高三數(shù)學函數(shù)圖像與性質(zhì)專題

1、2020高三數(shù)學培優(yōu)專練1:函數(shù)的圖像與性質(zhì)培優(yōu)一函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1:對于函數(shù)f(X),若 a , b , c一、函數(shù)的單調(diào)性R ,都有f (a) , f (b), f (c)為某一三角形的三條邊，則稱e tf(x)為何構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)f (x)(e為自然對數(shù)的底數(shù))是何構(gòu)造三角形函數(shù)e 1則實數(shù)t的取值范圍是()A. 0,)B. 0,2C. 1,2D. 1,22【答案】D【解析】由題意可得：f (a) f (b) f(c),對 a , b , c R恒成立，ex tt 1f(x)1當 t 1 0時，f(x) 1, f(a) f (b) f(c) 1,滿足條件，ex 1ex 1當t

2、10時，f(x)在R上單調(diào)遞減，1f(a)1t 1 t,同理：1 f(b) t , 1 f (c) t , f (a)f (b)f (c),所以 2 t, . 1t 2.當t10時，f(x)在R上單調(diào)遞增，tf(a)1,11同理：tf (b)1, t f (c) 1 , 2t1, tt 1.22綜上可得：實數(shù)t的取值范圍是 1,22、函數(shù)的奇偶性和對稱性例2:設函數(shù)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x) 2x,若對 x 1,2,不等式af(x) g(2x) 0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(A.1,B.2叵C.17D.25760【解析】f(x)為定義在R上的奇函數(shù)

3、,g(x)為定義在R上的偶函數(shù),f( x) f(x), g( x) g(x),又由 f (x) g(x) 2x,結(jié)合 f ( x) g( x)f (x) g(x)2 x,11f(x) 2(2x 2x), g(x) -(2x 2x),又由 af(x) g(2x) 0,可得 a(2x 2 x) -(22x 2 2x) 0, 223 x x 15 1 x 2, . - 2x 2 x 一，24令t 2x 2 x,則t 0,將不等式整理即得：a15172 257C. t 4 '6t60三、函數(shù)的周期性例3：定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2x) f(2 x),當0,2)時,f (x)4x2 8

4、x .若在區(qū)間a,b上，存在 m(m3)個不同的整數(shù)xi (i 1, 2, Lm ),滿足m 1f(xi) f(xi 1)72,i 1則b a的最小值為(A. 15B.16C. 17D. 18L時，ba取最小值,5,72f(1)4' f 4' f 0'不18,則 ba的最小值為18,故選D.【解析】定義在R上的奇函數(shù) “乂)滿足£(2 x) f(2 x),可得f (x)關(guān)于直線x 2對稱,8.且 f(x 4) f( x) f(x),則 f(x 8) f(x 4) f (x) , f (x)的周期為函數(shù)f (x)的圖象如下:比如，當不同整數(shù)X分別為1, 1, 2

5、, 3,四、函數(shù)性質(zhì)的綜合應用例4:已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，g(x)f(x)x2,且當x (,0時,g(x)單調(diào)遞增,則不等式f(x 1)f(x2) 2x 3的解集為(A.3,2B.(,3)C.3)D.由題意，函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，且2g(x) f (x) x ,則g( x) f ( x) ( x)2 f (x) x2 g(x),所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 y軸對稱,當x (,0時，g(x)單調(diào)遞增，所以當x (0,)時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，又由 g(x 1) f (x 1) (x 1)2 f(x 1) x2 2x 1, _2一2g(x 2) f (x 2) (

6、x 2)2f (x 2) x2 4x 4,所以不等式f(x 1) f(x 2) 2x 3等價于g(x 1) g(x 2),，八cc3所以|x 1 |x 2 ,平方得x2 2x 1 x2 4x 4,解得x -.3即不等式f (x 1) f(x 2) 2x 3的解集為一，2,對點增分集訓、選擇題.- lna ln x1 .已知函數(shù)f(x) 在1,)上為減函數(shù)，則實數(shù) a的取值范圍是()xB. 0 a eC. a eD. a eln a In x .【解析】函數(shù)f (x) 在1,x)上為減函數(shù),1 In a In x f (x)x則 f (x) 0 在1,)上恒成立，即1ln a In x 0在1,

7、)上恒成立,e . . ee .In x 1 In a In 一恒成立，.In 0 ,即 0 1, . a e.故選 D.aaa2 .已知定義在 r上的函數(shù)y f(x)滿足以下三個條件：對于任意的x R,都有f(x 4) f(x)；對于任意的X, x2 R,且0 X x2 2,都有f(x,) f(xz)；函數(shù)y f (x 2)的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列結(jié)論中正確的是()A.f f(4.5)f (6.5)B.f(4.5)f (7) f (6.5)C.f(7)f(6.5)f (4.5)D.f(4.5)f (6.5) f (7)【答案】B【解析】 定義在r上的函數(shù)y f(x)滿足三個條件：由對于任意

