拉普拉斯變換與Z變換及信號(hào)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、大連理工大學(xué)1第第3章章拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與z變換及信變換及信號(hào)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析號(hào)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析大連理工大學(xué)碩士研究生校管課程大連理工大學(xué)碩士研究生校管課程信號(hào)處理與數(shù)據(jù)分析信號(hào)處理與數(shù)據(jù)分析電子信息與電氣工程學(xué)部電子信息與電氣工程學(xué)部邱天爽邱天爽2015年年10月月 內(nèi)容概要內(nèi)容概要 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 3.3 3.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 3.4 z3.4 z變換變換 3.5 3.5 離散離散時(shí)間時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析大連理工大學(xué)2大連理工大學(xué)33.1 引言引言202

2、2-1-25大連理工大學(xué)4 上上一章系統(tǒng)介紹了傅里葉理論，對(duì)應(yīng)的信號(hào)與系一章系統(tǒng)介紹了傅里葉理論，對(duì)應(yīng)的信號(hào)與系統(tǒng)分析稱為統(tǒng)分析稱為頻域分析頻域分析； 本章系統(tǒng)介紹拉普拉斯變換和本章系統(tǒng)介紹拉普拉斯變換和z變換，對(duì)應(yīng)的信號(hào)變換，對(duì)應(yīng)的信號(hào)與系統(tǒng)分析稱為與系統(tǒng)分析稱為復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析。 復(fù)頻域的概念：復(fù)頻域的概念： 對(duì)于連續(xù)對(duì)于連續(xù)時(shí)間時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)，經(jīng)由拉普拉斯變換，有信號(hào)與系統(tǒng)，經(jīng)由拉普拉斯變換，有 對(duì)于對(duì)于離散離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)，經(jīng)由時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)，經(jīng)由z變換，有變換，有js jezr大連理工大學(xué)42022-1-25大連理工大學(xué)5 我們將會(huì)我們將會(huì)看到：看到： 拉普拉斯變換拉普拉斯變換

3、和和z變換都有很多有用的性質(zhì)，變換都有很多有用的性質(zhì)，它們它們提供提供了許多不能應(yīng)用傅里葉變換的分析方法了許多不能應(yīng)用傅里葉變換的分析方法。 例如例如，在傅里葉變換中，若信號(hào)在所關(guān)注的區(qū)間是無(wú)界，在傅里葉變換中，若信號(hào)在所關(guān)注的區(qū)間是無(wú)界的，則其傅里葉變換是不收斂或不存在的的，則其傅里葉變換是不收斂或不存在的。 但是但是，對(duì)于拉普拉斯變換來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)適當(dāng)選擇收斂，對(duì)于拉普拉斯變換來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)適當(dāng)選擇收斂區(qū)域而使在頻域傅里葉變換不收斂的信號(hào)在區(qū)域而使在頻域傅里葉變換不收斂的信號(hào)在s域收斂，域收斂，以便進(jìn)行進(jìn)一步的分析處理以便進(jìn)行進(jìn)一步的分析處理。 因此因此在某種意義上來(lái)說(shuō)，信號(hào)與系統(tǒng)的在某種

4、意義上來(lái)說(shuō)，信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析是一復(fù)頻域分析是一種比傅里葉分析范圍更為廣泛的有用工具種比傅里葉分析范圍更為廣泛的有用工具。大連理工大學(xué)5大連理工大學(xué)63.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 3.2.1 3.2.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 概述概述拉普拉斯變換是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換，拉普拉斯變換是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換，又稱為拉氏變換又稱為拉氏變換。拉普拉斯變換拉普拉斯變換是一種線性變換，在電子信息技術(shù)領(lǐng)是一種線性變換，在電子信息技術(shù)領(lǐng)域，拉普拉斯變換的作用是將連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)域，拉普拉斯變換的作用是將連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)由時(shí)間域變換到以由時(shí)間域變換到以 為為自變量的復(fù)

