shù)X o.5 a，雙側a分位數(shù)入2就是1- 0.

6、5a分位數(shù)X 1- 0.5 a。2）標準正態(tài)分布的a分位數(shù)記作Ua , 0.5 a分位數(shù)記作U 0.5 a , 1- 0.5 a 分位數(shù)記作U 1- 0.5 a。P(x)P(x)J£Ox當 X N(0,1)時，PXV Ua =F o,i(u a )= a,PX<U 0.5 a = F 0,1 (u 0.5 a )=0.5 a,PXvu 1- 0.5 a = F 0,1 (u 1- 0.5 a )=1 - °5 a。根據標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當a =0.5 時，ua =0 ；當 a <0.5 時，u a <0。ua =- u 1- a。如果在標準正態(tài)

7、分布的分布函數(shù)值表中沒有負的分位數(shù)，則先查出u 1- a，然后得到ua =- u 1- a。論述如下：當 X N(0,1)時，PX< u a = F 0,1 (u a )= a,PX< u 1- a = F 0,1 (u 1- a )=1 - a,PX> u 1- a =1 - F 0,1 (u 1- a )= a,故根據標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，ua =- u 1- a o例如，u 0.10 =- u 0.90=- 1.282 ,u 0.05 =- u 0.95 =- 1.645 ,u 0.01 =- u 0.99 =- 2.326 ,u 0.025 =- u 0.97

8、5 =-1.960 ,U 0.005 =- u 0.995 =-2.576。又因為P|X|V U 仁0.5 a =1 - a,所以標準正態(tài)分布的 雙側a分位數(shù)分別是U i- 0.5 a和-U i- 0.5 a。標準正態(tài)分布常用的上側a分位數(shù)有：a =0.10， U 0.90 = 1.282 ；a =0.05 ,U 0.95 =1.645 ;a =0.01 ,U 0.99 =2.326 ;a =0.025 ,U 0.975 =1.960 ;a =0.005 ,U 0.995 =2.576。3)卡平方分布的a分位數(shù)記作 2 a (n)2ao例如，2 0.005 =0.21,2 0.025 (4)=

9、0.48 ,2 0.05 (4)=0.71 ,2 0.95 =9.49 ,2 0.975 t分布的a分位數(shù)記作t a (n)=11.1 ,2 0.995 (4)=14.9。當Xt (n)時，PX<t a (n)= a,且與標準正態(tài)分布相類似，根據t分布密度曲線的對稱性，也有t a (n)= - t 1- a (n)，論述同 Ua =- u 1- a。例如，t 0.95 (4)=2.132 ，t 0.975 (4)=2.776 ，t 0.995 (4)=4.604 ， t 0.005 (4)= - 4.604，t 0.025 (4)= - 2.776， t 0.05 (4)= - 2.13

10、2。另外，當n>30時，在比較簡略的表中查不到t a (n)，可用Ua作為t a (n)的近似值。oxaxoxax5) F分布的a分位數(shù)記作Fa (n , m)。Fa (n , m)>0，當 XF (n , m)時，PX<Fa (n , m)= a1 1P 1 >1=1-a, 11卩丄= a,X F 1_： (m, n)XF 1-: (m, n)又根據F分布的定義，1F(n,m,P-<Fa (n, m XX因此 F a (n, m=10F1 - ?(m ,n )當 x F(m n)時，PX< F i- a (m n)=l - a,a ,例如，F(xiàn) 0.95 (

11、3,4)=6.59, F 0.975 (3,4)=9.98,另外，當a較小時，在表中查不出F a (n, m)，須先查Fi- a (m n)，再求 Fa (n,m)=1F (m , n )論述如下:F 0.99 (3,4)=16.7, F 0.95 (4,3)=9.12,F 0.975 (4,3)=15.1, F 0.99 (4,3)=28.7,19.1211F 0.01 (3,4)= 藥，F(xiàn) 0.025 (3,4)= 二，F(xiàn) 0.05 (3,4)=28.715.1【課內練習】1.求分位數(shù)0.05 (8)，0.95 (12)2. 求分位數(shù) t 0.05(8)， t 0.95(12)。3. 求分

12、位數(shù) F0.05 (7,5)， F0.95 (10,12)。4. 由u 0.975 =1.960寫出有關的上側分位數(shù)與雙側分位數(shù)。5. 由t 0.95 (4)=2.132寫出有關的上側分位數(shù)與雙側分位 數(shù)。6. 若X(4) , PX<0.711=0.05 , PX<9.49=0.95，試寫出有關的分位數(shù)。7. 若XF(5,3) , PX<9.01=0.95 ，丫F(3,5) , Y<5.41= 0.95，試寫出有關的分位數(shù)。8. 設X、X、X相互獨立且都服從 N(0,0.09)分布， 試求 P >1.44。習題答案：1. 2.73， 21.0。2.-1.860， 1.782。3.， 3.37。4. 1.960 為上側 0.025 分位數(shù)，