安徽省2021屆高三名校高考沖刺模擬卷數(shù)學(xué)(理科)試題(解析版)

1、2021年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)一、選擇題(共12小題)1. 集合 A =x|x2 2x> 3, B= x|Ov xv4，貝V An B =()A . (- 1 , 4)B. ( 0, 3C. 3 , 4)D. ( 3, 4)2. 復(fù)數(shù) z= m- 1+ (m - 3) i ( mZ)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，貝U卜( )A. -B. -C. 1D .一3“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物的別號(hào)如圖是折扇的示意圖，A為0B的中點(diǎn)，假設(shè)在整個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自扇面(扇環(huán))局部的概

2、4.B.)設(shè)1腫，那么(A. av bv cB. cv b v aC. cv av bD . b v av c5.向量a_、假設(shè) h| = |b| = 4，且(直十b)丄(割-2b)，那么a.與b的夾角是2 “4兀A .TJlB .C. nD . rv1 rj Y I * O S JC6. 函數(shù)f(x)=+ . 一在-n, 0 )n( 0,冗的圖象大致為()7. 在如圖算法框圖中，假設(shè)a= 6,程序運(yùn)行的結(jié)果S為二項(xiàng)式(2+x) 5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)的3倍，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件是(&設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和假設(shè)3S3= S2+S4, a2= 1,貝V a5=(A

3、. 12B. 10C. 10129.為了解學(xué)生課外使用 的情況，某學(xué)校收集了本校500名學(xué)生2021年12月課余使用 的總時(shí)間單位：小時(shí)的情況從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得恰有3名女生課余使用 的總時(shí)到如下圖的頻率分布直方圖.這50名學(xué)生中,那么至少抽到2名女生的概率為間在10 , 12,現(xiàn)在從課余使用 總時(shí)間在10, 12的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名,3B .可10.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C:厶-+,2ba > b > 0)的左焦點(diǎn)，A , B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF丄x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)I與線(xiàn)段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.假設(shè)直線(xiàn)BM經(jīng)過(guò)0E的

4、中點(diǎn)，貝U C的離心率為1B .豆11.正三棱錐 S ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為1 '：，底面邊長(zhǎng)為6，那么該正三棱錐外接球的體積是( )B.C. 64 nD.12. 函數(shù) f (x)的定義域是 R，對(duì)任意的xR，有f (x+2)- f ( x)= 0 .當(dāng)x - 1,1)時(shí)f ( x)= x .給出以下四個(gè)關(guān)于函數(shù) f (x)的命題： 函數(shù)f (x)是奇函數(shù)； 函數(shù)f (x)是周期函數(shù)； 函數(shù)f (x)的全部零點(diǎn)為 x = 2k, kZ; 當(dāng)x - 3, 3)時(shí)，函數(shù)呂仗)二一的圖象與函數(shù)f (x)的圖象有且只有 4個(gè)公共點(diǎn)X其中，真命題的個(gè)數(shù)為()A . 1B . 2C . 3D . 4二、

5、填空題(共4小題)13. 函數(shù)f(x) = ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1,f( 1)處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,5),那么a=.14 .假設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足那么z= 3x+2y的最大值為15. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足a什3a2+3n-1an = n,貝U S4=.2 216. 雙曲線(xiàn) C: -v=l(b>0)的右頂點(diǎn)為A，以點(diǎn)A為圓心，b為半徑作圓，且圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于 M, N兩點(diǎn)假設(shè)口 ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))，那么雙曲 線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .三、解答題(共 70分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生

6、根據(jù)要求作答)(一)必考題：共60分17 . ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,且廠:_1匸；1, b= 1.5兀(I)假設(shè). ，求 c；(H) 假設(shè)a= 2c,求厶ABC的面積.18.如圖，空間幾何體 ABCDE中， ABC> ACD、 EBC均是邊長(zhǎng)為 2的等邊三角形， 平面ACD丄平面 ABC，且平面 EBC丄平面 ABC , H為AB中點(diǎn).(I) 證明：DH /平面BCE ;(2)求二面角 E-AC - B的余弦值.19某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康平安，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查為此需要抽驗(yàn)669人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由