5、頻域，從而實(shí)自變量的復(fù)頻域，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)的分析與簡(jiǎn)化現(xiàn)對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)的分析與簡(jiǎn)化處理。處理。s大連理工大學(xué)72022-1-25大連理工大學(xué)8 （1）拉普拉斯變換的定義）拉普拉斯變換的定義 定義：定義： 其中：其中： 為復(fù)變量。為復(fù)變量。 記為：記為： 討論：討論： 即拉普拉斯變換退化為傅里葉變換。即拉普拉斯變換退化為傅里葉變換。( )( )ed1( )( )e d2jstjstjX sx ttx tX ss js ( )( ),( )( )x tX sx tX s或Lj0,j ,( )(j)( )edtsX sXx tt 若即則( )(j )(j ) ( )X sXXX s是的推廣；是

6、的特例。大連理工大學(xué)82022-1-25大連理工大學(xué)9 （2）根據(jù)定義的計(jì)算）根據(jù)定義的計(jì)算 【例例3.1】 已知：已知： 【解解】( )e( ),0,(j )( )atx tu taXX s求和jj01(j )e( )edeed,0jattattXu tttaa 0()j0( )e( )edeedee,(j )atstatstattX su tttdts 11 0,( ) 0,( )jaX saX sas a 若則；若則不存在大連理工大學(xué)9Re sa 2022-1-25大連理工大學(xué)10 【例例3.2】 已知：已知： 【解解】( )e(),0,( )atx tutaX s求00()( )e()

7、edeeded ,(j )atstatsta s tX sutttts 1 0 (Re ),( ) 0,( )asaX ss aaX s 若則；若則不存在大連理工大學(xué)10Re sa 2022-1-25大連理工大學(xué)11 （3）拉普拉斯變換的收斂域）拉普拉斯變換的收斂域收斂域（收斂域（ROCROC）：）：是能夠使拉普拉斯變換收斂的是能夠使拉普拉斯變換收斂的s s的取值的取值范圍。范圍。ROC：Re sa ROC：Re sa 大連理工大學(xué)11 3.2.2 3.2.2 拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)3.13.1： 的的ROC由由s平面上平行于平面上平行于 軸軸的帶狀區(qū)域組的

8、帶狀區(qū)域組成成。 性質(zhì)性質(zhì)3.23.2：對(duì)有理對(duì)有理Laplace變換來(lái)說(shuō)，變換來(lái)說(shuō)，ROC內(nèi)不包括極點(diǎn)。內(nèi)不包括極點(diǎn)。 性質(zhì)性質(zhì)3.33.3：若若 是是有限時(shí)寬的，且絕對(duì)可積，則有限時(shí)寬的，且絕對(duì)可積，則ROC為整為整個(gè)個(gè)s平面。平面。 性質(zhì)性質(zhì)3.43.4：有理有理拉普拉斯變換的拉普拉斯變換的ROC由極點(diǎn)界定，或延伸到由極點(diǎn)界定，或延伸到無(wú)窮。無(wú)窮。 性質(zhì)性質(zhì)3.53.5：有理右邊信號(hào)的有理右邊信號(hào)的ROC位于最右邊極點(diǎn)的右邊，有位于最右邊極點(diǎn)的右邊，有理左邊信號(hào)的理左邊信號(hào)的ROC位于最左邊極點(diǎn)的左邊。位于最左邊極點(diǎn)的左邊。 ( )X sj( )x t大連理工大學(xué)12收斂域性質(zhì)補(bǔ)充收斂域

9、性質(zhì)補(bǔ)充 性質(zhì)性質(zhì)A1A1：若若 為為右邊信號(hào)，且若右邊信號(hào)，且若 位于位于ROC內(nèi)內(nèi)，則，則 的的全部全部s值一定在值一定在ROC內(nèi)。內(nèi)。 性質(zhì)性質(zhì)A2A2：若若 為為左邊信號(hào)，且若左邊信號(hào)，且若 位于位于ROC內(nèi)內(nèi)，則，則 的全部的全部s值一定在值一定在ROC內(nèi)。內(nèi)。 ( )x t 0Re s 0Re s( )x t 0Re s 0Re s大連理工大學(xué)132022-1-25大連理工大學(xué)14 拉普拉斯變換計(jì)算舉例拉普拉斯變換計(jì)算舉例 【例例3.3】大連理工大學(xué)14 3.2.3 3.2.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換 拉普拉斯逆變換式拉普拉斯逆變換式j(luò)j1( )( )e d2 jstx tX

