高中數(shù)學第二章平面向量22從位移的合成到向量的加法22

1、2.2.1 向量的加法整體設計教學分析向量的加法是學生在認識向量概念之后首先要掌握的運算 , 其主要內(nèi)容是運用向量的定 義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、 平行四邊形法則 , 并對向量加法的交換律、 結合律進行證明 . 同時運用它們進行相關計算 , 這可讓學生進一步加強對向量幾何意義的理 解 , 也為接下來學習向量的減法奠定基礎 , 起到承上啟下的重要作用 . 學生已經(jīng)通過上節(jié)的學 習 , 掌握了向量的概念、 幾何表示 , 理解了什么是相等向量和共線向量 . 在學習物理的過程中 , 已經(jīng)知道位移、 速度和力這些物理量都是向量 , 可以合成 , 而且知道這些矢量的合成都遵循平 行四邊形

2、法則 , 這為本課題的引入提供了較好的條件 .培養(yǎng)數(shù)學的應用意識是當今數(shù)學教育的主題 , 本節(jié)課的內(nèi)容與實際問題聯(lián)系緊密 , 更應 強化數(shù)學來源于實際又應用于實際的意識 . 在向量加法的概念中 , 由于涉及到兩個向量有不 平行和平行這兩種情況 , 因此有利于滲透分類討論的數(shù)學思想 . 而在猜測向量加法的運算律 時 , 通過引導學生利用實數(shù)加法的運算律進行類比 , 則能培養(yǎng)學生類比、遷移等能力 . 在實際 教學中 , 類比數(shù)的運算 , 向量也能夠進行運算 . 運算引入后 , 向量的工具作用才能得到充分發(fā) 揮 . 實際上 , 引入一個新的量后 , 考察它的運算及運算律 , 是數(shù)學研究中的基本問題

3、. 教師應引 導學生體會考察一個量的運算問題 , 最主要的是認清運算的定義及其運算律 , 這樣才能正確、 方便地實施運算 .向量的加法運算是通過類比數(shù)的加法 , 以位移的合成、力的合力等兩個物理模型為背景 引入的 . 這樣做使加法運算的學習建立在學生已有的認知基礎上 , 同時還可以提醒學生注意 , 由于向量有方向 , 因此在進行向量運算時 , 不但要考慮大小問題 , 而且要考慮方向問題 , 從而 使學生體會向量運算與數(shù)的運算的聯(lián)系與區(qū)別 . 這樣做 , 有利于學生更好地把握向量加法的 特點 . 因此本節(jié)的主要思想方法是類比思想、數(shù)形結合思想等 .三維目標1. 通過經(jīng)歷向量加法的探究 , 掌握向

4、量加法概念 , 結合物理學實際理解向量加法的意義 . 能熟 練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則 , 并能作出已知兩向量的和向量 .2. 在探究活動中 , 理解向量加法滿足交換律和結合律及表述兩個運算律的幾何意義 . 掌握有 特殊位置關系的兩個向量的和 , 比如共線向量、共起點向量、共終點向量等 .3. 通過本節(jié)內(nèi)容的學習 , 使學生認識事物之間的相互轉化 , 培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識 , 體會數(shù) 學在生活中的作用 . 培養(yǎng)學生類比、 遷移、 分類、 歸納等能力 , 初步體會向量內(nèi)容與其他知識 的交匯特點 .重點難點教學重點 :向量加法的運算及其幾何意義 .教學難點 :對向量加法法則定義

5、的理解 .課時安排1課時教學過程導入新課思路 1. (復習導入 上一節(jié) , 我們一起學習了向量的有關概念 , 明確了向量的表示方法 , 了解 了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念 , 并掌握了這些概念的辨析判斷 . 另外 , 向 量和我們熟悉的數(shù)一樣也可以進行加減運算 , 這一節(jié) , 我們先學習向量的加法 .思路 2.(問題導入 2004年大陸和臺灣沒有直航 , 因此春節(jié)探親 , 要先從臺北到香港 , 再從香 港到上海 , 這兩次位移之和是什么 ? 怎樣列出數(shù)學式子?一位同學按以下的指令進行活動 :向北走 20米 , 再向西走 15米 , 再向東走 5米 , 最后向南走 10米 , 怎

