時間序列初探—平穩(wěn)性分析及R實現(xiàn)

1、1基本概念時間序列的平穩(wěn)性假定某個時間序列是由某一隨機過程 <stochastic process ）生 成的，即假定時間序列Xt<t=1,2,）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：b5E2RGbCAP1 ）均值E（Xt>= 是與時間t無關(guān)的常數(shù)；2 ）方差Var（Xt>= 2是與時間t無關(guān)的常數(shù)；3 ）協(xié)方差Cov（Xt,Xt+k>= k是只與時期間隔k有關(guān)，與時 間t無關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的 stationary，而該隨機過程是一 平后急隨機過程 <stationary stochastic process ） 。

2、plEanqFDPw 時間序列的非平穩(wěn)性平穩(wěn)時間序列的均值為常數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)與起點無關(guān)，而非平 穩(wěn)時間序列則不滿足這兩條要求。常見的非平穩(wěn)類型有趨勢和突變 DXDiTa9E3d趨勢趨勢是指變量隨時間持續(xù)長期的運動，時間序列變量圍繞其趨勢波動?？梢杂镁€性趨勢、二次趨勢、季節(jié)性均值趨勢和余弦趨勢來估計一般的非常數(shù)均值趨勢模型的參數(shù)。RTCrpUDGiT突變突變來自總體回歸系數(shù)在某一特定日期上的離散變化或來自系數(shù) 在長時期內(nèi)的漸變。平穩(wěn)性判斷圖示判斷?給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗 略地判斷它是否是平穩(wěn)的。? 一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷 波動的過

3、程；?而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值<如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。函數(shù)1:時間序列及趨勢繪制 參數(shù)1:時間序列 功能：繪制時間序列繪制時間序列的趨勢函數(shù)返回值：無 單位根檢驗單位根檢驗<unit root test ）是針對宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)序列、貨幣金融數(shù)據(jù)序列中是否具有某種統(tǒng)計特性而提出的一種平穩(wěn)性檢驗的特殊方法，單位根檢驗的方法有很多種，包括 DF檢驗、ADF檢驗、PP檢驗、NP檢驗等。5PCzVD7HxA單位根檢驗時間序列的單位根研究是時間序列分析的一個熱點問題。時間序列特性的時變行為實際上反映了時間序列的非平穩(wěn)性質(zhì)。對非平穩(wěn)時間序列的處理方法一般是將其轉(zhuǎn)變?yōu)槠?/p>

4、穩(wěn)序列，這樣就可以應(yīng)用有關(guān)平穩(wěn)時間序列的方法來進(jìn)行相應(yīng)得研究。對時間序列單位根的檢驗就是對時間序列平穩(wěn)性的檢驗，非平穩(wěn)時間序列如果存在單位根，則一般可以通過差分的方法來消除單位根，得到平穩(wěn)序列。對于存在單位根的時間序列，一般都顯示出明顯的記憶性和波動的持續(xù)性，因此單位根檢驗是有關(guān)協(xié)整關(guān)系存在性檢驗和序列波動持續(xù)性討論的基礎(chǔ)。jLBHrnAILg自相關(guān)函數(shù)（ACF冽斷平穩(wěn)時間序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF懣么是截尾的，要么是拖尾的。因此我們可以根據(jù)這個特性來判斷時間序列是否為平穩(wěn)序列。若時間序列具有上升或下降的趨勢，那么對于所有短時滯來說，自相 關(guān)系 數(shù)大 且為正 ，而 且隨 著時滯 k 的增 加而緩

5、慢地下 降。xHAQX74J0X若序列無趨勢，但是具有季節(jié)那么于按月采集的數(shù)據(jù)，時滯12, 24, 36的自相關(guān)系數(shù)達(dá)到最大（如果數(shù)據(jù)是按季度采集，則最大自相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)在 4， 8， 12，>，并且隨著時滯的增加變得較小。LDAYtRyKfE平穩(wěn)時間序列模型自回歸AR模型由于經(jīng)濟系統(tǒng)慣性的作用，經(jīng)濟時間序列往往存在著前后依存關(guān)系。最簡單的一種前后依存關(guān)系就是變量當(dāng)前的取值主要與其前一時期的取值狀況有關(guān)。用數(shù)學(xué)模型來描述這種關(guān)系就是如下的一階自回歸模型：Zzz6ZB2LtkXt=（|）Xt-1+ et<2.1.1）常記作AR（1>。其中Xt為零均值 <即已中心化處理）平穩(wěn)

