(完整版)因式分解(競(jìng)賽題)含答案

1、因式分解一、導(dǎo)入：有兩個(gè)人相約到山上去尋找精美的石頭，甲背了滿(mǎn)滿(mǎn)的一筐，乙的筐里只有一個(gè)他認(rèn)為是最精美的石頭。甲就笑乙： “你為什么只挑一個(gè)啊 ?”乙說(shuō)： “漂亮的石頭雖然多，但我只選一個(gè)最精美的就夠了。 ”甲笑而不語(yǔ)，下山的路上，甲感到負(fù)擔(dān)越來(lái)越重，最后不得已不斷地從一筐的石頭中挑一個(gè)最差的扔下，到下山的時(shí)候他的筐里結(jié)果只剩下一個(gè)石頭!啟示：人生中會(huì)有許多的東西，值得留戀，有的時(shí)候你應(yīng)該學(xué)會(huì)去放棄。二、知識(shí)點(diǎn)回顧：1運(yùn)用公式法在整式的乘、 除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式， 現(xiàn)將其反向使用， 即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a22-b) ；-b =(a+b)(a(2)a 2±2a

2、b+b2=(a ±b) 2；(3)a3322) ；+b =(a+b)(a-ab+b(4)a 3-b3=(a -b)(a 2 +ab+b2) 下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a333222+b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) ；(7)a n-bn=(a -b)(a n-1 +an-2 b+an-3 b2+ +abn-2 +bn-1 ) 其中 n 為正整數(shù)；(8)annn-1n-2b+an-3 2n-2n-1) ，其中 n 為偶數(shù)；-b =(a+b)(a-ab- +ab-b(9)

3、annn-1n-2n-3 2n-2n-1+b =(a+b)(a-ab+a b - -ab+b) ，其中 n 為奇數(shù)運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)， 根據(jù)字母、 系數(shù)、 指數(shù)、 符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式三、 專(zhuān)題講解例 1 分解因式：(1)-2x 5n-1yn+4x 3n-1yn+2-2x n-1yn+4 ；(2)x 3-8y 3-z3 -6xyz ；解 (1) 原式 =-2xn-1 yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1 yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y 2) 2=-2xn-1 yn(x 2n-y2) 2=-2xn-1 yn(x n-y) 2(x n+y) 2(2

4、) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( -Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) 例 2 分解因式： a3+b3+c3-3abc本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6) 1分析我們已經(jīng)知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為333a +b =(a+b)-3ab(a+b)這個(gè) 式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)解 原式 =(a+b)33-3ab(a+b)+c -3abc= (a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)=(a+b+c) (a+b) 2-c(a+b)+c2 -

5、3ab(a+b+c)222=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) 說(shuō)明 公式 (6) 是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的 結(jié)論，例如：我們將公式(6) 變形為a3+b3+c3-3abc顯然，當(dāng)333333333，a+b+c=0 時(shí)，則 a +b +c=3abc ；當(dāng) a+b+c 0 時(shí)，則 a +b +c -3abc 0，即 a +b +c 3abc而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)，等號(hào)成立如果令 x=a3 0， y=b3 0， z=c3 0，則有等號(hào)成立的充要條件是 x=y=z 這也是一個(gè)常用的結(jié)論變式練習(xí)1 分解因式： x15+x14+x13+ +x2+x+1分析 這

6、個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16 項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15 開(kāi)始， x 的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公n n來(lái)分解式 a -b解 因?yàn)閤1615+x14+x132，-1=(x -1)(x+ x +x+1)所以說(shuō)明在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵2消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱(chēng)為拆項(xiàng)，后者稱(chēng)為

7、添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例 3 分解因式： x3-9x+8分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧解法 1 將常數(shù)項(xiàng)8 拆成 -1+9原式 =x3-9x-1+93=(x - 1) -9x+92=(x -1)(x+x+1) -9(x -1)2解法 2 將一次項(xiàng) -9x 拆成 -x-8x原式 =x3-x-8x+83=(x - x)+( -8x+8)=x(x+1)(x-1) -8(x -1)2解法 3將三次項(xiàng) x3 拆成 9x3-8x333原式 =9x - 8x -9x+8=(9x33-9x)+( -8x +8)=9

8、x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x 2+x+1)=(x -1)(x2+x-8) 解法 4添加兩項(xiàng) -x2+x2原式 =x3-9x+8322=x-x +x -9x+8=x2(x -1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x2+x-8) 說(shuō)明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察， 靈活變換， 因此拆項(xiàng)、 添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種變式練習(xí)1 分解因式：963(1)x+x +x -3；(2)(m22-1)(n-1)+4mn；(3)(x+1)422+(x -1)4+(x -1)；(4)a 3b-

9、ab3+a2+b2+1解 (1) 將 -3 拆成 -1-1-13原式 =x9+x6+x3-1-1-1=(x963- 1)+(x-1)+(x-1)=(x363+1)+(x333- 1)(x+x-1)(x+1)+(x-1)=(x3- 1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x2+x+1)(x6+2x3+3) (2) 將 4mn拆成 2mn+2mn原式 =(m2- 1)(n 2-1)+2mn+2mn2222=mn-m-n +1+2mn+2mn2222=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n )=(mn+1) 2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn - m+n+1)(3) 將 (x 2-

