多元函數(shù)微分法及其ppt課件

1、第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其多元函數(shù)微分法及其 應(yīng)用習(xí)題課一）應(yīng)用習(xí)題課一）多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法一、多元函數(shù)的基本概念一、多元函數(shù)的基本概念 1.極極 限：限： 2.連連 續(xù)：續(xù)： 3.偏導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)： 00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA 0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy 000000000 x0()(,)(, )limx xx xy yy yxxf xxf xyzzfxyxx 00000000000(,)()(, )limx xx xy yy yyyyf xyxf x ,yzzfxyyy 4.全微分：全微分： 5.

2、方向?qū)?shù)：方向?qū)?shù)： 6.梯梯 度：度： 000000grad (, )(,)(,)xyf xyfxyifxyj 二元函數(shù)二元函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 沿方向沿方向 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 ) ,(yxfz ) ,(000yxPlx x0y y000000(cos ,cos)()limtf xt ytf x ,yzlt 假設(shè)假設(shè) ， ，則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微分，可微分， )( yBxAz22)()(yx ( , )zf xy ) ,(yxP函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 全微分為全微分為 ( , )zf xy ) ,(yxPyBxAdz 二、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系二、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)

3、系函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)三、多元函數(shù)的求導(dǎo)法三、多元函數(shù)的求導(dǎo)法 1偏導(dǎo)數(shù)求法偏導(dǎo)數(shù)求法 2高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) ),()(22yxfxzxxzxx 2()( , )xyzzfx yx yyx ),()(22yxfyzyyzyy ),()(2yxfyzxxyzyx 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 時(shí)，只要把時(shí)，只要把 暫時(shí)看作常量暫時(shí)看作常量而對(duì)而對(duì) 求導(dǎo)數(shù)；求導(dǎo)數(shù)；) ,(yxfz xz yx類似地，可求函數(shù)類似地，可求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 。 yz ) ,(yxfz 3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 zuvtzuvxydzz duz

4、 dvdtu dtv dtzzuzvxu xvx zzuzvyuyvy (1)設(shè)設(shè) 和和 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)，可導(dǎo)， 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處可微，則復(fù)合函數(shù)處可微，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且處可導(dǎo)，且 )(tu t)(tv ),(vufz ),(vut)(),(ttfz (2)設(shè)設(shè) 和和 存在偏導(dǎo)數(shù)，存在偏導(dǎo)數(shù)， 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處可微，則復(fù)合函數(shù)處可微，則復(fù)合函數(shù) 在在 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在,且且 ),(yxu ),(yxv ),(vufz ),(vu),(),(yxyxfz ),(yx4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由方程由方程 確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函

5、數(shù) 0) ,( yxF( )yf x , 則有則有 yxFFdxdy zxFFxz zyFFyz 由方程由方程 確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)函數(shù) ，則有，則有 ) ,(yxfz 0) , ,( zyxF5全微分的求法全微分的求法 微分形式的不變性：微分形式的不變性： 6方向?qū)?shù)的求法方向?qū)?shù)的求法 dyyzdxxzdz 當(dāng)當(dāng) ，而，而 、 時(shí)，有時(shí)，有 ) ,(vufz ) ,(yxu ) ,(yxv dvvzduuzdz .coscoscos zfyfxflf 其中其中 是方向是方向 的方向余弦。的方向余弦。 cos ,cos ,cosl四、典型例題四、典

6、型例題 【例【例1】求極限】求極限( , )(0,0)1-1lim.x yxyxy 解：解： ( , )(0,0)1-1limx yxyxy ( , )(0,0)1-1lim(11)x yxyxyxy ( , )(0,0)1lim11x yxy 12 【例【例2】求極限】求極限22)()cos(1lim222200yxyxeyxyx 解法解法1： 22)()cos(1lim222200yxyxeyxyx 2222222001sin ()22lim()x yxyxyxye 222222222020sin ()()2lim8()2xx yyxyxyxye 222200lim08x yxyxye c

