2019年高考—圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、-2019 年高考專題 -圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1 、 F2 的距離的和等于常數(shù)2a（大于2| F1 F |）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若 M 為橢圓上任意一點(diǎn)，則有|MF1 |MF2|2a。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y21（ab 0）（焦點(diǎn)在x 軸上）或y 2x 21a2b2a 2b2（ a b 0 ）（焦點(diǎn)在 y 軸上）。注：以上方程中 a, b 的大小 ab0，其中 b2a2c2；x2y21y2x21ab0在 a2b2和 a2b2兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2和y2的分母的大小。 例如

2、橢圓x2y21m0 n0，mn ）當(dāng)mnmn（，時(shí)表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓；當(dāng) mn 時(shí)表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21知| x | a | y | b，說明橢圓位于直線xa yba2b2，所圍成的矩形里；對(duì)稱性：在曲線方程里，若以y 代替 y 方程不變，所以若點(diǎn)( x, y) 在曲線上時(shí)，點(diǎn) ( x,y) 也在曲線上，所以曲線關(guān)于x 軸對(duì)稱，同理，以x 代替 x 方程不變，則曲線關(guān)于 y 軸對(duì)稱。若同時(shí)以x 代替 x ， y 代替 y 方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于 x 軸、 y 軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心

3、，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x 軸、 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x0 ，得 yb ，則 B1 (0,b) ， B2 (0, b) 是橢圓與 y 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令y0 得 xa ，即 A1 (a,0) ， A2 (a,0)是橢圓與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段 A1 A2 、B1B2 分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a 和 2b ，a 和 b 分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ；在 RtOB2 F2 中，|OB2

4、 |b ， | OF2 |c ， | B2 F2 |a ，且 | OF2 |2 | B2 F2 |2| OB2 |2 ，即 c2a2b2 ；離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比ec 叫橢圓的離心率。ac0 ，a0e1，且 e 越接近 1， c 就越接近 a ，從而 b 就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，e-越接近于 0 ， c 就越接近于 0 ，從而 b 越接近于 a ，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)， c 0 ，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2y2a2 。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（ | PF1 | | PF2 | 2a ）。注意：式中

5、是差的絕對(duì)值，在0 2a | F1F2 |條件下； | PF1 | | PF2 |2a 時(shí)為雙曲線的一支； | PF2 | | PF1 | 2a 時(shí)為雙曲線的另一支 （含 F1 的一支）；當(dāng) 2a| F1F2 |時(shí)，| PF1 | | PF2 | 2a 表示兩條射線； 當(dāng) 2a | F1F2 |時(shí)，| PF1 | PF2 | 2a 不表示任何圖形；兩定點(diǎn) F1, F2 叫做雙曲線的焦點(diǎn)， | F1 F2 | 叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢圓雙曲線定義方程焦點(diǎn)| PF1 | PF2 |2a(2a| F1 F2 |)| PF1 | PF2 |2a(2 a| F1F2 |)x2y21x 2y21x

6、2y21y2x21a2b 2b 2a 2a 2b 2a 2b 2F (c,0)F (0,c)F ( c,0)F (0,c)注意：如何用方程確定焦點(diǎn)的位置?。?）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩a2b2條直線 xa 的外側(cè)。即 x2a 2 ， xa 即雙曲線在兩條直線 xa 的外側(cè)。對(duì)稱性：雙曲線x 2y21關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐a2b 2x2y2標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中a2b2心叫做雙曲線的中心。頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線x 2y21的a 2b2方程里，對(duì)稱軸是x, y

7、 軸，所以令y0 得 xa ，因此雙曲線和x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)-A ( a,0) A2(a,0) ，他們是雙曲線 x 2y 21的頂點(diǎn)。令a 2b2x，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y 軸沒有交點(diǎn)。01）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段 A A2 叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于 2a, a 叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段 B B2 叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于 2b, b 叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲

8、線：x 2y21的各支向外延伸時(shí)，a 2b 21）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：ab ；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： yx；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3 ） 注 意 到 等 軸 雙 曲 線 的 特 征 ab ， 則 等 軸 雙 曲 線 可 以 設(shè) 為 ：x2y 2(0)，當(dāng)0 時(shí)交點(diǎn)在 x 軸，當(dāng)0 時(shí)焦點(diǎn)在 y 軸上。注意 x2y 21 與 y2x21 的區(qū)別：三個(gè)量 a, b, c 中 a, b 不同（互換） c 相同，169916還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸

9、也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F 和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 (定點(diǎn)F 不在定直線 l 上)。定點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線 l 叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程 y 22 pxp0 叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x 軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是 F（ p ,0 ），2它的準(zhǔn)線方程是xp；2（ 2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y 22 px ， x22 py ， x22 py .-這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐

10、標(biāo)y22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)yyyllFo FxFoxlox( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222準(zhǔn)線方程ppppxxyy2222范圍x 0x 0y 0y 0對(duì)稱性x 軸x 軸y 軸y 軸頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e 1e 1e 1e 1說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑； （2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無對(duì)稱中心，沒有漸近線； （3）注意強(qiáng)調(diào)p 的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。（一）橢圓的定義：1、橢圓的定義：平面內(nèi)與

11、兩個(gè)定點(diǎn)F1 、 F2 的距離之和等于定長(zhǎng)（大于| F1F2 | ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)F1 、 F2 叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離| F1F2 |叫做橢圓的焦距。對(duì)橢圓定義的幾點(diǎn)說明：（ 1）“在平面內(nèi)”是前提，否則得不到平面圖形（去掉這個(gè)條件，我們將得到一個(gè)橢球面） ；（ 2）“兩個(gè)定點(diǎn)”的設(shè)定不同于圓的定義中的“一個(gè)定點(diǎn)” ，學(xué)習(xí)時(shí)注意區(qū)分；（ 3）作為到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和的“常數(shù)” ，必須滿足大于 | F 1F2 | 這個(gè)條件。若不然，當(dāng)這個(gè)“常數(shù)”等于 | F 1F2 | 時(shí)，我們得到的是線段 F1F2；當(dāng)這個(gè)“常數(shù)”小于 | F 1 F2| 時(shí)，無軌跡。這兩種特殊情況，

12、同學(xué)們必須注意。（4）下面我們對(duì)橢圓進(jìn)行進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)它本身具備對(duì)稱性，有兩條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，我們把它的兩條對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)記為A 1， A 2 ， B1，-B2，于是我們易得| A1A2| 的值就是那個(gè)“常數(shù)”，且|B 2F2|+|B 2F1| 、 |B 1 F2|+|B 1F1| 也等于那個(gè)“常數(shù)” 。同學(xué)們想一想其中的道理。（ 5）中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)分別在x 軸上， y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：x 2y2y 2x2a2b21 (ab 0), a2b21 (a b 0),相同點(diǎn)是：形狀相同、大小相同；都有a > b > 0 ， a2c2b2 。不同點(diǎn)是：兩種橢圓相對(duì)于坐

13、標(biāo)系的位置不同， 它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同 （第一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c ，0）和（ c ，0），第二個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0， c ）和（ 0， c ）。橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中 x2 項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中 y2 項(xiàng)的分母較大。（二）橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的幾何性質(zhì)可分為兩類：一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心坐標(biāo)；一類是與坐標(biāo)系無關(guān)的本身固有性質(zhì)，如長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率對(duì)于第一類性質(zhì)，只要x 2y 21(a b 0) 的有關(guān)性質(zhì)中橫坐標(biāo)x 和縱坐標(biāo)a2b2y 互換，就可以得出 y2x2221(ab0) 的有關(guān)性質(zhì)。總結(jié)如下：ab幾點(diǎn)說明：（1）長(zhǎng)軸：線

14、段 A1 A2 ，長(zhǎng)為 2a ；短軸：線段 B1B2 ，長(zhǎng)為 2b ；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上。-（2）對(duì)于離心率 e ，因?yàn)?a>c>0，所以 0<e<1 ，離心率反映了橢圓的扁平程度。由于 eca2b2b2，所以e越趨近于 1，b越趨近于0，橢圓越扁平；aa1a2e越趨近于0， b 越趨近于 a ，橢圓越圓。（3）觀察下圖， | OB2 | b,| OF2 | c ，所以 | B2 F2 | a ，所以橢圓的離心率e = cos OF2B2知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義第一定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P 到兩個(gè)定點(diǎn)F1 、 F2 的距離之和為定值( PF1PF 22aF1 F2 ),這個(gè)動(dòng)點(diǎn) P

15、 的軌跡叫橢圓 .這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若若( PF1PF2F1 F2) ，則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為線段 F1F2 ；( PF1PF2F1 F2) ，則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡不存在 .知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y21 (a b 0)，其中 c2a2b 2a2b 22當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2x21 ( a b 0)，其中c 2a 2b2.a2b2注意：只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有 (ab0) 和 c 2a 2b2 ；橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)