10、1) 2 拆成 2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2422224原式 =(x+1) +2(x-1)-(x-1)+(x -1)= (x+1)4+2(x+1)2(x -1) 2+(x -1) 4 -(x 2-1) 2= (x+1)22222+(x -1)-(x -1)=(2x222222+2)-(x-1)=(3x +1)(x+3)(4) 添加兩項(xiàng) +ab-ab3322原式 =a b- ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)=a(a -b) b(a+b)+1+(ab+b2+

11、1)=a(a -b)+1(ab+b2+1)22=(a - ab+1)(b+ab+1) 說(shuō)明(4) 是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)3換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰例 4 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12分析將原式展開(kāi)，是關(guān)于x 的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難我們不妨將x2+x 看作一個(gè)

12、整體，并用字母 y 來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y 的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了解 設(shè) x2+x=y，則2原式 =(y+1)(y+2)-12=y +3y-104=(y -2)(y+5)=(x2+x -2)(x 2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2 +x+5) 說(shuō)明 本題也可將 x2+x+1 看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試?yán)?5 分解因式：(x 2+3x+2)(4x2+8x+3) -90分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合解 原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+

13、1)-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90令 y=2x 2+5x+2，則原式 =y(y+1) -90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x- 1) 說(shuō)明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y) 的基礎(chǔ)變式練習(xí)1. 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2解 設(shè) x2+4x+8=y ，則22原式 =y +3xy+2x =(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8) 說(shuō)明 由本題可知，用換元法分解

14、因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃危瑩Q元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式1雙十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax22+bxy+cy +dx+ey+f) ，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 我們將上式按 x 降冪排列，并把y 當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為222x -(5+7y)x-(22y-35y+3) ，可以看作是關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y 的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為5即： -22y 2+35y-3=(2y-3)(

15、-11y+1)再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x 的二次三項(xiàng)式分解所以，原式 = x+(2y-3) 2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘法如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y 2；(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3 這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy 2+dx+ey+f 進(jìn)行因式分解的步驟是：(1) 用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy 2，得到一個(gè)十

16、字相乘圖 ( 有兩列 ) ；(2) 把常數(shù)項(xiàng) f 分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的 ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；(2)x 2-y 2+5x+3y+4 ；(3)xy+y 2+x-y-2 ；(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z2解 (1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1)(2)6原式 =(x+y+1)(x-y+4)(3) 原式中缺x2 項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0 來(lái)分解原式 =(y+1)(x+y-2)(4)原式 =(2x-3y+z)(

17、3x+y-2z)說(shuō)明 (4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類(lèi)似2求根法我們把形如anxn+an-1 xn-1 +a1x+a0(n 為非負(fù)整數(shù) ) 的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于x 的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x) ， 等記號(hào)表示，如f(x)=x2-3x+2 ， g(x)=x 5+x 2+6， ，當(dāng) x=a 時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用 f(a)表示如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)f(1)=1 2-3 × 1+2=0；f(-2)=(-2)2-3 ×(-2)+2=12 若 f(a)=0，則稱(chēng) a 為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根定理 1( 因式定理 )若 a 是一元多項(xiàng)式f(x) 的根，即f(a)=0成立，則

18、多項(xiàng)式f(x) 有一個(gè)因式x-a 根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x) 的根對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根定理 2的根，則必有 p 是 a0 的約數(shù)， q 是 an 的約數(shù)特別地，當(dāng) a0=1 時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式 f(x) 的整數(shù)根均為 an 的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解例 2 分解因式： x3-4x 2+6x-4 分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是 -4 的約數(shù)， 逐個(gè)檢驗(yàn)

19、-4 的約數(shù)： ±1，± 2，± 4，只有f(2)=2 3-4 × 22+6× 2-4=0 ，7即 x=2 是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2 解法 1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2) 322=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2) 解法 2 用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2) ，所以原式 =(x-2)(x2-2x+2) 說(shuō)明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4 的約數(shù)，反之不成立，即-4 的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根因此，必須對(duì)-4 的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證變式練習(xí)1

20、.分解因式： 9x4-3x 3+7x2-3x-2 分析因?yàn)?9 的約數(shù)有± 1，± 3，± 9； -2 的約數(shù)有± 1，±為：所以，原式有因式9x 2-3x-2 解 9x 4-3x 3+7x2-3x-24322=9x -3x -2x +9x -3x-2232=x (9x -3x-2)+9x-3x-222=(9x -3x-2)(x+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說(shuō)明若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2 ，這樣可以簡(jiǎn)化分解過(guò)程8總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x) ，如果能找

21、到一個(gè)一次因式(x-a) ，那么 f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而 g(x) 是比 f(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x) 進(jìn)行分解了3待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程 ( 或方程組 ) ，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法例 3 分解因式： x2+3xy+2y 2+4x+5y+3 分析由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m 和 xy n 的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出 m和 n，使問(wèn)題得到解決解 設(shè)x2+3xy+2y 2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ，比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有解之得 m=3， n=1所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1)說(shuō)明本題也可用