10、 ss 大連理工大學(xué)152022-1-25大連理工大學(xué)16 （1）拉普拉斯逆變換）拉普拉斯逆變換的部分分式法的部分分式法 適用適用范圍：范圍：有理分式拉普拉斯變換式有理分式拉普拉斯變換式 基本方法：基本方法：將拉普拉斯變換式進(jìn)行部分分式展開：將拉普拉斯變換式進(jìn)行部分分式展開： 上式中的每一項(xiàng)均為一階系統(tǒng)，每一項(xiàng)均有上式中的每一項(xiàng)均為一階系統(tǒng)，每一項(xiàng)均有兩種可能兩種可能： 若若ROC位于極點(diǎn)位于極點(diǎn) 的右邊，則：的右邊，則： 若若ROC位于極點(diǎn)位于極點(diǎn) 的左邊，則：的左邊，則：11( )( )mmiiiiiAX sX ssaisa ( )e( )ia tiix tAu t( )e()ia tii

11、x tAut isa 1( )( )miix tx t大連理工大學(xué)162022-1-25大連理工大學(xué)17 計(jì)算舉例計(jì)算舉例 【例例3.4】 已知：已知： ，求，求 。 【解解】 部分分式分解：部分分式分解： 求出求出 由于收斂域在極點(diǎn)右邊，故為右邊信號(hào)：由于收斂域在極點(diǎn)右邊，故為右邊信號(hào)： 1( ),Re1(1)(2)X ssss ( )x t1( )(1)(2)12ABX sssss1,1AB 11( ), Re112X ssss 2( )e( )e( )ttx tu tu t大連理工大學(xué)172022-1-25大連理工大學(xué)18 【例例3.4-1】 已知：已知： 【解解】部分分式分解：部分分式

12、分解：因因ROCROC在極點(diǎn)左邊，故為左邊信號(hào)。反變換得：在極點(diǎn)左邊，故為左邊信號(hào)。反變換得： 1( ),Re2(1)(2)X ssss 11( ),Re 212X ssss 2( )ee()ttx tut 大連理工大學(xué)182022-1-25大連理工大學(xué)19 【例例3.4-2】 已知：已知： 【解解】部分分式分解：部分分式分解：因因ROCROC在第一項(xiàng)極點(diǎn)的左邊在第一項(xiàng)極點(diǎn)的左邊，故該項(xiàng)為左邊信號(hào)。，故該項(xiàng)為左邊信號(hào)。因因ROCROC在第二項(xiàng)極點(diǎn)的右邊在第二項(xiàng)極點(diǎn)的右邊，故該項(xiàng)為右邊信號(hào)。，故該項(xiàng)為右邊信號(hào)。11( ),2Re 112X ssss 1( ),2Re1(1)(2)X ssss 2

13、( )e()e( )ttx tutu t 大連理工大學(xué)192022-1-25大連理工大學(xué)20 【例例3.5】大連理工大學(xué)202022-1-25大連理工大學(xué)21 （2）拉普拉斯逆變換）拉普拉斯逆變換的留數(shù)法的留數(shù)法 對(duì)于因果信號(hào)，由復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，有對(duì)于因果信號(hào)，由復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，有 上式左邊上式左邊的曲線積分是在的曲線積分是在s平面內(nèi)沿一不通過(guò)平面內(nèi)沿一不通過(guò) 極點(diǎn)的閉極點(diǎn)的閉合曲線（稱為圍線）合曲線（稱為圍線） 上進(jìn)行的上進(jìn)行的。 右邊表示圍線中右邊表示圍線中 各各極點(diǎn)上留數(shù)之和極點(diǎn)上留數(shù)之和。 要要利用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算拉普拉斯逆變換利用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算拉普拉斯逆變換，需要在上式的需