8、的x R ,都有f(x 4) f(x),可知函數(shù)f (x)是周期T 4的周期函數(shù);對于任意的X, X2 R,且0 XX2 2,都有f(x) f(X2),可得函數(shù)f(x)在0,2上單調(diào)遞增；函數(shù)y f (x 2)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x 2對稱.f (4.5) f(0.5), f f(3) f(1), f (6.5) f(2.5) f(1.5).f(0.5) f(1) f(1.5), . f(4.5) f f(6.5).故選 B.13.已知函數(shù)y f (x 1)關(guān)于直線x 1對稱，且f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，a f log3一,5b f( 2巧，c f (2log

9、 3 2)，則a , b , c的大小關(guān)系是()A. abc B. b a c C. cabD. b c a【答案】D【解析】因為y f(x 1)關(guān)于直線x 1對稱，所以f(x)關(guān)于y軸對稱，1因為f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，a f 10g 3 - f (log 3 5),50.30 31.b f( 20.3) f -, c f(log34),2 (x 3)3 2019(x 3)(2y 3)3 2019(2y 3),即 f(x 3) f (2y 3),即 f(x 3) f (3 2y), f (x)x32019x為增函數(shù)，x33 2y,即x 2y 6 0,把

10、 2y 6 x代入z x24y24x,得到 z x2 (6x)24x 2x28x 36 2(x 2)2 28 28,當且僅當x 2, y 2時取得最小值.故選 C.1 1 d. x -, x 125.設函數(shù)f x x 1 2,則不等式f(6 x)f(x)的解集為()1, x 1A. ( 3,1)B. ( 3,2)C. ( 2J5)D. ( V5,2)【答案】D【解析】易證得函數(shù)f (x)在1,)上單調(diào)遞增，當x 1時，得 6x21而 x 75,則 75 x 1；當 x 1時，得 6x2x3x 2,則 1x 2,綜上得不等式的解集為(75,2).一一一一2x6.右對x, y R,有 f(x) f

11、 (y)f(x y) 3,函數(shù) g(x) f (x), g(2) g( 2)的值x 1( )A. 0B. 4C. 6D. 9【答案】C【解析】.函數(shù)yf(x)對任意x, y R,都有f(x) f (y) f (x y) 3,所以 f(x y) f(x) f(y) 3,./x y 0, f(0) f(0) f(0) 3, . f (0) 3 .令 x 2,y2 , f(2) f( 2) f (0) 3, . f (2) f( 2) 6 ,2 2.2(2) r g(2) g( 2)f (2)(2 : f( 2) 6.故選 C.21( 2)17.設函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且f(x) f(2

12、 x),當x 0,1時，f(x) sinx,則函數(shù)g(x) cos < f (x)在區(qū)間3,5上的所有零點的和為()A. 10B. 8C. 16D. 20【答案】B【解析】因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f ( x) f(x), . f (x) f(2 x) f (x 2),可得 f (x 4) f (x),即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，且 y f(x)圖象關(guān)于直線x 1對稱.故g(x) cos x f (x)在區(qū)間3,5上的零點，即方程 cos x f(x)的根,分別畫出y cos x與y f(x)的函數(shù)圖象,因為兩個函數(shù)圖象都關(guān)于直線 x 1對稱,因此方程cosx f

13、(x)的零點關(guān)于直線x 1對稱，由圖象可知交點個數(shù)為 8個,分別設交點的橫坐標從左往右依次為Xi,x2 ,x3,x4,x5,x6,x7 ,x8,則XiX8X2X7X3X6X4X52,所以所有零點和為8 ,故選B .2x 18.已知函數(shù)y f (x 1) 2是奇函數(shù)，g(x) ,且f (x)與g(x)的圖象的交點為(為),x 1(X2, y2), K ,(X6, y6)，則XiX2Lx6yy2L 丫6 ()A. 0B. 6C. 12D. 18【答案】D2x 11【解析】g(x) 2 ，由此g(x)的圖象關(guān)于點(1,2)中心對稱，y f(x 1) 2是奇函數(shù),x 1 x 1f( x 1) 2 f(

14、x 1) 2,由此 f( x 1) f(x 1) 4,所以 f(x)關(guān)于點(1,2)中心對稱,XiX2 L 4 6, y1y2 LV6 12,所以 x, x2 L % y y2 L y6 18,故選 d.9.已知定義在r上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x R, f( x) f(x), f(3 x) f(x),貝Uf(2019)()A. 3B. 0C. 1D. 3【答案】B【解析】f( x) f(x),f(3 x) f(x 3),且 f(0) 0,又 f(3 x) f(x) , . f (x)f (x 3),由此可得f (x 3)f(x 6),，f(x) f(x 6),，f(x)是周期為6的函數(shù),f