16、軸上 .-當(dāng)焦點(diǎn)在x 軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0) ， ( c,0) ；當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, c) ， (0, c) ；知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的第二方程1. 橢圓 x2y21的參數(shù)方程22abx a cos （ 為參數(shù)）y bsin2. 橢圓的第二定義到 F（c ，0）的距離和到直線 l ： xa2的距離之比為常數(shù)c （ a c0 ）的22ca點(diǎn)的軌跡為 x 2y 21。abx2y23. 焦半徑 P（ x0，y0 ）在橢圓1上， F1（c， 0）、F2（， 0）為焦點(diǎn)a2b2cPF1a ex0PF2a ex0例題講解（三）直線與橢圓：直線 l ： AxByC 0（ A、

17、B不同時(shí)為0）22橢圓 C ： x 2y21 (a b 0)ab那么如何來判斷直線和橢圓的位置關(guān)系呢？將兩方程聯(lián)立得方程組，通過方程組的解的個(gè)數(shù)來判斷直線和橢圓交點(diǎn)的情況。方法如下：AxByC0x2y2消去 y 得到關(guān)于 x 的一元二次方程，化簡(jiǎn)后形式如下a2b21mx2nx p 0( m 0) ，n24 m p（1）當(dāng)0時(shí)，方程組有兩組解，故直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)0時(shí)，方程組有一解，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）；（3）當(dāng)0時(shí)，方程組無解，直線和橢圓沒有公共點(diǎn)。注：當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)其坐標(biāo)為 A( x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ，那么線段 AB的長(zhǎng)度（即弦

18、長(zhǎng)）為 | AB |( x1x2 )2( y1y2 )2，設(shè)直線的斜率為 k ，可得： | AB | ( x1 x2 )2 k( x1x2 ) 21 k2| x1 x2 | ，然后我們可通過求出方程的-根或用韋達(dá)定理求出。例 1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（ 1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（ 4，0），（ 4，0），橢圓上一點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離的和等于 10 ；（ 2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（ 0， 2），（0，2），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（ 3 ，25 ）；2（3）焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點(diǎn)A （3 ， 2）和 B（ 2 3 ，1）分析：根據(jù)題意，先判斷橢圓的焦點(diǎn)位置，后設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出橢圓中的

19、a 、b 即可。若判斷不出焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，可采用標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式。解析：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 b 0） 2a 10 ，2c 8， a 5，c 4b 2 a 2c 2 52 429x2 y2 1（a a 2 b2所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為yx2 1259x2（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y 1（ a b 0）a2b2由橢圓的定義知，2a ( 3)( 52) 2( 3)2( 52) 2310110 210222222又c 2， b 2 a 2 c 210 4 6所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y 2x2 1106x2（3）解法一：若焦點(diǎn)在 x軸上，設(shè)

20、所求橢圓方程為 y1（a b 0）a 2b2由A （3 ， 2）和 B（ 23 ，1）兩點(diǎn)在橢圓上可得：( 3)2( 2)212a2b2解之得a15(23)2121b25a 2b2-a 2b 2若焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)所求橢圓方程為yx 2 1（ a b 0），同上可解得a2b25 ，不合題意，舍去。15故所求的橢圓方程為x2y2 155解法二：設(shè)所求橢圓方程為 mx 2 ny 2 1（m 0，n 0 且m n ）。由A（ 3 ， 2）和 B（ 2 3 ，1）兩點(diǎn)在橢圓上可得m (3) 2n ( 2)21m ( 2 3 )2n 121即 3m4n1 ，解得m11512mn1n15故所求的橢圓方程

21、為x2y 2 1155點(diǎn)評(píng)：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先應(yīng)明確橢圓的焦點(diǎn)位置，再用待定系數(shù)法求 a 、 b 。（2）第（ 3）小題中的橢圓是存在且惟一的，為計(jì)算簡(jiǎn)便，可設(shè)其方程為 mx 2 ny 2 1（m 0，n 0），不必考慮焦點(diǎn)位置，直接可求得方程想一想，為什么？例 2已知 B、C 是兩個(gè)定點(diǎn)， |BC|6，且 ABC 的周長(zhǎng)等于16，求頂點(diǎn) A 的軌跡方程。分析：在解析幾何里，求符合某種條件的點(diǎn)的軌跡方程，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，常常需要畫出草圖。如圖所示，由ABC 的周長(zhǎng)等于 16，|BC|6 可知，點(diǎn)A 到B、C 兩點(diǎn)的距離的和是常數(shù)， 即|AB|AC| 16 6