7、于人數(shù)較多，檢疫部門(mén)制定了以下兩種可供選擇的方案.方案一：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)669次.方案二：按k個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組k個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性那么驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這k個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次(這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn) 二次)：否那么，假設(shè)呈陽(yáng)性，那么需對(duì)這k+1個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)，這時(shí)該組 k個(gè)人的血總共需要化驗(yàn) k+1次假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p，且這些人之間的試驗(yàn)反響相互獨(dú)立.(1) 設(shè)方案二中，某組 k個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列(2) 設(shè)p = 0.1，試比擬方案二中，k分別取2, 3,

8、4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案一，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？(最后結(jié)果四舍五入保存整數(shù))20. 拋物線(xiàn)y2=- 2px (p> 0 )的焦點(diǎn)為F , x軸上方的點(diǎn)M (- 2, m)在拋物線(xiàn)上， 且|MF =二，直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)交于 A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A, B與M不重合)，設(shè)直線(xiàn) MA ,MB的斜率分別為k1, k2.(1) 求拋物線(xiàn)的方程；(n)當(dāng)k1+k2=- 2時(shí)，求證：直線(xiàn)I恒過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).21. 函數(shù) f (x)= lnx - aex+1 (aR).(1 )當(dāng)a = 1時(shí)，討論f (x )極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2) 假設(shè)函數(shù)f (x)有兩

9、個(gè)零點(diǎn)，求 a的取值范圍.(二)選考題：共 10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分選修4 一 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立71 I極坐標(biāo)系，直線(xiàn)I的極坐標(biāo)方程為二，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為y=V3sin®(1) 求直線(xiàn)I的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn) C的普通方程；(2) 以曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)M為圓心、r為半徑的圓恰與直線(xiàn) I相切，求r的最小值.選修4-5：不等式選講23. 函數(shù) f (x) = |x+1|+|2x 4|.(1 )求不等式f (x )< 5的解集；(2)假設(shè)函數(shù)y= f

10、(x)圖象的最低點(diǎn)為(m, n),正數(shù)a, b滿(mǎn)足ma+nb = 6,求亠 的取值范圍.參考答案、選擇題共12小題，每題 5分，共60分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求1.集合 A = x|x2 2x> 3, B= x|Ov xv4，貝V An B =()A .( - 1 , 4)B . ( 0, 3C . 3 , 4)D . ( 3, 4)【分析】先求出集合 A, B，由此能求出 A n B .解：集合 A = x|x2- 2x> 3 = x|xw- 1 或 x> 3,B = x|0v xv 4,A n B = x|3W xv 4 = 3, 4).應(yīng)選：C.2

11、.復(fù)數(shù) z= m- 1+ (m - 3) i ( mZ)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，貝U卜V5( )B. C. 1D. . :【分析】由列式求得m,再由商的模等于模的商求解.解：由題意可得,，解得 1 v mv 3.又 m Z, /.m= 2,那么 z= 1 - i,1 _ 1 _ 1U =Iz+L| _|2-i| 藥 5應(yīng)選：A.3. “數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書(shū)畫(huà),扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物的別號(hào).如圖是折扇的示意圖,A為OB的中點(diǎn)，假設(shè)在整個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自扇面扇環(huán)局部的概 率是B .|【分析】利用扇形的面

12、積計(jì)算公式即可得出.此點(diǎn)取自扇面扇環(huán)局部的概率=解：不妨設(shè) OA = 1,扇形中心角為 0.應(yīng)選：C.，旳吟A. av bv cB. cv b v aC. cv av bD. b v av c【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，并與0, 1比擬可得答案.【解答】解析：由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：a=lo! 3<Clog1 1-0771,1c=2T>有 av b v c應(yīng)選：A.5.向量a、匸假設(shè)ll=lb=4，且熬+ 6丄鳳b,那么a.與b的夾角是)2仃TT|4兀A.護(hù)B. 3C. nD.【分析】設(shè)向量；、g的夾角為0由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求出COS0與0的值.解：設(shè)向量粗、b的

