數(shù)學(xué)教育學(xué)第10章數(shù)學(xué)知識(shí)的分類教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第10章 數(shù)學(xué)知識(shí)的分類教學(xué)設(shè)計(jì)1、信息加工心理學(xué)家安德森從知識(shí)的獲得心理加工的角度，將個(gè)體的知識(shí)分為兩類：陳述性知識(shí)；程序性知識(shí)。2、數(shù)學(xué)知識(shí)是客觀世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式方面的特征在人腦中的能動(dòng)反映。一般包括以下幾個(gè)方面：（1）表達(dá)數(shù)學(xué)事實(shí)的陳述性知識(shí)（2）表達(dá)操作和運(yùn)演的程序性知識(shí)（3）兩類知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及揭示知識(shí)內(nèi)在了解的邏輯方法（4）形成基本技能、形成數(shù)學(xué)能力的數(shù)學(xué)題。3、數(shù)學(xué)概念反映了事物在數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系、空間形式方面的本質(zhì)屬性。概念的內(nèi)涵：在邏輯學(xué)上，把概念所反映的事物本質(zhì)屬性的總和。從質(zhì)的方面來刻畫概念。概念的外延：凡是適合某概念的對(duì)象的全體。從量的方面來刻畫概念。4

2、、概念間的邏輯關(guān)系：屬種關(guān)系；交叉關(guān)系；不相容的關(guān)系。不相容的關(guān)系有兩種：反對(duì)關(guān)系和矛盾關(guān)系。5、概念的名稱（符號(hào)）和定義概念是名稱的思想內(nèi)容，名稱（符號(hào)）是概念的表述形式。在數(shù)學(xué)中，可以用不同的名稱、符號(hào)標(biāo)記同一概念；同時(shí)表示概念的名稱、符號(hào)應(yīng)具有無歧義性。定義是揭示概念內(nèi)涵（或外延）的邏輯方法。6、在數(shù)學(xué)中，常見的定義形式有下列幾種：（1）屬加種差定義（2）關(guān)系定義（3）外延定義（4）發(fā)生定義（5）遞歸定義（6）約定式定義（7）形式定義（8）公理化定義7、給概念下定義要注意幾點(diǎn)：（1）定義必須相稱（2）定義不能循環(huán)（3）定義的方式可以不唯一（4）定義是被定義概念內(nèi)涵或外延的一種規(guī)定，所以概

3、念的定義只能解釋不能證明。8、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)包括概念的獲得、概念的應(yīng)用、建立概念體系三個(gè)階段。9、概念的獲得。 概念獲得就是理解、掌握一類事物的共同的本質(zhì)的屬性。（1）概念的形成概念的形成，就是從大量的實(shí)例出發(fā)，通過個(gè)體的感知、辨別、比較、歸類，以歸納的方式概括出一類事物的共同屬性，從而獲得某個(gè)概念的方式。在概念的形成過程中，有一些以下的關(guān)鍵要素：1、觀察一定數(shù)量的、形式變異的事實(shí)材料；2、分化每一個(gè)事實(shí)材料的屬性；3、概括出這些事實(shí)材料的共性；4、辨析變式材料，確認(rèn)關(guān)鍵屬性。所謂同化，就是新知識(shí)與學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某概念建立有機(jī)的、非人為的實(shí)質(zhì)性了解，通過新舊知識(shí)的作用，新知識(shí)被納入原有的

4、知識(shí)結(jié)構(gòu)中，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到充實(shí)。在教學(xué)條件下，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的另一基本方式，就是在學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，以定義的方式直接揭示概念的關(guān)鍵特征，由學(xué)生通過與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)概念建立了解來理解、掌握新概念，就是概念的同化。在概念同化過程中，有以下一些關(guān)鍵因素：1、學(xué)習(xí)新概念的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)；2、運(yùn)用定義給出概念的本質(zhì)屬性、名稱、符號(hào)；3、運(yùn)用定義辨認(rèn)概念的肯定例證與否定例證；4、把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，與已知概念建立有機(jī)的了解，形成一個(gè)概念體系。（2）概念的應(yīng)用概念應(yīng)用的數(shù)學(xué)活動(dòng)的兩類型：（1）辨別與判斷（2）概念的泛化。（3）建立概念體系中學(xué)教材中概念間的了解有以下幾種情形：（