15、(2019) f (6 336 3),，f (2019) f (3) f (0)0,故選B.10.已知函數(shù)f(x)32x ax bx c的圖象的對稱中心為(0,1),且f(x)的圖象在點(1,f(1)處的切線過點(2,7),則bA. 1B.C. 3D. 4函數(shù) f(x)ax2 bxc的圖象的對稱中心為(0,1), f(x) f(x) 2,f( f(1) f(1) 22) f (2) 2a c 1,得4a c 101， f(x)2f (x) 3x2b,(2,7),又f (x)的圖象在點(1,f (1)處的切線過點f (1) f(1) 7 ,即 3 b b5,解得 b 1,故選 A.121x2 x

16、, x 0,1)11 .定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x 2) 2f (x),當x 0,2)時，f x 1同 - ,x 1,2)2t 1 一若x 4, 2)時，f(x) 恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是(4 2tA. 2,0)U(0,1)【答案】DB. 2,0)U(1,) C. 2,1)D. (, 2U(0,1一、21【解析】當x 0,1)時，f(x) x2 x -,04當 x 1,2)時，f (x).當x 0,2)時，f(x)的最小值為1,又,函數(shù) f(x)滿足 f (x 2) 2 f (x),當 x2,0)時，f(x)的最小值為12'1當x 4, 2)時，f(x)的最小值為一4t1t

17、1右x 4, 2)時 f (x)恒成立，一一4 2t4 2t即(t 2)(t 1)0,即 4t(t 2)(t 1) 0且t 0,解得 t (, 2U(0,1.故選 D.4t12 .已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點 (2,0)對稱，且當x (0,2)時，f(x) x3,則函數(shù)f (x)在區(qū)間2018,2021上()A.無最大值B .最大值為0 C.最大值為1 D.最大值為1【答案】D【解析】因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，所以f (4 x) f (x).又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f( x) f(x),所以f(4 x) f( x).令t x,得f(4 t) f(t),所以

18、函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).又函數(shù)f(x)的定義域為R,且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f (0) 0, f( 2)f(2),由函數(shù)f(x)的周期為4,得f( 2)f(2),所以 f(2)f(2),解得 f(2) 0.所以 f(2) 0.依此類推，可以求得f(2n) 0(n Z) .作出函數(shù)f (x)的大致圖象如圖所示,根據(jù)周期性，可得函數(shù)f (x)在區(qū)間2018,2021上的圖象與在區(qū)間2,1上的圖象完全一樣.觀察圖象可知，函數(shù) f (x)在區(qū)間(2,1上單調(diào)遞增，且f(1) 13 1,又f( 2) 0,所以函數(shù)f (x)在區(qū)間2,1上的最大值是1,故函數(shù)f(x)在區(qū)間2018,2021上

19、最大值也是1.二、填空題2x 113 .已知 f(x) (x 1)3,若 f(2021) a,則 f( 2019) .x 1【答案】4 a【解析】因為f(x)(x 1)3 2 (x 1)3,x 1x 133所以 f (2 x) 2 (1 x)3,1 x3.3.因而 f(x) f(2 x) 2 (x 1)3 2 (1 x)3 4, x 11 x所以 f( 2019) 4 f (2021) 4 a.214.函數(shù)y loga(x ax 2)在區(qū)間(,1上是減函數(shù)，則 a的取值氾圍是 【答案】2,3)2【解析】若0 a 1,則函數(shù)y loga(x ax 2)在區(qū)間(，1上為增函數(shù)，不符合題意;若a 1

20、,則t x2 ax 2在區(qū)間(，1上為減函數(shù)，且t 0.a 1 2，解得 2 a 3 .1 a 2 0綜上，a的取值范圍是2,3).一 . x15.某同學在研究函數(shù) f(x)-(x R)時，分別給出下面幾個結(jié)論:1 x等式f( x) f (x)在x R時恒成立;函數(shù)f(x)的值域為(1,1)；若X x2,則一定有f(x)Mx?)；方程f (x) x在R上有三個根.其中正確結(jié)論的序號有.(請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上)【答案】【解析】對于，任取x R ,都有f ( x)f(x), .正確;一 x 1對于，當x 0時，f(x) 1 (0,1),根據(jù)函數(shù)f(x)的奇偶性知x 0時， 1 x 1

21、xf(x) (1,0),且 x 0 時，f(x) 0, . f(x) (1,1),正確；一 一1對于，當x 0時，f (x) 1 ,f(x)在(0,)上是增函數(shù)，且0 f(x) 1；再由f(x)的奇 1 x偶性知，f(x)在(，0)上也是增函數(shù)，且 1 f (x) 0 ,x1x2時，一定有f (X)f(x2),正確；x對于，因為 丁二；X只有x 0一個根，方程f(x) x在R上只有一個根，錯誤.I x正確結(jié)論的序號是.16.已知在R上的函數(shù)f(x)滿足如下條件：函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；對于任意 x R,f(2 x) f(2 x) 0；當 x 0,2時，f(x) x；函數(shù) f(n)(x)f(2n1 x) , n N* ,若過點(1,0)的直線l與函數(shù)f(4) (x)的圖象在x 0,2上恰有8個交點，則直線l斜率k的取值范圍是.【解