7、os ,sin ,xy 解法解法2：作變量代換，令：作變量代換，令 222222001-cos()lim()x yxyxyxye 42222cossin001-coslimxye 42222cossin0000sin1limlimxxyye 1 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 任意任意,那么那么cos ,sinxy0, 分析：在二重極限分析：在二重極限 的定義中的定義中,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 在在 中中趨向點(diǎn)趨向點(diǎn) 與一元函數(shù)與一元函數(shù) 的自變量的自變量 在數(shù)軸上的變?cè)跀?shù)軸上的變化不同化不同,它可以區(qū)域它可以區(qū)域 內(nèi)沿著不同的路線內(nèi)沿著不同的路線(如曲線或直線等如曲線或直線等)和不同方式和不同方式(連續(xù)或離散連續(xù)或離散),

8、從四面八方趨近于點(diǎn)從四面八方趨近于點(diǎn) ,二元函二元函數(shù)數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的極限都是的極限都是 .反之反之, 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 沿著兩條沿著兩條不同的路線不同的路線(或點(diǎn)列或點(diǎn)列)趨近于點(diǎn)趨近于點(diǎn) ,二元函數(shù)二元函數(shù) 有不同有不同的極限的極限,則二元函數(shù)則二元函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的極限不存在的極限不存在.00lim( , )xyf x yA ( , )P x y2 2R R00(,)P xy( )yf x x2DR 00(,)xyA( , )f x y( , )f x y( , )P x y00(,)P xy( , )f x y00(,)P xy00(,)P xy【例【例3】設(shè)】設(shè)22 ( , )(0,0)(

9、, )0 ( , )(0,0)xyx yxyf x yx y 判斷判斷 的存在性。的存在性。 00lim( , )xyf x y000lim( , )lim( ,0)0 xxyf x yf x 解：因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)解：因?yàn)楫?dāng)點(diǎn) 沿沿 軸趨向于點(diǎn)軸趨向于點(diǎn) 時(shí)時(shí),x(0,0)( , )P x y又當(dāng)點(diǎn)又當(dāng)點(diǎn) 沿著直線沿著直線 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) 時(shí)時(shí),( , )P x yyx (0,0)222001lim( , )lim2xxyxxf x yxx 所以所以 的極限不存在。的極限不存在。 ( , )f x y【例【例4】 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) , 判別判別 在在22, =0( , ) 1, 0 xyxyf x

10、yxy ( , )f x y點(diǎn)處的連續(xù)性。點(diǎn)處的連續(xù)性。 ) 0 , 0(分析：分析： 在在 點(diǎn)處的連續(xù)性點(diǎn)處的連續(xù)性,應(yīng)滿足應(yīng)滿足 .( , )f x y)0 , 0(00lim( , )(0,0)xyf x yf 解：因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)解：因?yàn)楫?dāng)點(diǎn) 沿沿 軸趨于點(diǎn)軸趨于點(diǎn) 時(shí)時(shí),( , )P x yx)0 , 0(000lim( , )lim( ,0)0 xxyf x yf x 又當(dāng)點(diǎn)又當(dāng)點(diǎn) 沿著直線沿著直線 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) 時(shí)時(shí),( , )P x y)0 , 0( (0)yxx 000lim( , )lim( , )lim11xxxyxf x yf x x 所以，函數(shù)所以，函數(shù) 在原點(diǎn)在原點(diǎn) 的極限

11、不存在，因而，的極限不存在，因而， ( , )f x y)0 , 0(在原點(diǎn)在原點(diǎn) 不連續(xù)不連續(xù).( , )f x y)0 , 0(【例【例5】設(shè)】設(shè) , 那么那么 在在點(diǎn)點(diǎn)22 , ( , )(0,0)( , ) 0 , ( , )(0,0)xyx yf x yx y ( , )f x y(0,0)處連續(xù)，但處連續(xù)，但 在點(diǎn)在點(diǎn) 處對(duì)處對(duì) 和和 的偏導(dǎo)數(shù)不存在的偏導(dǎo)數(shù)不存在.( , )f x y(0,0)xy而點(diǎn)而點(diǎn) 為為 的分界點(diǎn)的分界點(diǎn),求偏導(dǎo)數(shù)需用偏導(dǎo)數(shù)定義。求偏導(dǎo)數(shù)需用偏導(dǎo)數(shù)定義。(0,0)( , )f x y分析：分析： 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的連續(xù)性處的連續(xù)性, 應(yīng)滿足應(yīng)滿足 .(0,0)