13、夾角為0由| a | = |b | = 4,且【盤(pán)十b丄【盤(pán)-2b，得負(fù)+b?迥= 16 - 4X 4X cos0 2 X 16= 0,解得 cos 0=- 1 ,又 0fo, n,所以與：的夾角是0= n應(yīng)選：C.,“廣 x In | x *cosx ,，,6.函數(shù)f tx -x+si nx 在-， 0門(mén)0,兀的圖象大致為【分析】由函數(shù)的奇偶性及特殊點(diǎn)，觀察選項(xiàng)即可得解.解：r-x-sinx函數(shù)f x為奇函數(shù)，又t ： V.亠-,選項(xiàng)D符合題意.應(yīng)選：D.7在如圖算法框圖中，假設(shè) a= 6,程序運(yùn)行的結(jié)果 S為二項(xiàng)式2+x 5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)的3倍，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于 k的判斷條件

14、是A . kv 3B. k> 3C. k v4D. k>4【分析】根據(jù)二項(xiàng)式2+x 5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出x3的系數(shù)，模擬程序的運(yùn)行，可得判斷框內(nèi)的條件.解：二項(xiàng)式2- x 5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是 Tr+i=cf ? 25r? xr,令 r = 3, T3+i= C5? 22? x3; x3 的系數(shù)是 CI? 22? 13= 40.程序運(yùn)行的結(jié)果 S為120,模擬程序的運(yùn)行，由題意可得k= 6, S= 1不滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S= 6, k= 5不滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S= 30, k = 4不滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體,S= 120, k = 3500名

15、學(xué)生2021年12月課余使用50名學(xué)生，將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下圖的頻率分布直方圖.這50名學(xué)生中,恰有3名女生課余使用 的總時(shí)此時(shí)，應(yīng)該滿(mǎn)足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值為120.故判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件是kv4?應(yīng)選：C.8. 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.假設(shè)3S3= S2+S4, a2=- 1,貝U a5=A . - 12B. - 10C. 10D. 12【分析】利用等差數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式即可得出.解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,v 3S3= S2+S4, a2=- 1, 33x( - 1) = 2x( - 1)- d+4x( - 1) +2d, 解得d=- 3.

16、那么 a5=- 1+3x( - 3)=- 10.應(yīng)選：B.9. 為了解學(xué)生課外使用 的情況，某學(xué)校收集了本校 的總時(shí)間單位：小時(shí)的情況.從中隨機(jī)抽取了間在10 , 12,現(xiàn)在從課余使用 總時(shí)間在10, 12的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名,那么至少抽到2名女生的概率為I。 12 H 16 I畐M諛制 恙A.B.215c .亍D - 28【分析】根本領(lǐng)件總數(shù)n = Cg = 56,至少抽到2名女生包含的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)'：；-=16，由此能求出至少抽到2名女生的概率.解：這50名學(xué)生中，恰有3名女生的課余使用 總時(shí)間在10 , 12,調(diào)余時(shí)間使用 總時(shí)間在10, 12的學(xué)生總數(shù)為：50X 0.

17、08X 2 = 8 (名),從課余使用 總時(shí)間在10, 12的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，根本領(lǐng)件總數(shù)n=56至少抽到2名女生包含的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù) m=C扌+C彳C = 16,至少抽到2名女生的概率為半諾.應(yīng)選：C.10.O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:=1 (a > b > 0)的左焦點(diǎn)A , B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF丄x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)I與線(xiàn)段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E .假設(shè)直線(xiàn)BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，貝U C的離心率為(【分析】由題意可得 F , A, B的坐標(biāo)，設(shè)出直線(xiàn) AE的方程為y= k (x+a)，分別令x=-c, x= 0，可得M, E的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)