22、10 ，因此，點(diǎn) A 的軌跡是以 B、C 為焦點(diǎn)的橢圓，據(jù)此可建立坐標(biāo)系并畫出草圖。-解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，使x 軸經(jīng)過點(diǎn) B、，原點(diǎn)與 BC 的中點(diǎn)重合。由已知 |AB| |AC| |BC| 16 ，|BC| 6，有 |AB|AC|10，即點(diǎn) A 的軌跡是以 B、 C 為焦點(diǎn)的橢圓，且 2c 6，2a 10， c 3， a 5，b 2 52 3216 。由于點(diǎn) A 在直線 BC 上時(shí)，即 y 0 時(shí)，A 、B、C 三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn) A 的軌跡方程是 x 2 y 2 1（ y0）。2516點(diǎn)評(píng)：橢圓的定義在解題中有著廣泛的應(yīng)用，另外，求出曲線的方程后，要檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)

23、是否都符合題意，如果有不符合題意的點(diǎn)，應(yīng)在方程后注明，常用限制條件來注明。例 3一動(dòng)圓與已知圓O 1：（x3）2 y2 1 外切，與圓O 2：（ x3）2y2 81 內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。分析：兩圓相切時(shí)，圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān)，可以找到動(dòng)圓圓心滿足的條件。解析：兩定圓的圓心和半徑分別為O 1 （ 3， 0），r1 1； O 2 （3， 0），r2 9設(shè)動(dòng)圓圓心為 M （ x，y ），半徑為 R，則由題設(shè)條件可得|MO1| 1 R，-|MO2| 9R |MO 1| |MO 2| 10由橢圓的定義知：M 在以 O 1 、O 2 為焦點(diǎn)的橢圓上，且a 5，c 3。 b 2 a 2c

24、 2 25 916故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為x2y2 1。2516點(diǎn)評(píng)：正確地利用兩圓內(nèi)切、外切的條件，合理地消去變量 R，運(yùn)用橢圓定義是解決本題的關(guān)鍵，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。例 4已知 P是橢圓 x2y 2 1 上的一點(diǎn)，F(xiàn)1 、F2 是兩個(gè)焦點(diǎn)，且 F1PF2 30 °，2516求 PF1 F2 的面積。分析：如圖所示，已知 P 30 °，要求 PF1F2 的面積，如用 1 |F 1F2| ·|y P| ，2因?yàn)榍?P點(diǎn)坐標(biāo)較繁，所以用S 1 |PF 1| ·|PF 2| ·sin30 °較好，為此必須先2求出 |PF 1

25、| · |PF 2| ，從結(jié)構(gòu)形式可看出用余弦定理可得出夾 30 °角的兩邊的乘積。解析：由方程x2y2 1，得 a 5，b 4，25 16 c 3， |F 1 F2| 2c 6|PF 1 | |PF 2| 2a 10 F1PF230°在F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|2 2|PF 1| ·|PF 2 | ·cos30 °-即 62 |PF 1|2 2|PF 1| · |PF2| |PF 2| 2 2|PF 1| · |PF 2|3 ·|PF 1|·|PF 2 |

26、 · |PF 2| （ |PF 1| |PF 2| ）236100 36 64，（23 ）|PF 1|PF 1| ·|PF 2| 64 64（23 ）23 S F1PF2 1 |PF 1| · |PF 2|· sin30 ° 1 · 64（2 3 ）· 1 16（23 ）222例 5橢圓 ax 2 by 2 1 與直線 x y1 相交于 P、 Q 兩點(diǎn)，若 |PQ|22 ，且 PQ的中點(diǎn) C 與橢圓中心連線的斜率為2 ，求橢圓方程。2分析：該題是求橢圓方程，即利用題設(shè)中的兩個(gè)獨(dú)立條件，求出a 、b 之值即可-解析：由 ax2

27、by21 得（ a b ）x2 2bx b 10x y1設(shè)P（x1，y1），Q （ x2， y2），則x1 x2 2b ，x1x2 b 1abab|PQ| 112(x1x2 )24x1 x22 · (2b)24b1a bab 22abab22ab a b ab a b又PQ 的中點(diǎn) C （ b，1 b），即 C （ b， a）aaba bababa2由得 a 1 ， b 2kOC abbb233ab所求橢圓方程為 x 22y2 133例 6中心在原點(diǎn)的橢圓 C 的一個(gè)焦點(diǎn)是 F（ 0，50 ），又這個(gè)橢圓被直線 l：y 3x2 截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1 ，求該橢圓方程。2分析：本題