14、要在上式的積分線上補(bǔ)充一條積分線上補(bǔ)充一條積分路徑積分路徑以以構(gòu)成一條封閉曲線。構(gòu)成一條封閉曲線。1( )e dRes2 jstiCiX ss( )X s大連理工大學(xué)212022-1-25大連理工大學(xué)22 留數(shù)法的應(yīng)用留數(shù)法的應(yīng)用 設(shè)設(shè) 為有理函數(shù)，則：為有理函數(shù)，則： 一一階極點(diǎn)階極點(diǎn) 的留數(shù)為：的留數(shù)為： k階極點(diǎn)階極點(diǎn)的留數(shù)為：的留數(shù)為： 留數(shù)法除了可以處理有理拉普拉斯變換式之外，還可以留數(shù)法除了可以處理有理拉普拉斯變換式之外，還可以處理無(wú)理拉普拉斯變換式，因此適用范圍更廣。處理無(wú)理拉普拉斯變換式，因此適用范圍更廣。( )X sispRes()( )e istiis psp X s111

15、dRes()( )e(1)! dikkstiiks pspX sks大連理工大學(xué)222022-1-25大連理工大學(xué)23 【例例3.63.6】大連理工大學(xué)23k2022-1-25大連理工大學(xué)24 【線性性質(zhì)線性性質(zhì)】 若：若： 則：則： 【時(shí)移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)】 若：若： 則：則：111222( )( ), ROC:; ( )( ), ROC: x tX sRx tXsR121212( )( )( )( ),ROC:ax tbx taX sbXsRR包括( )( )ROC:x tX sR，00()e( )ROC:stx ttX sR， 3.2.4 3.2.4 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)大連

16、理工大學(xué)242022-1-25大連理工大學(xué)25 【頻移性質(zhì)頻移性質(zhì)】 若：若： 則：則： 【時(shí)域尺度變換時(shí)域尺度變換】 若：若： 則：則：0010e( )() ROC:Re s tx tX ssRRs，11()ROC:sRx atXRaaa，( )( )ROC:x tX sR，( )( )ROC:x tX sR，大連理工大學(xué)252022-1-25大連理工大學(xué)26 【共軛性質(zhì)共軛性質(zhì)】 若：若： 則：則： 若：若： ，則，則 【卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)】 若：若： 則：則：*( )*ROC:xtXsR，111222( )( ), ROC:; ( )( ), ROC: x tX sRx tXsR12121

17、2( )*( )( )( )ROC:x tx tXs XsRR，包括( )*( )x txt( )*( *)X sXs( )( )ROC:x tX sR，大連理工大學(xué)262022-1-25大連理工大學(xué)27 【時(shí)域微分性質(zhì)時(shí)域微分性質(zhì)】 若：若： 則：則： 【頻域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)】 若：若： 則：則：d ( )( )ROC:dx tsX sRt，包括d ( )( )ROC:dX stx tRs，( )( )ROC:x tX sR，( )( )ROC:x tX sR，大連理工大學(xué)272022-1-25大連理工大學(xué)28 【時(shí)域積分性質(zhì)時(shí)域積分性質(zhì)】 若：若： 則：則： 【初值定理與終值定理初值定

18、理與終值定理】 對(duì)于因果信號(hào)對(duì)于因果信號(hào) ，若：，若： 則初值定理：則初值定理： 終值定理：終值定理：1( )d( ),ROC:Re 0txX sRss包括( )x t( )( )ROC:x tX sR，( )( )ROC:x tX sR，(0 )lim( )sxsX s0lim ( )lim( )tsx tsX s大連理工大學(xué)282022-1-25大連理工大學(xué)29 計(jì)算舉例計(jì)算舉例 【例例5.6】 已知：已知： 【解解】 解得：解得： 利用初值定理檢驗(yàn)求解是否有誤。由初值定理：利用初值定理檢驗(yàn)求解是否有誤。由初值定理： 另一方面，另一方面， 二者相同，未發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。二者相同，未發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。2(