5、1）具有屬種關(guān)系的概念群（2）具有并列關(guān)系的概念群。10、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)（1）概念的引入概念引入的途徑：1、列舉生活實(shí)例，提供現(xiàn)實(shí)原型2、在已知概念的基礎(chǔ)上引入3、運(yùn)用數(shù)學(xué)問題引入。(2)明確內(nèi)涵，廓清外延數(shù)學(xué)教學(xué)常常通過下列環(huán)節(jié)達(dá)到對(duì)概念內(nèi)涵的把握與外延的界定：1、給出、剖析概念的定義2、用變式材料3、辨析否定例證。(3)概念的運(yùn)用學(xué)生理解概念的定義的邏輯意義時(shí)常經(jīng)歷兩個(gè)過程：一是知覺表達(dá)定義的語句的語法結(jié)構(gòu)；二是把詞義與知識(shí)結(jié)構(gòu)中已知概念建立了解，把個(gè)別、孤立的詞義綜合起來獲得整體定義的意義。所謂變式材料，是指概念的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化。11、數(shù)學(xué)命題：數(shù)學(xué)課程中表示概念具有某種性

6、質(zhì)或概念之間具有某種關(guān)系的判斷。12數(shù)學(xué)命題的有關(guān)知識(shí)（1）判斷與命題一般地，我們把反映事物是否具有某種屬性或事物之間是否具有某種關(guān)系的思維形式叫做判斷。用來表達(dá)判斷的語句叫做命題。在數(shù)學(xué)中，用語言、符號(hào)表達(dá)的并且能夠辨別真假的語句叫做數(shù)學(xué)命題。（2）數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式：是一類用純數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)概念之間數(shù)量關(guān)系且在一定范圍內(nèi)恒成立的數(shù)學(xué)命題。數(shù)學(xué)公式具有以下特征：（1）數(shù)學(xué)公式的網(wǎng)絡(luò)化；（2）數(shù)學(xué)公式的形式化。每組中的公式之間的關(guān)系：1派生關(guān)系、2相關(guān)并列關(guān)系、3總括關(guān)系。數(shù)學(xué)公式形式化特征：1公式中的元素符號(hào)起著“位置占有者”的作用;2數(shù)學(xué)公式的正逆向推演，適用于不同的技能操作;3同一公式通過恒

7、等變形或變換，可以得到多種表現(xiàn)形式。(3)數(shù)學(xué)定理在研究各種不同數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，往往要對(duì)它們之間的關(guān)系作出一些判斷，經(jīng)過證明而肯定其正確性的判斷，稱為定理。定理群的展現(xiàn)形式：1、性質(zhì)定理與判定定理;2、原命題與偏命逆題.充分條件判定定理；必要條件性質(zhì)定理。命題有幾種形式：原命題、逆命題、否命題、逆否命題和偏逆命題。13、命題學(xué)習(xí)得認(rèn)知分析命題學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程主要經(jīng)歷三個(gè)階段：1、命題的獲得；2、命題的證明；3、命題的應(yīng)用。命題的獲得：學(xué)習(xí)者在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上感知命題的形式結(jié)構(gòu)，表征命題的數(shù)學(xué)內(nèi)容。命題獲得的基本形式：1、呈現(xiàn)式B、發(fā)生式呈現(xiàn)式的獲得方式一般經(jīng)歷下列心理活動(dòng)：1、分析命題的條件與結(jié)