28、中涉及到弦的中點(diǎn)及弦所在直線的斜率，故可采用 “平方差法”。-解析：據(jù)題意，此橢圓為焦點(diǎn)在 y軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓， 設(shè)其方程為 y2x2 1（a b 0）a 2b2設(shè)直線 l與橢圓 C 的交點(diǎn)分別為 A （x1， y1），B（x2 ，y 2），則有：2222y1x1 1， y2x2 1a 2b2a2b2兩式相減得：( y1y2 )( y1 y2 )( x1x2 )( x1 x2 ) 0a 2 (x1a2b2 y1y2x2 )x1x2b2 ( y1y2 )即 3a 21a 2 3b 2b2( 1)又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)為 F（0，50 ）c 50則a 2 b 250由解得： a 275 ，b 2 25

29、該橢圓方程為例 7設(shè) P是橢圓y2x217525x2y21（a b 0）上的一點(diǎn)， F1 、F2 是橢圓的焦點(diǎn)，且a 2b2F1PF2 =90 °，求證：橢圓的離心率e 22.-證明：P是橢圓上的點(diǎn)， F1、F2 是焦點(diǎn)，由橢圓的定義，得|PF 1 |+|PF2|=2a在RtF1 PF2 中， | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 (2c) 2 4c 2 由 2 ，得 | PF1 |2 2 | PF1 | PF 2 | | PF2 |2 4a 2|PF 1 | ·|PF 2 |=2 （ a 2 c 2）由和，據(jù)韋達(dá)定理逆定理，知 |PF 1 | 

30、3;|PF 2| 是方程 z23az+2 （a 2 c 2） =0 的兩根，則 =4a 28（a 2 c 2 ） 0，（ c ） 2 1a2，即 e 22一、選擇題：1、到 x 軸和到 y 軸的距離之比等于 2的點(diǎn)的軌跡方程是（）A y = 2xB. y=2|x|C. |y| = 2 |x|D. |x| = 2 |y|2、橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，則此橢圓的離心率e 等于（）A 1B. 1C. 1D. 223443、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是 F1 (0, 3) 和 F2 (0,3) ，一條準(zhǔn)線方程是 y16 ，則此橢圓方程3是（）A C.x 2y 21B. x 2y21169167x2y 21

31、D. x2y21916716-4、直線 x = 2被橢圓 x2y 21(0) 截得弦長(zhǎng)等于 2 3 ，則的值是（）6A2 2B.8C.10D.8 25、方程 y = |x|和 x 2y24 對(duì)應(yīng)的兩曲線圍成的圖形的面積等于（）A B. 3C.D. 34426、橢圓 a 2 x2ay 21的一個(gè)焦點(diǎn)是（-2， 0），則 a 等于（）2A 13B. 15C. 13D. 1544447、在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)集M = （x , y）| y =16 x 2,y0 ,N = ( x , y ) | y = x + b ,當(dāng)MN時(shí)， b 的取值范圍是（）A 42,42B.4,4 2C.4,42D. 0,42

32、二、填空題：1、由橢圓 x2y 21的四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的高等于：。916和焦點(diǎn)在 x 軸的橢圓 x2y 22、不論 k 為何實(shí)數(shù)值，直線 y=kx+11總有公共點(diǎn)，5則 的取值范圍是：。3、與橢圓x 2y 21軸長(zhǎng)為 2 的橢圓方程是：。有相同的焦點(diǎn) ，且短94三、解答題：1、求心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過P（4，3 ），Q（ 2 2,3 ）兩點(diǎn)的橢圓方程。2、已知圓 C 與直線 3x 4y 11 =0及 x 軸都相切并且經(jīng)過點(diǎn)M（6，2），求圓 C 的方程。-3、經(jīng)過點(diǎn) A（ 2，4）的直線 l,被圓 x 2y 22x 2 y 14 0 截得弦長(zhǎng)為23 ，求直線 l 的方程。4、已知橢圓 x 2y 21和拋物線 yx 2m 有四個(gè)不同的交點(diǎn)。49（1）試確定 m 的取值范圍；（ 2）證明這四個(gè)交點(diǎn)都在同一圓上。5、點(diǎn) P 在圓 x2( y2) 21 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 在橢圓 x2 4 y2 4 上運(yùn)動(dòng)，求 PQ 最4大值。-6、 已知橢圓x 2y 2內(nèi)部一點(diǎn) A （4，）過 A 作弦 PQ，使 A 恰為 PQ114010中點(diǎn)， M 為橢圓上任一點(diǎn)，求S MPQ 的最大值