18、坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線(xiàn)的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值.解：由題意可設(shè) F (- c, 0), A (- a, 0), B (a, 0), 設(shè)直線(xiàn)AE的方程為y= k (x+a),令 x =- c,可得 M (- c, k (a - c),令 x = 0,可得 E (0, ka),設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得H (0,由B, H , M三點(diǎn)共線(xiàn)，可得kBH = kBM ,k(a-c)-a即為a-c12化簡(jiǎn)可得即為a= 3c,c1e=a3可得另解：由厶AMF AEO ,可得蘭.注 3應(yīng)選：A.11 正三棱錐 S-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為1:,底面邊長(zhǎng)為6，那么該正三棱錐外接球的體積

19、是( )64卄1256 -A. 16nB.3兀C. 64 nD療鞏【分析】正棱錐的外接球的球心在頂點(diǎn)向底面做投影所在的直線(xiàn)上，先求底面外接圓的 半徑，再由勾股定理求錐的高，由勾股定理求出外接球的半徑，由球的體積公式求出體 積.ABC的外接圓的圓心 O'，外解：如下圖：由正棱錐得，頂點(diǎn)在底面的投影是三角形6接圓的半徑r,正三棱錐的外接球的球心在高SO'所在的直線(xiàn)上，設(shè)為 O,連接0A得：r r = 2 .：，即 O'A= 2；-：,所以三棱錐的高h(yuǎn) =:二-| y 6,由勾股定理得，R2= r2+ (R - h) 2,解得：R= 4,所以外接球的體積 V = -%R3=2

20、567t.應(yīng)選：D.R，對(duì)任意的 xR，有 f (x+2)- f ( x)= 0.當(dāng) x - 1,1)時(shí)f ( x)= x .給出以下四個(gè)關(guān)于函數(shù) f (x)的命題: 函數(shù)f (x)是奇函數(shù)； 函數(shù)f (x)是周期函數(shù); 函數(shù)f (x)的全部零點(diǎn)為 x = 2k, kZ; 當(dāng)x - 3, 3)時(shí)，函數(shù)呂僅)二一的圖象與函數(shù)f (x)的圖象有且只有 4個(gè)公共點(diǎn)X其中，真命題的個(gè)數(shù)為()A . 1B . 2C . 3D . 4【分析】通過(guò)題中給的知識(shí)點(diǎn)，判斷周期性，奇偶性，求出每一段的解析式.解：對(duì)任意的 x駅，有f (x+2)- f (x) = 0,對(duì)任意的 xR，有 f (x+2)= f (x

21、), f (x)是以2為周期的函數(shù)， 對(duì)， f (1 )= f (1- 2)= f (- 1),又當(dāng) x - 1, 1 )時(shí) f (x)= x, f (1) = f (- 1 )=- 1,函數(shù)f (x)不是奇函數(shù)， 錯(cuò)， f (0)= 0, f (2k)= f ( 0)= 0, kZ,對(duì)，當(dāng) x - 1, 1 )時(shí) f (x)= x,令 f (x)= g (x)，解之得 x = 1 (舍)，x=- 1;當(dāng) x 1, 3)時(shí) f (x)= f (x-2)= x - 2,令f (x)= g (x)，解之得x = 1-逅(舍)，x= 1研;當(dāng) x - 3,- 1 )時(shí) f ( x)= f (x+2)

22、= x+2,令 f (x)= g (x)，解之得 x =- 1+；：E (舍)，x =- 1 -.'：】；共有3個(gè)公共點(diǎn)，錯(cuò)，應(yīng)選：B.二、填空題(共4小題，每題5分，共20分)13.函數(shù)f (x) = ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1, f (1)處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2, 5)，貝U a =1女.【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線(xiàn)在x = 1處的切線(xiàn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解a值.解： f (x)= ax3+x+1 , f'( x)= 3ax2+1, f'( 1)= 3a+1，而 f (1)= a+2 ,切線(xiàn)方程為 y-a- 2=( 3a+1)(x- 1),切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2, 5),. 5 -

