幾何證明——線段與差模型(中級)

1、幾何證明一一線段和差模型（中級）【知識要點(diǎn)】在幾何證明中，我們經(jīng)常遇到要求證明兩條線段之和等于一條線段（a二bc），或者兩條線段之差等于一條線段（a =b c）。在處理這類線段和差關(guān)系的問題時，我們常用“截長”與“補(bǔ)短”的方法。截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何問題化難為易的一種思想。截長就是在一條線段上截取成兩段（一分為二），補(bǔ)短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊（合二為一）。截長法：如果要證明線段等式 a = b c，可以在長的一條線段 a上截取一條線段等于 b （或者c），然 后只需證明線段a上去掉b （或者c）之后剩下的線段等于 c （或者b ）就行了。

2、補(bǔ)短法：如果要證明線段等式 a =b c，可以先將短的兩條線段 b和c拼接在一起形成一條長線段 d， 然后只需要證明a=d就行了。截長補(bǔ)短的方法比較靈活， 要根據(jù)具體的題目條件， 作出相應(yīng)的輔助線。 對于一些經(jīng)典的截長補(bǔ)短模型， 希望同學(xué)們能記住并掌握其用法，以便在遇到類似的幾何情境時能迅速作出反應(yīng)。【經(jīng)典例題】例1、（ 1）正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，.EAF =45 I求證：EF = DE BF 。（2）正方形 ABCD中，點(diǎn)E在CD延長線上，點(diǎn) F在BC延長線上,$<5EAF = 45。請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系?（3）正方形 ABCD中，點(diǎn)E在DC

3、延長線上，點(diǎn) F在CB延長線上,y0-EAF二45。請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系?例 2、正三角形 ABC 中，E 在 AB 上，F(xiàn) 在 AC 上.EDF =60。DB = DC , BDC =120。請問EF、BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系?A例 3、已知：AC 平分.BAD , CE _ AB , . B . D =180°，求證：AE 二 AD BE。AC例4、正方形ABCD中，對角線 AC與BD交于O,點(diǎn)E在BD上，AE平分/ DAC求證：AD EO .2AB例5、已知，如圖，在 UABC中，AB AC，BAD CAD，P為AD上任一點(diǎn).求證：AB - AC PB -

4、PC?！咎嵘?xùn)練】1、如圖，已知 ABC中，邊BC上的高為CD， B =2. C，求證：CD = AB BD 。2、已知：AD 平分 BAC，AC =AB BD，求證： B = 2 C。AC3、已知.ABC =3. ACB , . BAE 二.CAE , BE _ AE，求證：AC _ AB = 2BE。4、如圖，在.'ABC中，MBAC =60 , AD是三BAC的平分線，且 AC =AB BD，求£ ABC的度數(shù)。5、如圖，四邊形 ABCD中，AB / DC , BE、CE分別平分.ABC、. BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證:BC = AB DC 。6、如圖所示，JABC是

5、邊長為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形，以 D為頂點(diǎn)作一個60的-MDN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求 ：AMN的周長。C7、如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, . C =90 , E為CD的中點(diǎn)，EF / AB交BC于點(diǎn)F。（1）求證：BF =AD CF ；（ 2）當(dāng) AD =1, BC =7，且 BE 平分.ABC 時，求 EF 的長。8、已知AABC中，.A =60,，BD、CE分別平分.ABC和.ACB，BD、CE交于點(diǎn)O，試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。PE _ AB, PF _ AC 垂足9、己知，AABC中，AB = AC，CD _ AB，垂足為

6、D，P是BC上任一點(diǎn),分別為E、F .（ 1）求證： PE PF =CD ；（ 2）若P在BC延長線上，求證： PE - PF =： CD 。P10、（ 1）如圖，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)。.AEF =90：，且EF交正方形外角-DCG的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE = EF。（2）如圖，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)。 AEF = 90，且EF交 正方形外角 DCG的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE二EF。(3)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC的延長線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)。.AEF =90，且EF交正方形外角.DCG的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE = EF 。BC EG11、在等邊.：ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N , D為. ABC外一點(diǎn)，且/MDN =60 ，.BDC =120，BD -CD。探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及 AAMN的周長Q與等邊 ABC的周長L的關(guān)系。(1)如圖圖11，當(dāng)點(diǎn)M、 N邊AB、圖2AC 上，且 DM 二 DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是此時Q二L