(完整版)因式分解(競賽題)含答案

1、因式分解一、導入：有兩個人相約到山上去尋找精美的石頭，甲背了滿滿的一筐，乙的筐里只有一個他認為是最精美的石頭。甲就笑乙： “你為什么只挑一個啊 ?”乙說： “漂亮的石頭雖然多，但我只選一個最精美的就夠了。 ”甲笑而不語，下山的路上，甲感到負擔越來越重，最后不得已不斷地從一筐的石頭中挑一個最差的扔下，到下山的時候他的筐里結(jié)果只剩下一個石頭!啟示：人生中會有許多的東西，值得留戀，有的時候你應該學會去放棄。二、知識點回顧：1運用公式法在整式的乘、 除中，我們學過若干個乘法公式， 現(xiàn)將其反向使用， 即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a22-b) ；-b =(a+b)(a(2)a 2±2a

2、b+b2=(a ±b) 2；(3)a3322) ；+b =(a+b)(a-ab+b(4)a 3-b3=(a -b)(a 2 +ab+b2) 下面再補充幾個常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a333222+b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) ；(7)a n-bn=(a -b)(a n-1 +an-2 b+an-3 b2+ +abn-2 +bn-1 ) 其中 n 為正整數(shù)；(8)annn-1n-2b+an-3 2n-2n-1) ，其中 n 為偶數(shù)；-b =(a+b)(a-ab- +ab-b(9)

3、annn-1n-2n-3 2n-2n-1+b =(a+b)(a-ab+a b - -ab+b) ，其中 n 為奇數(shù)運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點， 根據(jù)字母、 系數(shù)、 指數(shù)、 符號等正確恰當?shù)剡x擇公式三、 專題講解例 1 分解因式：(1)-2x 5n-1yn+4x 3n-1yn+2-2x n-1yn+4 ；(2)x 3-8y 3-z3 -6xyz ；解 (1) 原式 =-2xn-1 yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1 yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y 2) 2=-2xn-1 yn(x 2n-y2) 2=-2xn-1 yn(x n-y) 2(x n+y) 2(2

4、) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( -Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) 例 2 分解因式： a3+b3+c3-3abc本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6) 1分析我們已經(jīng)知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為333a +b =(a+b)-3ab(a+b)這個 式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導解 原式 =(a+b)33-3ab(a+b)+c -3abc= (a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)=(a+b+c) (a+b) 2-c(a+b)+c2 -

5、3ab(a+b+c)222=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) 說明 公式 (6) 是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的 結(jié)論，例如：我們將公式(6) 變形為a3+b3+c3-3abc顯然，當333333333，a+b+c=0 時，則 a +b +c=3abc ；當 a+b+c 0 時，則 a +b +c -3abc 0，即 a +b +c 3abc而且，當且僅當a=b=c 時，等號成立如果令 x=a3 0， y=b3 0， z=c3 0，則有等號成立的充要條件是 x=y=z 這也是一個常用的結(jié)論變式練習1 分解因式： x15+x14+x13+ +x2+x+1分析 這

6、個多項式的特點是：有16 項，從最高次項x15 開始， x 的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應用公n n來分解式 a -b解 因為x1615+x14+x132，-1=(x -1)(x+ x +x+1)所以說明在本題的分解過程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵2消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為

7、添項拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解例 3 分解因式： x3-9x+8分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧解法 1 將常數(shù)項8 拆成 -1+9原式 =x3-9x-1+93=(x - 1) -9x+92=(x -1)(x+x+1) -9(x -1)2解法 2 將一次項 -9x 拆成 -x-8x原式 =x3-x-8x+83=(x - x)+( -8x+8)=x(x+1)(x-1) -8(x -1)2解法 3將三次項 x3 拆成 9x3-8x333原式 =9x - 8x -9x+8=(9x33-9x)+( -8x +8)=9

8、x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x 2+x+1)=(x -1)(x2+x-8) 解法 4添加兩項 -x2+x2原式 =x3-9x+8322=x-x +x -9x+8=x2(x -1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x2+x-8) 說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察， 靈活變換， 因此拆項、 添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種變式練習1 分解因式：963(1)x+x +x -3；(2)(m22-1)(n-1)+4mn；(3)(x+1)422+(x -1)4+(x -1)；(4)a 3b-

9、ab3+a2+b2+1解 (1) 將 -3 拆成 -1-1-13原式 =x9+x6+x3-1-1-1=(x963- 1)+(x-1)+(x-1)=(x363+1)+(x333- 1)(x+x-1)(x+1)+(x-1)=(x3- 1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x2+x+1)(x6+2x3+3) (2) 將 4mn拆成 2mn+2mn原式 =(m2- 1)(n 2-1)+2mn+2mn2222=mn-m-n +1+2mn+2mn2222=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n )=(mn+1) 2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn - m+n+1)(3) 將 (x 2-