6、樣計算他所在的位置 ? 由此導 入新課 .推進新課新知探究提出問題數(shù)能進行運算 , 向量是否也能進行運算呢?類比數(shù)的加法 , 猜想向量的加法 , 應怎樣定義向 量的加法?猜想向量加法的法則是什么 ? 與數(shù)的運算法則有什么不同? 圖 1活動 :向量是既有大小、 又有方向的量 , 教師引導學生回顧物理中位移的概念 , 位移可以合成 , 如圖 1. 在大型生產(chǎn)車間里 , 一重物被天車從 A 處般運到 B 處 , 它的實際位移 AB , 可以看作水 平運動的分位移 與豎直向上運動的分位移 的合位移 .由分位移求合位移 , 稱為位移的合成 . 由物理學知識我們知道 , 位移合成遵循平行四邊形 法則 ,

7、即 AB 是以 AC,AD 為鄰邊的 ACBD 的對角線 .數(shù)的加法啟發(fā)我們 , 從運算的角度看 , 可以認為是 與 的和 , 即位移、力的合 成看作向量的加法 .討論結果 :向量加法的定義 :如圖 2, 已知非零向量 a 、 b , 在平面內(nèi)任取一點 A, 作 AB =a , BC =b , 則向量 AC 叫作 a 與 b 的和 , 記作 a +b , 即 a +b =AB +BC =AC. 圖 2求兩個向量和的運算 , 叫作向量的加法 .向量加法的法則 :1°向量加法的三角形法則已知向量 a , b , 在平面內(nèi)任取一點 A, 作 =a , =b , 再作向量 , 則向量 叫作

8、向量 a 與 b 的和 , 這種求向量和的作圖方法就是向量加法的三角形法則 . 運用這一法則時要特 別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點為起點 , 則由第一個向量的起點 指向第二個向量的終點的向量即為和向量 , 如圖 2.位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型 .向量求和的三角形法則 , 可推廣至多個向量求和的多邊形法則 :n個向量經(jīng)過平移 , 順次 使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合 , 組成一向量折線 , 這 n 個向量的和等于折線起點到終點的向量 , 即 2110A A A A +n n n A A A A 01=-.2°向量加法的平行四邊形法則

9、圖 3如圖 3, 以同一點 O 為起點的兩個已知向量 a 、 b 為鄰邊作平行四邊形 , 則以 O 為起點的對角 線 OC 就是 a 與 b 的和 . 我們把這種作兩個向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則 . 力的合成可以看作向量加法的物理模型 .提出問題對于零向量與任一向量的加法 , 結果又是怎樣的呢 ?兩共線向量求和時 , 用三角形法則較為合適 . 當在數(shù)軸上表示兩個向量時 , 它們的加法與數(shù) 的加法有什么關系?思考 |a +b |,|a |,|b |存在著怎樣的關系 ?數(shù)的運算和運算律緊密聯(lián)系 , 運算律可以有效地簡化運算 . 類似地 , 向量的加法是否也有運 算律呢 ?活動 :觀察

10、實際例子 , 教師啟發(fā)學生思考 , 并適時點撥 , 誘導 , 探究向量的加法在特殊情況下的 運算 , 共線向量加法與數(shù)的加法之間的關系 . 數(shù)的加法滿足交換律與結合律 , 即對任意 a , b R, 有 a +b =b +a ,(a +b +c=a +(b +c.任意向量 a , b 的加法是否也滿足交換律和結合律 ? 引 導學生畫圖進行探索 .討論結果 :對于零向量與任一向量 , 我們規(guī)定 a +0=0+a =a .兩個數(shù)相加其結果是一個數(shù) , 對應于數(shù)軸上的一個點 ; 在數(shù)軸上的兩個向量相加 , 它們的和 仍是一個向量 , 對應于數(shù)軸上的一條有向線段 .當 a , b 不共線時 ,|a +

