高等數(shù)學 9-4三重積分的概念和計算方法

1、 解,0:22+y x zxyz1D :02x z221D 2Dz 例4 計算三重積分 zdxdydz ，其中 為三個坐標面及平面 x + y + z = 1 所 圍成的閉區(qū)域. 解（一） zdxdydz = zdz dxdy, 0 Dz 1 Dz = ( x, y | x + y 1 z dxdy = 2 (1 z (1 z Dz 1 原式 = z 2 (1 z dz = 24 . 2 0 1 1 1 z 1 o 1 x y 1 解（二） zdxdydz = zdz 1 1 z 0 0 dy 1 y z 0 dx = zdz 0 1 1 z 0 1 1 1 (1 y z dy = z (1

2、z 2 dz = . 0 2 24 例 5 計算三重積分 2 z dxdydz ，其中 是由橢球面 x2 y2 z 2 + + = 1 所成的 a 2 b2 c 2 6 空間閉區(qū)域. 解 z Dz o y x : 原式 = ( x, y, z | c z c, x2 y2 z2 + 1 2 a 2 b2 c c c z 2 dz dxdy, Dz Dz = ( x, y | x2 y2 z2 + 2 1 2 a2 b c dxdy = a 2 (1 Dz z2 z2 z2 b 2 (1 2 = ab(1 2 , c c2 c 原式 = 例 6 c c ab(1 z2 2 4 z dz = ab

3、c 3 . 2 c 15 計算三重積分 y 1 x 2 dxdydz ，其中 由曲面 y = 1 x 2 z 2 ， x 2 + z 2 = 1 ， y = 1 所圍成. 解 如圖, 將 投影到 zox 平面得 Dxz : x 2 + z 2 1 , 7 先對 y 積分，再求 Dxz 上二重積分, 原式 = y 1 x 2 dxdz D xz 1 1 x 2 z dy = dx 2 1 1 1 x 2 1 x 2 1 x2 x2 + z 2 dz 2 = 1 x2 (x2 z + 1 1 1 1 z 3 1 x 2 28 | dx = (1 + x 2 2 x 4 dx = . 2 1 3 3 1 x 45 三、小結(jié) 三重積分的定義和計算（計算時將三重積分化為三次積分） 在直角坐標系下的體積元素 dv = dxdydz 思考題 選擇題: 為六個平面 x = 0 ， x = 2 ， y = 1 ， x + 2 y = 4 ， z = x ， z = 2 圍成的區(qū)域， f ( x, y, z 在 上連續(xù)，則累次積分_ = f ( x, y, z dv . ( A ( B (C ( D dx 0 2 0 2 1 dx 2 0 2 0 dx x 2 x 2 2 1 2 1 dy f ( x, y, z dz; 2 x dy f ( x, y, z dz; 2 x dx x 2 2 x 2