10、1) 2 拆成 2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2422224原式 =(x+1) +2(x-1)-(x-1)+(x -1)= (x+1)4+2(x+1)2(x -1) 2+(x -1) 4 -(x 2-1) 2= (x+1)22222+(x -1)-(x -1)=(2x222222+2)-(x-1)=(3x +1)(x+3)(4) 添加兩項 +ab-ab3322原式 =a b- ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)=a(a -b) b(a+b)+1+(ab+b2+

11、1)=a(a -b)+1(ab+b2+1)22=(a - ab+1)(b+ab+1) 說明(4) 是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經(jīng)驗3換元法換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰例 4 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12分析將原式展開，是關(guān)于x 的四次多項式，分解因式較困難我們不妨將x2+x 看作一個

12、整體，并用字母 y 來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y 的二次三項式的因式分解問題了解 設 x2+x=y，則2原式 =(y+1)(y+2)-12=y +3y-104=(y -2)(y+5)=(x2+x -2)(x 2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2 +x+5) 說明 本題也可將 x2+x+1 看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學不妨試一試例 5 分解因式：(x 2+3x+2)(4x2+8x+3) -90分析先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合解 原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+

13、1)-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90令 y=2x 2+5x+2，則原式 =y(y+1) -90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x- 1) 說明對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y) 的基礎變式練習1. 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2解 設 x2+4x+8=y ，則22原式 =y +3xy+2x =(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8) 說明 由本題可知，用換元法分解

14、因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式1雙十字相乘法分解二次三項式時，我們常用十字相乘法對于某些二元二次六項式(ax22+bxy+cy +dx+ey+f) ，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 我們將上式按 x 降冪排列，并把y 當作常數(shù)，于是上式可變形為222x -(5+7y)x-(22y-35y+3) ，可以看作是關(guān)于 x 的二次三項式對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y 的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為5即： -22y 2+35y-3=(2y-3)(

15、-11y+1)再利用十字相乘法對關(guān)于x 的二次三項式分解所以，原式 = x+(2y-3) 2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y 2；(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3 這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy 2+dx+ey+f 進行因式分解的步驟是：(1) 用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy 2，得到一個十

16、字相乘圖 ( 有兩列 ) ；(2) 把常數(shù)項 f 分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的 ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；(2)x 2-y 2+5x+3y+4 ；(3)xy+y 2+x-y-2 ；(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z2解 (1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1)(2)6原式 =(x+y+1)(x-y+4)(3) 原式中缺x2 項，可把這一項的系數(shù)看成0 來分解原式 =(y+1)(x+y-2)(4)原式 =(2x-3y+z)(

17、3x+y-2z)說明 (4)中有三個字母，解法仍與前面的類似2求根法我們把形如anxn+an-1 xn-1 +a1x+a0(n 為非負整數(shù) ) 的代數(shù)式稱為關(guān)于x 的一元多項式，并用f(x)，g(x) ， 等記號表示，如f(x)=x2-3x+2 ， g(x)=x 5+x 2+6， ，當 x=a 時，多項式f(x)的值用 f(a)表示如對上面的多項式f(x)f(1)=1 2-3 × 1+2=0；f(-2)=(-2)2-3 ×(-2)+2=12 若 f(a)=0，則稱 a 為多項式f(x)的一個根定理 1( 因式定理 )若 a 是一元多項式f(x) 的根，即f(a)=0成立，則

18、多項式f(x) 有一個因式x-a 根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項式f(x) 的根對于任意多項式f(x)要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根定理 2的根，則必有 p 是 a0 的約數(shù)， q 是 an 的約數(shù)特別地，當 a0=1 時，整系數(shù)多項式 f(x) 的整數(shù)根均為 an 的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解例 2 分解因式： x3-4x 2+6x-4 分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是 -4 的約數(shù)， 逐個檢驗

19、-4 的約數(shù)： ±1，± 2，± 4，只有f(2)=2 3-4 × 22+6× 2-4=0 ，7即 x=2 是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2 解法 1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2) 322=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2) 解法 2 用多項式除法，將原式除以(x-2) ，所以原式 =(x-2)(x2-2x+2) 說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4 的約數(shù)，反之不成立，即-4 的約數(shù)不一定是多項式的根因此，必須對-4 的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證變式練習1

20、.分解因式： 9x4-3x 3+7x2-3x-2 分析因為 9 的約數(shù)有± 1，± 3，± 9； -2 的約數(shù)有± 1，±為：所以，原式有因式9x 2-3x-2 解 9x 4-3x 3+7x2-3x-24322=9x -3x -2x +9x -3x-2232=x (9x -3x-2)+9x-3x-222=(9x -3x-2)(x+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2 ，這樣可以簡化分解過程8總之，對一元高次多項式f(x) ，如果能找

21、到一個一次因式(x-a) ，那么 f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而 g(x) 是比 f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x) 進行分解了3待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程 ( 或方程組 ) ，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法例 3 分解因式： x2+3xy+2y 2+4x+5y+3 分析由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m 和 xy n 的形式，應用待定系數(shù)法即可求出 m和 n，使問題得到解決解 設x2+3xy+2y 2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ，比較兩邊對應項的系數(shù)，則有解之得 m=3， n=1所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1)說明本題也可用