19、)e( )(cos3 ) ( )ttx tu tet u t2322512( )41420ssX ssss2322512(0 )lim( )lim241420sssssxsX ssss0( )=1+1=2tx t大連理工大學(xué)292022-1-25大連理工大學(xué)30 拉普拉斯變換性質(zhì)清單拉普拉斯變換性質(zhì)清單大連理工大學(xué)302022-1-25大連理工大學(xué)31 常用拉普拉斯變換對(duì)常用拉普拉斯變換對(duì)大連理工大學(xué)312022-1-25大連理工大學(xué)32 常用拉普拉斯變換對(duì)（續(xù)）常用拉普拉斯變換對(duì)（續(xù)）大連理工大學(xué)322022-1-25大連理工大學(xué)333.3 連續(xù)連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分

20、析頻域分析大連理工大學(xué)332022-1-25大連理工大學(xué)34 拉普拉斯變換與傅里葉變換的比較拉普拉斯變換與傅里葉變換的比較拉普拉斯變換拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，或者說(shuō)傅里葉變是傅里葉變換的推廣，或者說(shuō)傅里葉變換是拉普拉斯變換當(dāng)換是拉普拉斯變換當(dāng) 的特例的特例；傅里葉變換傅里葉變換比較適合分析信號(hào)與系統(tǒng)的比較適合分析信號(hào)與系統(tǒng)的頻率特性；頻率特性；拉普拉斯變換拉普拉斯變換除了可以用于分析信號(hào)與系統(tǒng)頻率方面除了可以用于分析信號(hào)與系統(tǒng)頻率方面的問(wèn)題外，更多的是用于求解線性系統(tǒng)時(shí)域微分方程，的問(wèn)題外，更多的是用于求解線性系統(tǒng)時(shí)域微分方程，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行因果性和穩(wěn)定性分析因果性和穩(wěn)定性分析，

21、并且更方便地將信，并且更方便地將信號(hào)與號(hào)與系統(tǒng)用方框圖或信號(hào)流圖系統(tǒng)用方框圖或信號(hào)流圖的方式表示出來(lái)的方式表示出來(lái)。本本節(jié)重點(diǎn)介紹拉普拉斯變換用于節(jié)重點(diǎn)介紹拉普拉斯變換用于LTILTI系統(tǒng)的分析問(wèn)題，系統(tǒng)的分析問(wèn)題，同時(shí)簡(jiǎn)單介紹單邊拉普拉斯變換（同時(shí)簡(jiǎn)單介紹單邊拉普拉斯變換（unilateral unilateral Laplace transformLaplace transform）及其應(yīng)用。）及其應(yīng)用。0大連理工大學(xué)34 3.3.1 3.3.1 微分方程的拉氏變換與系統(tǒng)函數(shù)微分方程的拉氏變換與系統(tǒng)函數(shù) LTILTI系統(tǒng)用線性常系數(shù)微分方程來(lái)表示：系統(tǒng)用線性常系數(shù)微分方程來(lái)表示： 系統(tǒng)函數(shù)

22、定義為：系統(tǒng)函數(shù)定義為：00d( )d( )ddkkNMkkkkkky tx tabtt00( )( )NMkkkkkka sY sb sX s00( )( )( )MkkkNkkkb sY sH sX sa s大連理工大學(xué)352022-1-25大連理工大學(xué)36 系統(tǒng)函數(shù)的含義系統(tǒng)函數(shù)的含義一個(gè)由線性常系數(shù)微分方程所表示的系統(tǒng)，其系統(tǒng)函一個(gè)由線性常系數(shù)微分方程所表示的系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)總是有理的數(shù)總是有理的。此外：此外： 第一第一，系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以分別通過(guò)令上式的分子系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以分別通過(guò)令上式的分子為為0 0和分母為和分母為0 0而得到而得到。由。由系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)以及系統(tǒng)系統(tǒng)的零點(diǎn)

23、和極點(diǎn)以及系統(tǒng)的的ROCROC，可以進(jìn)一步分析系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性等性質(zhì)，可以進(jìn)一步分析系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性等性質(zhì)。 第二第二，上式反映了上式反映了LTILTI系統(tǒng)輸入信號(hào)、輸出信號(hào)與系統(tǒng)系統(tǒng)輸入信號(hào)、輸出信號(hào)與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系。由上式，可以函數(shù)的關(guān)系。由上式，可以得到：得到： 第三，第三，如果在如果在 中中令令 （或令（或令 ），），則可則可以得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（或稱為以得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（或稱為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) ），），并可以由此進(jìn)一步分析系統(tǒng)的頻率特性。并可以由此進(jìn)一步分析系統(tǒng)的頻率特性。大連理工大學(xué)36( )( )( )Y sH s X s00( )( )( )MkkkNkkkb sY