23、a - 2=( 3a+1)( 2 - 1),解得：a故答案為:2丄叵.14假設(shè)實(shí)數(shù)X、X-y+10y 滿(mǎn)足 x+2y-2< 0 ,那么z= 3x+2y的最大值為 _10y>-l【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.K-y 4*10解：由實(shí)數(shù)X、y滿(mǎn)足s42y-2<0，作出可行域如圖,/x-2y-2=0/x-v-l=0At 77J，解得 A (4, - 1),聯(lián)立+2y-2=0y=-l一c z化目標(biāo)函數(shù) z= 3x+2y為y=-由圖可知，當(dāng)直線(xiàn) y =-亠x+二過(guò)A時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最

24、大,z有最大值為z= 3X 4 - 2X 1 = 10.故答案為：10.15.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足 a什3a2+3n- 1an = n,貝U S4=_ . _.【分析】禾U用條件求出首項(xiàng)，推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解數(shù)列的和.解:=tx,可得 n= 1 時(shí)，ai = 1,兩式相減可得3n-1=廠._ .，又； '1 T ,上式對(duì)n= 1也成立，an= 1，即可削=可得數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為二的等比數(shù)列,可得故答案為:g40% 140272716.雙曲線(xiàn) C：=的右頂點(diǎn)為A，以點(diǎn)A為圓心，b為半徑作圓，且圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M , N兩點(diǎn)假設(shè)

25、II =0為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么雙曲 |BN|f ； I =線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 一一51 I-【分析】利用條件，轉(zhuǎn)化求解A到漸近線(xiàn)的距離，推出 a, c的關(guān)系，求解雙曲線(xiàn)的a, b即可得到雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：雙曲線(xiàn)C:三丫. Tb?Q的右頂點(diǎn)為A J£, 0, 5 b2以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于 M、N兩點(diǎn).那么點(diǎn)A到漸近線(xiàn)bx - . y = 0的距離為|AB| = |0B|= 5|BN| =|0A|=, AB =：C,0B =-C,OB2+AB2= oa2,即八:,解得b= 1,c c雙曲線(xiàn)方程為:證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必

26、須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答一必考題：共60分17. ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,且 y.:：-'n3 -. jA 1, b= 1.()假設(shè):廠，求c；H假設(shè)a= 2c,求厶ABC的面積.【分析】I利用輔助角公式化簡(jiǎn),；：' 1 | I ，可得 B.由二一，求出 C, b=1，正弦定理求c;n根據(jù)B和b= 1, a= 2c,余弦定理求解出ac,根據(jù) ABC的面積S=iacsinB可求解.解：I由/3sinB-cosB=l,JI整理得二i：1'所以因?yàn)镺V B V n,6 6 67T 7U 故二一67T解得z ,且 A

27、+ B +C = n,由正弦定理:ginC sinB開(kāi) n解得： 1.3(n)由余弦定理：b2= a2+c2 - 2accosB ,又 :所以:-1 :!:'-,解得/ / c由此得a2= b2+c2,故厶ABC為直角三角形，其面積：.-'.'18. 如圖，空間幾何體 ABCDE中， ABC> ACD、 EBC均是邊長(zhǎng)為 2的等邊三角形,平面ACD丄平面 ABC，且平面 EBC丄平面 ABC , H為AB中點(diǎn).(1) 證明：DH /平面BCE ;(2) 求二面角E-AC - B的余弦值.【分析】(1)分別取AC, BC的中點(diǎn)P, Q,連接DP, EQ, PQ, P

28、H, DH .證明EQ/ DP,推出 DP /平面EBC , PH /面EBC，得到面BCE /面DPH，即可證明 DH /平面 BCE .(2)法1:以點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA為x軸，以PB為y軸，以PD為z軸，建立如下圖 空間直角坐標(biāo)系，求出面 ABC的法向量，面 EAC的法向量，設(shè)二面角 E- AC - B的平 面角為0,空間向量的數(shù)量積求解即可；法2：過(guò)Q點(diǎn)作AC垂線(xiàn)，垂足為F，連接EF 說(shuō)明/ EFQ為二面角E- AC - B的平 面角通過(guò)求解三角形推出結(jié)果即可.【解答】(1)證明：分別取 AC, BC的中點(diǎn)P, Q,連接DP, EQ, PQ, PH , DH .由平面 ACD丄平面 AB