11、b |<|a |+|b |(即三角形兩邊之和大于第三邊 ;當 a , b 共線且方向相同時 ,|a +b |=|a |+|b |;當 a , b 共線且方向相反時 ,|a +b |a |-|b |(或 |b |-|a |,其中當向量 a 的長度大于向量 b 的長 度時 ,|a +b |=|a |b |;當向量 a 的長度小于向量 b 的長度時 ,|a +b |=|b |a |.一般地 , 我們有 |a +b |a |+|b 圖 4如圖 4, 作 AB =a , AD =b 以 AB 、 AD 為鄰邊作 ABCD, 則 BC =b , DC =a . 因為 =+=a +b , =+= b+

12、a, 所以 a +b =b +a. 圖 5如圖 5, 因為 =+=(+=(a +b +c ,AD =AB +BD =AB +(BC +CD =a +(b +c , 所以 (a +b +c =a +(b +c .綜上所述 , 向量的加法滿足交換律和結合律 .應用示例思路 1例 1 如圖 6, 已知向量 a 、 b , 求作向量 a +b .活動 :教師引導學生 , 讓學生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向 量的和向量 . 在向量加法的作圖中 , 學生體會作法中在平面內(nèi)任取一點 O 的依據(jù)它體現(xiàn) 了向量起點的任意性 . 在向量作圖時 , 一般都需要進行向量的平移 , 用平行四邊

13、形法則作圖時 應強調(diào)向量的起點放在一起 , 而用三角形法則作圖則要求首尾相連 . 圖 6 圖 7 圖 8解 :作法一 :在平面內(nèi)任取一點 O(如圖 7, 作 OA =a , AB =b , 則 OB =a +b .作法二 :在平面內(nèi)任取一點 O(如圖 8, 作 OA =a ,=b . 以 OA 、 OB 為鄰邊作 OACB, 連結 OC, 則 =a +b .變式訓練化簡 :(1BC +AB ;(2BCCDDB +;(3AB +FABCCDDF +活動 :根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相接 , 再運用向量加法的結合律調(diào)整運算順 序 , 然后相加 .解 :(1+=+=.(2+=+=(+=+

14、=0.(3AB +DF +CD +BC +FA =AB +BC +CD +DF +FA=AC +CD +DF +FA =AD +DF +FA =AF +FA =0.點評 :要善于運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向量 .例 2 長江兩岸之間沒有大橋的地方 , 常常通過輪渡進行運輸 . 如圖 9所示 , 一艘船從長江南 岸 A 點出發(fā) , 以 5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛 , 同時江水的速度為向東 2km/h.(1試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度 (保留兩個有效數(shù)字 ;(2求船實際航行的速度的大小與方向 (用與江水速度間的夾角表示 , 精確到度 . 圖 9 圖 10活

15、動 :本例結合一個實際問題說明向量加法在實際生活中的應用 . 這樣的問題在物理中已有 涉及 , 這里是要學生能把它抽象為向量的加法運算 , 體會其中應解決的問題是向量模的大小 及向量的方向 (與某一方向所成角的大小 . 引導點撥學生正確理解題意 , 將實際問題反映在 向量作圖上 , 從而與初中學過的解直角三角形建立聯(lián)系 .解 :如圖 10所示 , AD 表示船速 , AB 表示水速 , 以 AD 、 AB 為鄰邊作 ABCD, 則 AC 表示船實 際航行的速度 .(2在 Rt ABC 中 , AB |=2,|BC |=5,所以 |AC |=295222=+=5.4.因為 t a nC AB=2