24、sH sX sa s( )H s0js (j)H2022-1-25大連理工大學(xué)37 【例例3.83.8】大連理工大學(xué)37 3.3.2 LTI3.3.2 LTI系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性分析 （1 1）LTILTI系統(tǒng)的因果性判定系統(tǒng)的因果性判定性質(zhì)性質(zhì)3.6 3.6 （必要條件）（必要條件）一個(gè)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)一個(gè)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)函數(shù) 的的ROCROC是某個(gè)右半是某個(gè)右半s s平面。平面。 需要注意的是，性質(zhì)需要注意的是，性質(zhì)3.63.6的相反結(jié)論是不一定成立的。即位的相反結(jié)論是不一定成立的。即位于最右邊極點(diǎn)右邊的于最右邊極點(diǎn)右邊的ROCROC并不能充分保證系統(tǒng)的因果性。并不

25、能充分保證系統(tǒng)的因果性。性質(zhì)性質(zhì)3.7 3.7 （充分必要條件）（充分必要條件）若系統(tǒng)函數(shù)若系統(tǒng)函數(shù) 是是有理有理的，則系統(tǒng)的因果性等效于的，則系統(tǒng)的因果性等效于ROCROC位于最右邊極點(diǎn)的右位于最右邊極點(diǎn)的右邊的右半邊的右半s s平面。平面。大連理工大學(xué)38( )H s( )H s2022-1-25大連理工大學(xué)39 【例例3.93.9】大連理工大學(xué)392022-1-25大連理工大學(xué)40 （2 2）系統(tǒng)穩(wěn)定性判定）系統(tǒng)穩(wěn)定性判定性質(zhì)性質(zhì)3.8 3.8 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù) 的的ROCROC包含包含 軸軸時(shí)，時(shí)，則該則該LTILTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。性質(zhì)性質(zhì)3.9 3.9 當(dāng)

26、且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 的的全部極點(diǎn)都位于左半全部極點(diǎn)都位于左半s s平面平面時(shí)，則有理因果系統(tǒng)時(shí)，則有理因果系統(tǒng) 是是穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。大連理工大學(xué)40( )H sj( )H s( )H s2022-1-25大連理工大學(xué)41 【例例3.103.10】大連理工大學(xué)41 3.3.3 3.3.3 單邊拉普拉斯變換及其應(yīng)用單邊拉普拉斯變換及其應(yīng)用 定義定義式中，式中， 表示單邊拉普拉斯變換；表示單邊拉普拉斯變換； 積分下限積分下限 表示在積分區(qū)間中包括位于表示在積分區(qū)間中包括位于 時(shí)刻的時(shí)刻的任何沖激信號(hào)或高階奇異信號(hào)。任何沖激信號(hào)或高階奇異信號(hào)。 由于單邊拉普拉斯變換總是對(duì)由于單邊拉普拉斯變換總是對(duì) 的區(qū)間

27、進(jìn)行信號(hào)的區(qū)間進(jìn)行信號(hào)積分，因此其積分，因此其ROC總是對(duì)應(yīng)于某個(gè)右半總是對(duì)應(yīng)于某個(gè)右半s平面。平面。大連理工大學(xué)42u0( )( )edstXsx ttu( )Xs00t 0t 2022-1-25大連理工大學(xué)43 【例例3.113.11】大連理工大學(xué)432022-1-25大連理工大學(xué)44 單邊單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì) 單邊拉普拉斯變換的主要性質(zhì)與雙邊拉普拉斯變換的單邊拉普拉斯變換的主要性質(zhì)與雙邊拉普拉斯變換的基本相同，例如線性性質(zhì)、基本相同，例如線性性質(zhì)、s域平移性質(zhì)、時(shí)域尺度域平移性質(zhì)、時(shí)域尺度變換性質(zhì)、共軛和變換性質(zhì)、共軛和s域微分等，初值定理域終值定理域微分等，初值定理