12、00lim( , )(0,0)xyf x yf ( , )f x y不存在不存在 不存在不存在 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?, 而而 , 所以所以220000lim( , )lim0 xxyyf x yxy(0,0)0f ( , )f x y在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)處連續(xù). (0,0)00(0,0)(0,0)(0,0)limlimxxxxfxffxx 00(0,0)(0,0)(0,0)limlimyyyyfyffyy 所以所以, 在點(diǎn)在點(diǎn) 處對(duì)處對(duì) 和和 的偏導(dǎo)數(shù)不存在的偏導(dǎo)數(shù)不存在.( , )f x y(0,0)xy解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?00(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0 xxxfxffxx 00

13、(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0yyyfyffyy 【例【例6】* 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ,判斷判斷 在原點(diǎn)在原點(diǎn) 處的可微性處的可微性.( , )f x yxy (0,0)( , )f x y分析分析:多元函數(shù)在一點(diǎn)可微與否？關(guān)鍵是要判別多元函數(shù)在一點(diǎn)可微與否？關(guān)鍵是要判別 是不是是不是 的高階無窮小的高階無窮小?假如假如 , 則函數(shù)則函數(shù) 在該點(diǎn)可微在該點(diǎn)可微, 否則函數(shù)否則函數(shù) 在該點(diǎn)不可微在該點(diǎn)不可微. 但反過來但反過來, 多元函數(shù)在某一點(diǎn)多元函數(shù)在某一點(diǎn)可微可微, 函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)各個(gè)變量偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)各個(gè)變量偏導(dǎo)數(shù)存在, 即函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在即函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在是函數(shù)可微的必要條

14、件。是函數(shù)可微的必要條件。fdf 0lim0fdf ( , )f x y( , )f x y 所以所以(0,0)(0,0)xydffxfy 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?0,0)(0,0)ffxyfx y 22()()xy 001limlim022xxfdfx 當(dāng)沿著特殊的路線當(dāng)沿著特殊的路線 , ,所以所以xy 00 x 因而，因而， 在原點(diǎn)在原點(diǎn) 不可微不可微.( , )f x y(0,0)解：解： 1yzuyxxz 1lnyzuxxyz 2lnyzuyxxzz 【例【例7】求函數(shù)】求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).yzux 分析：因?yàn)楹瘮?shù)分析：因?yàn)楹瘮?shù) 為三元函數(shù)，所以，應(yīng)分別求對(duì)為三元函數(shù)，所以，應(yīng)分別求對(duì)

15、yzux , ,x y z的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。 解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則得解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則得 【例【例8】設(shè)】設(shè) ,而而 , , 求求 和和 .sinuzev uxy vxy zx zy zzuzvxu xvx sincos1uuev yev sin()sin()xyeyxyxy zzuzvyuyvy sincos1uuev xev sin()sin()xyexxyxy 分析：先確定是幾元函數(shù)，然后分別求導(dǎo)，求出全微分，分析：先確定是幾元函數(shù)，然后分別求導(dǎo)，求出全微分，也可利用全微分形式的不變性。也可利用全微分形式的不變性。解法解法1： 1111122(1)yyyyyyzy xy