8、論；2、理解條件與結(jié)論中涉及到的數(shù)學(xué)概念，從而明確命題所表明的數(shù)學(xué)事實(shí)與規(guī)律；3、聯(lián)想與該命題有關(guān)的已有知識(shí)，嘗試著將新知識(shí)與已有觀念建立了解；4、形成證明的心向。命題“若P則Q”的證明：就是在學(xué)習(xí)者已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，從命題條件P出發(fā)，運(yùn)用邏輯規(guī)律與正確的思維形式，進(jìn)行一系列的推理，最終得到結(jié)論Q的過程。學(xué)生面臨證明命題的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)的認(rèn)知活動(dòng)包括三個(gè)方面：其一，根據(jù)命題中條件與結(jié)論中涉及到的概念、原理、激活已有的知識(shí)，并對(duì)之進(jìn)行篩選與組織，作為證明的依據(jù)；其二，根據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行正確的推理；其三，根據(jù)已有的證明經(jīng)驗(yàn)，選擇恰當(dāng)?shù)淖C題方法，探索證明途徑。14、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)（1）數(shù)學(xué)公式教學(xué)數(shù)學(xué)

9、公式教學(xué)一般包括以下幾個(gè)階段：1、公式的引入2、公式的發(fā)展與推導(dǎo)3、公式的掌握.學(xué)生是否掌握公式，可以從三個(gè)方面來衡量：一是準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)公式的含義；二是牢固記憶公式；三是正確靈活運(yùn)用公式。幫助學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)公式可以通過以下幾個(gè)環(huán)節(jié)來實(shí)現(xiàn)：1、分析公式的形式結(jié)構(gòu)特征，以便幫助學(xué)生記憶公式2、分析公式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)意義與作用3、進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練。如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練：首先是基礎(chǔ)題的訓(xùn)練；然后是進(jìn)行變式訓(xùn)練；最后是綜合訓(xùn)練。（2）數(shù)學(xué)定理的教學(xué)數(shù)學(xué)定理的教學(xué)的步驟：1、課題的引入B2、定理的證明3、定理的運(yùn)用4、建立數(shù)學(xué)定理結(jié)構(gòu)體系。課題引入要達(dá)到的目的：1通過課題的引入設(shè)計(jì)，使學(xué)生了解學(xué)習(xí)該定理

10、的必要性2提供素材，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、類比、歸類、聯(lián)想等一系列探索活動(dòng)，以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想定理的具體內(nèi)容。定理的證明要做好以下工作：1分清命題的條件與結(jié)論2探索命題的證明途徑3總結(jié)、歸納證明規(guī)律。15、數(shù)學(xué)問題及其教學(xué)（1）數(shù)學(xué)問題的分類：1、純數(shù)學(xué)題與應(yīng)用題2、證明題、計(jì)算題與探索題3、封閉題和開放題4、創(chuàng)新能力題與論述題（2）解決問題的過程波利亞的解題模式分析與解釋：1、理解問題2、設(shè)計(jì)解題計(jì)劃3、執(zhí)行解題計(jì)劃4、回顧與反思。（3）解決問題的教學(xué)明確問題解決的教學(xué)目標(biāo)問題解決的教學(xué)目標(biāo)是：2001年頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的目標(biāo)。一，初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理

11、解問題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)二，形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神。三、學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。四、初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。2003年頒布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在上述的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)要“提高空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本功能”，“發(fā)展獨(dú)立獲取知識(shí)的能力”，“發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考與作出判斷的能力”。數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)的更新數(shù)學(xué)問題的選擇和配置：（1）緊扣教學(xué)內(nèi)容，配置具有啟迪性的問題（2）針對(duì)學(xué)生的情感狀態(tài)配置具有趣味性與探索性的問題（3）配置具有應(yīng)用情境的問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，一般可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行：其一，挖掘教材中的應(yīng)用因素，編制建模問題；其二，開展研究性學(xué)習(xí)，解決來自于實(shí)際生活中的問題。在編制研究性應(yīng)用題時(shí)，一般遵循下列原則：符合學(xué)生認(rèn)知水平；緊扣教學(xué)內(nèi)容；反映時(shí)代特征；符合客