29、C，且交于 AC, DP?平面ACD , DP丄AC有DP丄面 ABC ,由平面 EBC丄平面 ABC，且交于 BC, EQ?平面BCE , EQ丄BC有EQ丄面ABC所以 EQ / DP ,(P I! EQ«凹匸平面EBC,所以DP /平面EBC ,RP芒平面E&C由 AP = PC, AH = HB 有 PH / BC ,rPH II BC« BC匸平面EBC,所以ph /面ebc , fHM平面EBCDP 0面EBC« PH 面EBC,所以面 BCE /面 DPH ,所以DH /平面BCE(2)解：法1:以點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA為x軸，以PB為y軸，以P

30、D為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由EQ丄面ABC，所以面ABC的法向量可取=(0, 0, 1),點(diǎn) A (1 , 0, 0),點(diǎn) C (- 1, 0, 0)，點(diǎn)一,n-乎，V5)，AC=(-2S 0, 0),設(shè)面EAC的法向量=x, y, z,所以設(shè)二面角 E - AC - B 的取 ii=( 0, 2，- 1),據(jù)判斷其為銳m" nml In法2 :過(guò)Q點(diǎn)作AC垂線(xiàn)，垂足為F，連接EF .，那么有AC丄EF .由1問(wèn)可知EQ丄AC,又因?yàn)镼P丄AC,所以AC丄平面EFQ所以/ EFQ為二面角E - AC - B的平面角.由題可知QF止寺BP,所以QF半，那么甌 所以，迪上取詈丸

31、辛.219某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康平安，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查為此需要抽驗(yàn)669人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由于人數(shù)較多，檢疫部門(mén)制定了以下兩種可供選擇的方案.方案一：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)669次.方案二：按k個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組k個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性那么驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這k個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)一次：否那么，假設(shè)呈陽(yáng)性，那么需對(duì)這k+1個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)，這時(shí)該組 k個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)k+1次假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p，且這些人之間的試驗(yàn)反響

32、相互獨(dú)立.1設(shè)方案二中，某組 k個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列2設(shè)p = 0.1,試比擬方案二中，k分別取2, 3, 4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案一，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？最后結(jié)果，每個(gè)人四舍五入保存整數(shù)【分析】1根據(jù)題意，某組 k個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為X的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為 P,那么呈陽(yáng)性的概率 q = 1 - P,求出概率，寫(xiě)出分布列即可;2 根據(jù) 1 可得方案的數(shù)學(xué)期望 E X寸十(l-p) , p= 0.1，求出 k= 2, 3,4時(shí)化驗(yàn)的平均次數(shù)，求出化驗(yàn)次數(shù)最少的情況，與方案一比照，得出結(jié)論.解：1根據(jù)題意，每個(gè)人的血

33、樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p，那么呈陽(yáng)性的概率q = 1 - p.所以k個(gè)人的血混合后呈陰性反響的概率為1- pk,呈陽(yáng)性反響的概率為1 -(1 - p)1,kk故X =P (X=| ) = ( 1 - p)=1-( 1 - p) k,k, P (X =故X的分布列為:(2 ) 根據(jù)右(1-pE(1 - p) k1 可得方(k = 2 時(shí),E(Xk = 3 時(shí),(X)Ek = 4 時(shí),(X)E-(1 - p) k的數(shù)學(xué)期望 E,p= 0.1,-丄二逼洞，此時(shí)669人需要化驗(yàn)總次數(shù)為462 次;-X §，此時(shí)669人需要化驗(yàn)總次數(shù)為 404 次;-厲二15決9，此時(shí)669人需要化驗(yàn)總次數(shù)為3

