導(dǎo)數(shù)試驗(yàn)修訂版

1、高中數(shù)學(xué)第十四章導(dǎo)數(shù)考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的背影.導(dǎo)數(shù)的概念.多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值函數(shù)的最大值和最小值.考試要求：(1) 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景.(2) 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(3) 掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù)卜y=xn(n N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(4) 理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū) 間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值.(5) 會利用導(dǎo)數(shù)求某些簡單實(shí)際問題的最大值和最小值.§4.導(dǎo)數(shù)知識要點(diǎn)1.導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義：設(shè) X0是函數(shù)y=f(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變量 x在X0 處有增量

2、x ,則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量.'7 = f (x Ax) - f (x0)；比值 d =f(X0 X)-f(X0)稱為函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0到X。之間的平均變化率；如果極限xXlim y = lim X)f (Xo)存在，則稱函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫0 :-x0x做 y =f (x) 在 xo 處的導(dǎo)數(shù)記作 f (xo)或 y |xff 'yf (Xo=x) - f (Xo)f (x0) = limlim店T ix 進(jìn)T馭注：披是增量，我們也稱為改變量”，因?yàn)榕烧?，可?fù)，但不為零以知函數(shù)y二f(x)定義域?yàn)锳， y=f'(x)

3、的定義域?yàn)锽，貝U A與B關(guān)系為A二B.2.函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)與點(diǎn)xo處可導(dǎo)的關(guān)系：于是函數(shù)y =f (x)在點(diǎn)xo處連續(xù)是y二f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)的必要不充分條件 可以證明，如果y = f (x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，那么y二f (x)點(diǎn)x°處連續(xù). 事實(shí)上，令 X=Xo *x，貝y Xr Xo相當(dāng)于CXrO.lim f (x) = lim f 億 =x) = lim f (x xof (xo) f (xo)XYo.J°f (Xo)f (xo + 也X)- f (xo ) &f (xo + ix) - f (xo )'叫.X f(xo)=啊一

4、lXmof(xof (xo)o f(xo)如果y = f (x)點(diǎn)Xo處連續(xù)，那么y = f (X)在點(diǎn)x。處可導(dǎo)，是不成立的.例：f (x) Mx|在點(diǎn)xo =o處連續(xù)，但在點(diǎn)xo =o處不可導(dǎo)，因?yàn)?，二丄創(chuàng)，當(dāng)x >o時(shí)，二 XLX厘=1 ；當(dāng)x v o時(shí)，厘=_1，故lim y不存在LXXxo 二 X注：可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y = f(x)在點(diǎn)(xo, f(x)處的切線的斜率，也就是說，曲線y二f(x)在點(diǎn)P(xo,f(x)處的切線的斜率是f'(Xo)，切線

5、方程為 y -yo =f (x)(x -xo).4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(u 土v)' =u'土v'斗 y =h(x) +f2(x) +.+fn(x)斗 y' = f；(x) + f?(x)+. + 打(x)vu -v u2 v(uv) =vu 十vun(cv) =cv+cv =cv ( c為常數(shù))(v=o) 注：u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、 差、積、商不疋不可導(dǎo).一，、r2 2例如：設(shè)f(x) =2s inx, g(x) =cosx ，貝U f(x),g(x)在x=0處均不可導(dǎo)，但它們和x

6、xf (x) g(x)二sinx cosx在x =0處均可導(dǎo).5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx ( (x) f (u) : (x)或y x = y u u x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形6. 函數(shù)單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f'(x) > 0，則y二f(x)為增函數(shù)；如果 f'(x) v 0,貝U y二f(x)為減函數(shù).常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f'(x)=0，貝U y=f(x)為常數(shù).注：f(x) -0是f ( x)遞增的充分條件，但不是必要條件，如 y=2x在(：，；)上并不 是都

7、有f(x) -0，有一個(gè)點(diǎn)例外即 x=0時(shí)f ( x)= 0，同樣f (x)0是f (x)遞減的充分非必要條件.一般地，如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正(或負(fù))，那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的7. 極值的判別方法：(極值是在X。附近所有的點(diǎn)，都有f(x) v f(x°),則f(x。)是函數(shù)f(x) 的極大值，極小值同理)當(dāng)函數(shù)f (x)在點(diǎn)X0處連續(xù)時(shí)， 如果在X。附近的左側(cè)f'(x) > 0,右側(cè)f'(x) v 0,那么f(x。)是極大值； 如果在X0附近的左側(cè)f'(x) v 0,右側(cè)f'(x) &g

8、t; 0,那么f(x°)是極小值.也就是說x°是極值點(diǎn)的充分條件是 x°點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f'(x)=0.此外，函數(shù)不 可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小(函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同)注： 若點(diǎn)X°是可導(dǎo)函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，則f'(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函 數(shù)，其一點(diǎn)X0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零例如：函數(shù) y = f (x) = X3 , X =0使f (x) =0，但X = 0不是極值點(diǎn).例如：函數(shù)y=f（x）x|，

9、在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn)最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)8. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較, 行比較 注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義9. 幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：l.c' =0 ( C為常數(shù))(sin x) =cosx(arcsin x)1（xn） =nxn 二（n 三 R）1II. （In x）xx ' x（e ）二eIII. 求導(dǎo)的常見方法：常用結(jié)論：（in| x|）'=丄.x(cosx) =-si nx(arccos x)1(loga x)Jlogaex(arcta nx)=1x21(ax) =axln a(arc cotx)x2形如八“1）"2，.）或-