16、29, 由計算器得C AB =70°.答 :船實際航行速度的大小約為 5.4km/h,方向與水的流速間的夾角為 70°.點評 :用向量法解決物理問題的步驟為 :先用向量表示物理量 , 再進行向量運算 , 最后回扣物 理問題 , 解決問題 .變式訓練用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 .圖 11活動 :本題是一道平面幾何題 , 如果用純幾何的方法去思考 , 問題不難解決 , 如果用向量法來 解 , 不僅思路清晰 , 而且運算簡單 . 將互相平分利用向量表達 , 以此為條件推證使四邊形為平 行四邊形的向量等式成立 . 教師引導學生探究怎樣用向量法解決幾何問題 ,

17、并在解完后總結 思路方法 .證 明 :如 圖 11, 設 四 邊 形 ABCD 的 對 角 線 AC 、 BD 相 交 于 點 O, =+, +=.AC 與 BD 互相平分 , =, =, =,因此 AB CD 且 |AB |=|DC |,即四邊形 ABCD 是平行四邊形 .點評 :證明一個四邊形是平行四邊形時 , 只需證明 =或 =即可 . 而要證明一 個四邊形是梯形 , 需證明 AB 與 DC 共線 , 且 |AB |DC |.例 3 輪船從 A 港沿東偏北 30°方向行駛了 40n mile (海里 到達 B 處 , 再由 B 處沿正北方 向行駛 40n mile到達 C 處

18、, 求此時輪船與 A 港的相對位置. 圖 12解 :如 圖 12, 設 AB 、 BC 分 別 表 示 輪 船 的 兩 次 位 移 , 則 AC 表 示 輪 船 的 合 位 移 , =+.在 RtADB 中,ADB=90°,DAB=30°,|=40n mile,所以 |=20n mile,|=20n mile.在 RtADC 中,ADC=90°,|DC |=60n mile,所以 |AC|=60 (22=+=n mile 因為 |=2|,所以CAD=60°.答 :輪船此時位于 A 港東偏北 60°,且距 A 港 403n mile的 C 處 .

19、思路 2例 1 如圖 13,O 為正六邊形 ABCDEF 的中心 , 作出下列向量 : (1OC OA +;(2FE BC +;(3FE OA +.活動 :教師引導學生由向量的平行四邊形法則 (三角形法則 作出相應的向量 . 教師一定要讓 學生親自動手操作 , 對思路不清的學生教師適時地給予點撥指導. 圖 13解 :(1因四邊形 OABC 是以 OA 、 OC 為鄰邊的平行四邊形 ,OB 是其對角線 , 故 +=.(2因 =, 故 FE BC =與 BC 方向相同 , 長度為 BC 的長度的 2倍 ,故 FE BC =AD .(3因 =, 故 +=+=0.點評 :向量的運算結合平面幾何知識 ,

20、 在長度和方向兩個方面作文章 . 應深刻理解向量的加、 減法的幾何意義 .例 2 在小船過河時 , 小船沿垂直河岸方向行駛的速度為 v 1=3.46km/h,河水流動的速度為 v 2=2.0 km/h,試求小船過河實際航行速度的大小和方向. 圖 14解 :如圖 14, 設 表示小船垂直于河岸行駛的速度 , 表示水流的速度 , 以 OA 、 OB 為鄰邊 作 OACB, 則 OC 就是小船實際航行的速度 .在 RtOBC 中 ,|BC |=v1=3.46km/h,|OB |=v2=2.0km/h,所以 |=220. 246. += 4.0(km/h. 因為 t a nBOC=21v v =1.7

21、3,所以BOC60°. 答 :小船實際航行速度的大小約為 4.0km/h,方向與水流方向約成 60°角 .變式訓練已知 O 是四邊形 ABCD 內(nèi)一點 , 若 +=0, 則四邊形 ABCD 是怎樣的四邊形 ? 點 O 是四邊形的什么點 ? 圖 15活動 :要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關系 , 如平行、相等等 ; 而要判斷點 O 是該四邊形的什么點 , 就必須找到該點與四邊形的邊或?qū)蔷€的關系 .解 :如圖 15所示 , 設點 O 是任一四邊形 ABCD 內(nèi)的一點 , 且 OD OC OB OA +=0,過 A 作 AE OD, 連結 ED, 則四邊形 AEDO