34、97 次;故k = 4時(shí)，化驗(yàn)次數(shù)最少,根據(jù)方案一，化驗(yàn)次數(shù)為 669次，故當(dāng)k= 4時(shí)，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少669 - 397 = 272次.20. 拋物線(xiàn)y2=- 2px (p> 0 )的焦點(diǎn)為F , x軸上方的點(diǎn)M (- 2, m)在拋物線(xiàn)上， 且|MF |=二，直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)交于 A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A, B與M不重合)，設(shè)直線(xiàn) MA , MB的斜率分別為ki, k2.(I)求拋物線(xiàn)的方程；(n)當(dāng)ki+k2=- 2時(shí)，求證：直線(xiàn)I恒過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【分析】(I)禾U用拋物線(xiàn)的定義以及性質(zhì)，列出方程求出p,即可求拋物線(xiàn)的方程；(n)當(dāng)ki+k2=- 2時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程與

35、拋物線(xiàn)聯(lián)立，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求解直線(xiàn)I恒過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解：(I)由拋物線(xiàn)的定義可以肝丨一一-千， p = 1拋物線(xiàn)的方程為 y2=- 2x;(n)證明：由(1)可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2, 2)當(dāng)直線(xiàn)I斜率不存在時(shí)，此時(shí) A，B重合，舍去.當(dāng)直線(xiàn)I斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)I的方程為y= kx+b設(shè) A (xi，y1)， B (X2，y2)，0=kx+b -2kb-2b2將直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)聯(lián)立得:2k2x2+(2kb+2)x+b2= 0心十乜-虧工=-2xkk又y嚴(yán)即(心什匕-2) ( X2+2) + ( kx 2+ b - 2) (x什2) =- 2 (x什2) (X2+2) 2kxiX2+

36、2k ( X1+X2)+b (X1+X2 ) - 2 (X1+X2 ) +4b- 8 =- 2x1x2 - 4 ( X1+X2 ) - 8將帶入得，b2- b - 2- 2k (b+1) = 0即(b+1)( b - 2 - 2k) = 0得 b =- 1 或 b= 2+2k.當(dāng)b =- 1時(shí)，直線(xiàn)I為y= kx - 1，此時(shí)直線(xiàn)恒過(guò)(0，- 1)當(dāng)b =- 2- 2k時(shí)，直線(xiàn)I為y= kx+2k+2= k (x+2) +2，此時(shí)直線(xiàn)恒過(guò)(-2，2)(舍去)所以直線(xiàn)I恒過(guò)定點(diǎn)(0，- 1)21. 函數(shù) f (x)= Inx - aex+1 (aR).(1 )當(dāng)a = 1時(shí)，討論f (x )極值

37、點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)假設(shè)函數(shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【分析】(1)將a= 1代入,在(二，1 )上存在唯一零點(diǎn)求導(dǎo)得到f'( x)在(0, + 8)上單調(diào)遞減，那么 f '( x)X0,進(jìn)而可判斷出 X0是f (x)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值占；八、(2)令 f (x)= 0,得到 a=，那么y= a 與 g (x)=Lnx + 1的圖象在(0, +8)上有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得到fea的取值范圍.解：(1)當(dāng) a= 1 時(shí)，f (x)= Inx - ex+1(x>0)，貝U f'(x)=-ex,顯然f'( 乂)在(0, +8)上單調(diào)遞

38、減，又f'()= 2- '>0, f'( 1)=1 - ev 0,所以f'( x)在(,1) 上存在唯一零點(diǎn)X0,當(dāng) x ( 0, X0)時(shí)，f'( x)> 0,當(dāng) x (X0, + 8)時(shí)，f'( x)所以X0是f ( x )的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn);lns+L A:，令 y = a, g (X )=e在(0, +8)上有2個(gè)交點(diǎn)，(2)令 f (x)= 0, a=，那么y= a 與 g(x)的圖象1T111(x>0),令 h (x)=-lnx-1，貝U h'( x )=-2 -g'( x)=h (1)= 0,V 0,所以h (x)在(0, + 8)上單調(diào)遞減，而故當(dāng) x (0, 1)時(shí)，h (x)> 0，即 g '( x)