6、序列，0為Xt對Xt 1的依賴程度，£ t為隨機擾動項序列 <外部沖擊）。 dvzfvkwMI1若0 =1則Xt包含了一個隨機性趨勢，是非平穩(wěn)的。若 0的絕對值 <1 則其是平穩(wěn)的。如果 Xt 與過去時期直到Xt-p 的取值相關(guān)，則需要使用包含Xt 1 ,Xt-p在內(nèi)的p階自回歸模型來加以刻畫。P階自回歸模型的一般形式為：rqyn14ZNXIXt= 0 1 Xt 1+0 2 Xt 2+ d p Xt -p+£ t <2.1.2）為了簡便運算和行文方便，我們引入滯后算子來簡記模型。設(shè) B 為 滯 后 算 子 ， 即 BXt=Xt-1, 則 B（Bk-1Xt&

7、gt;=BkXt=Xt-k B（C>=C（C 為 常 數(shù) >。 利 用 這 些 記 號 ， <2.1.2 ） 式 可 化 為 ： EmxvxOtOcoXt= d 1BXt+ d 2B2Xt+ d 3B3Xt+ © pBpXt+ £ t從而有：<1- j 1B-2B2-j pBp) Xt= & t記算子多項式0<B) = <1-0 1B-0 2B2-0pBP)，則模型可以表示成0<B) Xt= £ t(2.1.3>例如，二階自回歸模型Xt=0.7Xt-1+0.3Xt-2+0.3Xt-3+£ t可寫成&

8、lt;1-0.7B-0.3B2 ) Xt= & tSixE2yXPq5若AR(P消一個等于1的根，則稱序列有一個單位自回歸根或稱為單位根，從而也說明它包含了隨機性趨勢，是非平穩(wěn)的。當(dāng)且僅當(dāng)AR 特 征方 程的每一個根 絕對 值大于 1 ， 時間 序列是 平穩(wěn) 的。6ewMyirQFL滑動平均模型<MA)有時，序列Xt 的記憶是關(guān)于過去外部沖擊值的記憶，在這種情況下 ， Xt 可 以表示成過去 沖擊 值和現(xiàn) 在沖 擊值 的線性 組合 ，即kavU42VRUsXt= £ t- 0 1et-1- 0 2et-2- -0 q £ t-q (2.1.4>此模型常稱

9、為序列Xt 的滑動平均模型，記為MA(q>，其中 q 為滑動平均的階數(shù)，0 1,0 2- 0 q為參滑動平均的權(quán)數(shù)。相應(yīng)的序列Xt 稱為滑動平均序列。y6v3ALoS89使用滯后算子記號，<2.1.4 )可寫成Xt=<1- 0 1B- 0 2B2- -0 qBq) qt= 0 (B> £ t (2.1.5>自回歸滑動平均模型<ARM) A如果序列 Xt的當(dāng)前值不僅與自身的過去值有關(guān)，而且還與其以前進(jìn)入系統(tǒng)的外部沖擊存在一定依存關(guān)系，則在用模型刻畫這種動態(tài)特征時，模型中既包括自身的滯后項，也包括過去的外部沖擊，這種模型叫做自回歸滑動平均模型，其一般結(jié)

10、構(gòu)為：M2ub6vSTnPXt= 0 1Xt-1+ 0 2Xt- 2+ + 0 pXt-p+ £ t- 0 1 £ t-1- 0 2 £ t-2- 0 q e t-q (2.1.6>0YujCfmUCw簡記為ARMA(p, q>。利用滯后算子，此模型可寫為0 <B) Xt= 0 (B> e t<2.1.7)R中實現(xiàn)判斷時間序列的平穩(wěn)性例一> x=rnorm(500># 生成 500 個服從正太分布的數(shù)> y=cumsum(x> #累加x 的數(shù)對應(yīng)得到y(tǒng)繪制時序圖> plot.ts(x>Time>

11、; plot.ts(y>Time從兩個圖的不同可以看出 x時間序列趨勢不隨時間的變化而變化, 其隨機性比較強。而y序列則有明顯的時間趨勢。eUts8ZQVRd ADF.test 檢驗install.packages("tseries"># 安裝時間序列包library("tseries",lib.loc="e:/ProgramFiles/R/R-2.15.2/library"># 載入時間序列包sQsAEJkW5T> adf.test(x>Augmented Dickey-Fuller Testdata:

12、 xDickey-Fuller = -8.0878, Lag order = 7, p-value0.01GMsIasNXkAalternative hypothesis: stationary結(jié)論： p-value = 0.01 拒絕原假設(shè)<原假設(shè)認(rèn)為時間序列是非平穩(wěn)的)，即可認(rèn)為x 是平穩(wěn)的。> adf.test(y>Augmented Dickey-Fuller Testdata: yDickey-Fuller = -1.1291, Lag order = 7, p-value0.9179TIrRGchYzgalternative hypothesis: station

