角平分線模型精華篇

1、角平分線有關(guān)的輔助線角平分線是天然的涉及對(duì)稱的模型，通常有下列四種作輔助線的方法：(1)角平分線+兩邊垂線T全等三角形：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；已知：AD平分/ BAC , CD丄AC，垂足為 C,過點(diǎn)D作DB丄AB，垂足為B ;輔助線：過點(diǎn)D作DB丄AB，垂足為B;(角分線垂兩邊，對(duì)稱全等必呈現(xiàn))(2)角平分線+垂線模型等腰三角形必呈現(xiàn)：遇到垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形;已知：0P平分/ AOB , MP丄0P,垂足為 P,延長(zhǎng) MP交0B于點(diǎn)N ;結(jié)論： OPM OPN ; 厶OMN為等腰三角形； P是MN的中點(diǎn)(三線合一

2、);(3 )在角的兩邊上截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形:已知：0C是/ AOB的角平分線，D為0C上一點(diǎn);輔助線：在 0A上取一點(diǎn)E,在0B取一點(diǎn)F,使得OE=OF，并連接 DE ,結(jié)論：OEDOFD ;(4)作平行線 以角分線上一點(diǎn)作角的另一邊的平行線，則 過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另已知：0P 平分 / MON , AB / ON ,OAB等腰三角形；邊的反向延長(zhǎng)線相交，則ODH等腰三角形;已知：OC 平分/ AOD , DH / OC,結(jié)論：ODH等腰三角形一、角平分線模型應(yīng)用1角平分線+兩邊垂線t全等三角形輔助線：過點(diǎn)G作GE -射線AC已知：AD是/BAC的角平分線， CD丄A

3、C , DB丄AB ,求證：CD=DB證明：/ AD是/ BAC的角平分線,/ 仁/2,/ CD 丄 AC , DB 丄 AB ,/ ACD= / ABD=90 ° ,在厶ACD和厶ABD中，Z1 = Z 22 ACD = Z ABD = 90AD = AD ACD ABD (AAS ) CD=BD結(jié)論：OAB等腰三角形例1:已知：/仁/ 2, / 3= / 4,求證：AP平分/ BAC .例2:如圖，AB > AC , Z A的平分線與BC的垂直平分線相交于D，過 D 作 DE 丄 AB、DF 丄 AC ,垂足分別為 E、F.求證：BE=CF.例3:如圖，在 ABC中，AC

4、>AB , M是BC中點(diǎn)，AN平分Z BAC，若 AN丄BD且交 1BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D, 求證：MN= (AC-AB ).2例4:如圖，在ABC中，M為BC的中點(diǎn)，DM丄BC, DM與Z BAC的角平分線交于點(diǎn) D ,角平分線+垂線模型等腰三角形必呈現(xiàn) 例：如圖，在 Rt ABC中，AB=AC，/ BAC=90，/仁/2, CE丄BE交BA的延長(zhǎng)于 F.求證：BD=2CE例、如圖，在 ABC中，/ BAC的角平分線 AD交BC于點(diǎn)D,且AB=AD，作CM丄AD交AD的延長(zhǎng)線于 M.求證：2AM= (AB+AC )例：如圖，已知 ABC 中，CF 平分/ ACB，且 AF 丄 CF，/ AFE+ / CAF=180 °求證：EF/ BC.截取構(gòu)造全等：例. 如圖，AB>AC , / 1 = / 2,求證：AB AC>BD CD。例：如圖，AB/CD ,BE 平分/ ABC , CE 平分/ BCD，點(diǎn) E 在 AD 上，求證：BC=AB+CD.C例：在 ABC中，AB AC , AD是.BAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn). 求證：ABACPBPC .例：已知 ABC中，AB = AC,/ A = 100°,/ B的平分線交 AC于D ,求證：AD + BD = BC角平分線+平行線模型例1、