16、xxxxxx 11lnln122(1)yyyyyyzxxxxyxxxx zzdzdxdyxy1ln2(1)2(1)yyyyyyy xxxdxdyxxxx 【例【例9】求函數(shù)】求函數(shù) 的全微分的全微分.arctan (0,1)yzxxx 解法解法2：由微分形式的不變性：由微分形式的不變性 1(arctan)()1yyydzdxdxx 111()12yyyd xxx 11(ln)2(1)yyyyyxdxxxdyxx 【例【例10】設(shè)】設(shè) , 其中其中 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ) ,(22xyyxfz f求求2, .zzxx y 分析：求抽象復(fù)合函數(shù)分析：求抽象復(fù)合函數(shù) 的二階偏導(dǎo)

17、數(shù)，最需要注意的一的二階偏導(dǎo)數(shù)，最需要注意的一點(diǎn)是一階偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)是一階偏導(dǎo)數(shù) (及及 )仍舊是復(fù)合函數(shù)，且與函數(shù)仍舊是復(fù)合函數(shù)，且與函數(shù) 具具有同樣的中間變量與自變量。有同樣的中間變量與自變量。 ffu fv f解法解法1： 設(shè)設(shè) ,那那么么22, uxyvxy2zzuzvzzxyxu xvxuv 2(2)zzzxyx yyuv 2222222 ( 2 )( 2 )zzzzzxyxyyxuu vvv uv 22222224(22)zzzzxyxyxyvuu vv zuvxyzzuzvxu xvx 122xfyf212(2)zxfyfx yy 2221112224(22)fxyfxyfxyf 解法

18、解法2：若記：若記 12, ,zzffuv22112222, ,zzffuv221221, zzffu vv u 那那么么利用隱函數(shù)的求導(dǎo)公式得利用隱函數(shù)的求導(dǎo)公式得 xzFzxF 2yzzxy 2yzzxy yzFzyF 2xzzxy 2xzzxy 解解:令令 ,那么那么33( , , )3F xyzzxyza 23,3,33xyzFyz Fxz Fzxy 【例【例11】設(shè)】設(shè) ,求求 .333zxyza 2zx y 分析：如果令分析：如果令 , 則由方程則由方程 33( , , )3F xyzzxyza ( , , )0F x y z 確定了確定了 是是 的函數(shù)的函數(shù),求求 用隱函數(shù)求導(dǎo)法

19、。但在求二階混用隱函數(shù)求導(dǎo)法。但在求二階混合偏導(dǎo)時(shí)，應(yīng)采用直接求導(dǎo)法。合偏導(dǎo)時(shí)，應(yīng)采用直接求導(dǎo)法。 zxy，zx 22()zyzx yy zxy 222()()(2)()zzzyzxyyzzxyyzxy 422223(2)()z zxyzx yzxy 計(jì)算計(jì)算 時(shí)，我們采用在方程兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)，我們采用在方程兩邊同時(shí)對(duì) 求偏導(dǎo)的方法求偏導(dǎo)的方法, 2zx y y并視并視 為為 的二元函數(shù)的二元函數(shù) , 得得z,x y( , )z x y11ze 11ze xzFzxF yzFzyF 21()()1zzzx yyxye 2(1)zzzeye 3(1)zzee 【例【例12】設(shè)】設(shè) 是方程是方程 所確定的所確定的 與與 的函數(shù)的函數(shù),求求zzxyzexyyxz 2分析：如果令分析：如果令 , 則由方程則由方程 確定了確定了 是是 的函數(shù)，求的函數(shù)，求 用隱函數(shù)求導(dǎo)法。但在求二階用隱函數(shù)求導(dǎo)法。但在求二階混合偏導(dǎo)時(shí)，應(yīng)采用直接求導(dǎo)法?；旌掀珜?dǎo)時(shí)，應(yīng)采用直接求導(dǎo)法。( , , )zF x y zxyze 0),( zyxFzxy，zx 解解:令令 , 那么那么( , , )zF x y zxyze 分析：求方向?qū)?shù)需求出偏導(dǎo)數(shù)及方向余弦，然后代入方向分析：求方向?qū)?shù)需求出偏導(dǎo)數(shù)及方向余弦，然后代入方向?qū)?shù)公式計(jì)算即可。導(dǎo)數(shù)公式