22、 為平行四邊形 .設 OE 與 AD 的交點為 M, 過 B 作 BF OC, 則四邊形 BOCF 為平行四邊形 .設 OF 與 BC 的交點為 N, 于是 M 、 N 分別是 AD 、 BC 的中點 . +=0, =+=+, =+=+, OE +OF =0, 即 OE 與 OF 的長度相等 , 方向相反 .M、 O 、 N 三點共線 , 即點 O 在 AD 與 BC 的中點連線上 .同理 , 點 O 也在 AB 與 DC 的中點連線上 .點 O 是四邊形 ABCD 對邊中點連線的交點 , 且該四邊形可以是任意四邊形 .例 3 兩個力 F 1和 F 2同時作用在一個物體上 , 其中 F 1=4

23、0N,方向向東 , F 2=30N,方向向北 , 求它 們的合力. 圖 16解 :如圖 16, 表示 F 1, 表示 F 2, 以 OA 、 OB 為鄰邊作 OACB, 則 表示合力 F. 在 RtOAC 中 ,|OA |=F 1=40N,|AC |=|OB |=F 2=30N.由勾股定理 , 得 F =|OC223040+= =50(N. 設合力 F 與力 F 1的夾角為 ,則t a n 4312=F F =0.75. 所以 37°.答:合力大小為 50N ,方向為東偏北 37°.知能訓練課本本節(jié)練習 1 4.課堂小結1. 先由學生回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識 :向量的加法定義

24、 , 向量加法的三角形法則和平行四邊 形法則 , 向量加法滿足交換律和結合律 , 幾何作圖 , 向量加法的實際應用 .2. 教師與學生一起總結本節(jié)學習的數(shù)學方法 :特殊與一般 , 歸納與類比 , 數(shù)形結合 , 分類討論 , 特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法 . 這種遷移類比的方法將把我們引向數(shù)學 的王國 , 科學的殿堂 .作業(yè)如圖 17所示 , 已知矩形 ABCD 中 ,|AD |=4, 設 AB =a , BC =b , BD =c , 試求向量 a +b +c 的 模. 解 :過 D 作 AC 的平行線 , 交 BC 的延長線于 E,DEAC,ADBE四邊形 ADEC 為平行四

25、邊形 . =, =.于是 a +b +c =AB +BC +=DE +BD =AD +AD =2AD ,|a+b+c |=2|AD |=83.點評 :求若干個向量的和的模 (或最值 的問題通常按下列步驟進行 :(1尋找或構造平行四邊形 , 找出所求向量的關系式 ;(2用已知長度的向量表示待求向量的模 , 有時還要利用模的重要性質(zhì) .設計感想1. 本節(jié)內(nèi)容是向量的加法 , 運算法則有三角形法則和平行四邊形法則 , 而兩個法則的運用有 各自的條件 :三角形法則適合于首尾順次相接的兩向量相加 , 對于共線向量的加法仍然適合; 而平行四邊形法則適合于兩個同起點的向量相加 , 對于共線向量卻不能用此法解

26、決 . 三角形 法則可以推廣到多個首尾順次相接的向量的加法 .2. 本節(jié)要求使用多媒體輔助教學 , 便于直觀、生動地揭示向量加法的概念 , 突破難點 , 提高效 率 , 因為本節(jié)解決問題的方法主要是借助圖形 , 采用數(shù)形結合的思想方法 . 多讓學生動手畫圖 , 識圖 , 讓學生在動態(tài)中經(jīng)歷和體會概念的形成過程 . 讓學生自己類比、 猜想、 發(fā)現(xiàn)及應用新知 識解決問題 .備課資料備用習題2. 設 a =(AB +CD +(BC +DA , b 是任一非零向量 , 則下列結論中正確的為 ( a b a +b =a a +b =b |a +b |<|a |+|b |a +b |=|a |+|b |A B. C. D.3. 設向量 a , b 都不是零向量 :(1若向量 a 與 b 同向 , 則 a +b 與 a 的方向 _,且 |a +b |_|a