13、ary結(jié)論： p-value = 0.9179 不能拒絕原假設(shè)，所以認(rèn)為y 是非平穩(wěn)的。函數(shù)2: ADF檢驗時間序列的平穩(wěn)性：ADFTEST參數(shù) 1：時間序列P 臨界值，默認(rèn)值為0.05返回結(jié)果：用框架來組織返回結(jié)果結(jié)論<1：平穩(wěn)，0：不平穩(wěn))adf.test 函數(shù)的返回值PP檢驗> pp.test(x>Phillips-Perron Unit Root Testdata: xDickey-Fuller Z(alpha> = -510.4566, Truncation lagparameter = 5, p-value = 0.017EqZcWLZNXalternati

14、ve hypothesis: stationary警告信息：In pp.test(x> : p-value smaller than printed p-valuelzq7IGf02E結(jié)論：p-value = 0.01拒絕非平穩(wěn)性假設(shè)，即認(rèn)為 x是平穩(wěn)的。> pp.test(y>Phillips-Perron Unit Root Testdata: yDickey-Fuller Z(alpha> = -3.9888, Truncation lag parameter= 5, p-value = 0.8872zvpgeqJ1hkalternative hypothesis

15、: stationary結(jié)論：p-value = 0.8872 不能拒絕原假設(shè)y是非平穩(wěn)的，所以認(rèn)為 y 是非平穩(wěn)的。函數(shù)3: PP檢驗時間序列的平穩(wěn)性：PPTEST參數(shù)1：時間序列P 臨界值，默認(rèn)值為0.05返回結(jié)果：用框架來組織返回結(jié)果結(jié)論<1：平穩(wěn)，0：不平穩(wěn))R語言pp檢驗函數(shù)的返回值A(chǔ)CF自相關(guān)函數(shù)判斷> modelx=lm(xtime(x>>> summary(modelx>Call:lm(formula = x time(x>>Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-2.87920 -0.75003 0.011

16、03 0.70595 3.15625Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|>(Intercept> 0.1524849 0.0915359 1.6660.0964 .NrpoJac3v1time(x> -0.0005077 0.0003166 -1.603 0.1095-Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 1nowfTG4KIResidual standard error: 1.022 on 498 degrees offreedomfjnFLDa5ZoM

17、ultiple R-squared: 0.005136, Adjusted R-squared: 0.003138 tfnNhnE6e5F-statistic: 2.571 on 1 and 498 DF, p-value: 0.1095HbmVN777sL > acf(rstudent(modelx>,main=' 關(guān)于 x 的 acf 自相關(guān)系數(shù)'>V7l4jRB8Hs從圖中可以看出其 K階滯后自相關(guān)系數(shù)都非常小呈截現(xiàn)象，因此判斷時間系列為平穩(wěn)性是合理的。函數(shù)4: ACF檢驗函數(shù)參數(shù)：時間序列檢驗p值，默認(rèn)為0.05圖形保存路徑，默認(rèn)為空返回值：以框架形式

18、線性回歸函數(shù)各個系數(shù)的檢驗p 值A(chǔ)CF 函數(shù)的返回值> modely=lm(ytime(y>>> summary(modely>Call:lm(formula = y time(y>>Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-13.2206 -5.6292 -0.6742 6.3185 13.6971Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|>(Intercept> 8.659376 0.620538 13.96 <2e-16*83lcPA59W9time

19、(y> 0.032966 0.002146 15.36 <2e-16*mZkklkzaaP-Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 AVktR43bpwResidual standard error: 6.927 on 498 degrees of freedomORjBnOwcEdMultiple R-squared: 0.3214,Adjusted R-squared: 0.32012MiJTy0dTTF-statistic: 235.9 on 1 and 498 DF, p-value: < 2.2e-16gIiSp

20、iue7A> acf(rstudent(modely>,main=' 關(guān)于 y 的 acf 自相關(guān)系數(shù)'>從圖中可以看出ACF隨著k的增大而緩慢下降，自相關(guān)系數(shù)大且為正因此判斷y序列為非平穩(wěn)時間序列是合理的。uEh0U1Yfmh例二 以TSA自帶的數(shù)據(jù)tempdub為例驗證數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗繪圖>library("TSA",lib.loc="e:/ProgramFiles/R/R- 2.15.2/library”>IAg9qLsgBX從圖中可以看出此時間序列具有非常明顯的周期性趨勢WwghWvVhPEAdf檢驗>

21、adf.test(tempdub>Augmented Dickey-Fuller Testdata: tempdubDickey-Fuller = -11.0773, Lag order = 5, p-value =0.01asfpsfpi4kalternative hypothesis: stationary結(jié)論：p-value = 0.01 所以tempdub時間序列是平穩(wěn)的。Pp檢驗> pp.test(tempdub>Phillips-Perron Unit Root Testdata: tempdubDickey-Fuller Z(alpha> = -51.0795, Truncation lag parameter= 4, p-value = 0.01ooeyYZTjj1 alternative hypothesis: stationary警告信息：In pp.test(tempdub> : p-value smaller than printed p- valueBkeGuInkxI結(jié)論： p-v