28、域終值定理也成立。也成立。但時(shí)域但時(shí)域微分和時(shí)域積分等性質(zhì)是不同微分和時(shí)域積分等性質(zhì)是不同的。的。大連理工大學(xué)44大連理工大學(xué)453.4 z-變換變換2022-1-25大連理工大學(xué)46 z z變換的概念變換的概念z z變換（變換（z-transformz-transform）是對(duì)離散時(shí)間）是對(duì)離散時(shí)間信號(hào)或系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)或系統(tǒng)進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)變換的一種數(shù)學(xué)變換。它它在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的地位，如同拉普拉斯變?cè)陔x散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的地位，如同拉普拉斯變換在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的地位換在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的地位。z z變換是分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的重要工具，在數(shù)字信變換是分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的重要工具，

29、在數(shù)字信號(hào)處理、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。號(hào)處理、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。大連理工大學(xué)462022-1-25大連理工大學(xué)47 定義：定義： 即即z z變換是變換是DTFTDTFT的推廣；的推廣； DTFTDTFT是單位圓上的是單位圓上的z z變換：變換：jjj( )( e ) e ennnnnX zX rx nrx n r大連理工大學(xué)47 3.4.1 z3.4.1 z變換的定義變換的定義j( )( ),e ;( )( )nnX zx n zzrx nX z記為jjj1e , (1),( )(e )( )enznzrX zXx n若則11( )( )d2 jnx nX z zz

30、2022-1-25大連理工大學(xué)48 z 變換的收斂域問(wèn)題變換的收斂域問(wèn)題 存在一個(gè)存在一個(gè) z 的取值范圍，在此范圍內(nèi)，的取值范圍，在此范圍內(nèi)，z 變換收斂。稱變換收斂。稱此范圍為收斂域（此范圍為收斂域（ROC） 。 若若ROC內(nèi)包含單位圓，則內(nèi)包含單位圓，則DTFT也收斂（存在）。也收斂（存在）。 大連理工大學(xué)482022-1-25大連理工大學(xué)49 計(jì)算舉例計(jì)算舉例 【例例3.143.14】已知：已知： ，求其，求其 z z 變換。變換。 【解解】由定義，有：由定義，有： 為使為使 收斂，要求：收斂，要求： 這樣：這樣：01( )( )nnnnnX za u n zaz( )X z1101(

31、 ), ()1nnzX zazzaazza110ROCnnazazza ：或( )( )nx na u n大連理工大學(xué)492022-1-25大連理工大學(xué)50 討論討論 上頁(yè)結(jié)果可以用零極點(diǎn)表示為：上頁(yè)結(jié)果可以用零極點(diǎn)表示為： （1）若）若 ，則，則 （2）若）若 ，則其零極圖為：，則其零極圖為： （3）若）若 ，則，則ROC不包含單位圓。不包含單位圓。這樣，這樣， 的的DTFT不收斂（不收斂（ROC不含單位圓）。不含單位圓）。 1a 11( )( )( ),11x nu nX zzz0( ),zzX zzaza零點(diǎn)：極點(diǎn)：01a1a ( )( )nx na u n大連理工大學(xué)502022-1-

32、25大連理工大學(xué)51 【例例3.153.15】已知：已知： ，求其，求其 z z 變換。變換。 【解解】由定義，有：由定義，有： 若若 ，則：，則： 比較比較【例例3.14】和和【例例3.15】，兩者，兩者 z 變換的表達(dá)變換的表達(dá)式相同，但式相同，但ROC不同。不同。z z 變換表達(dá)式必須寫明變換表達(dá)式必須寫明ROCROC。 ( )(1)nx na un 1110( )(1)1nnnmnnnnmmnmnX zanza zaza z za1111( )1,11X zzaa zaz 大連理工大學(xué)512022-1-25大連理工大學(xué)52 【例例3.15A3.15A】已知：已知： ，求其，求其 z z

33、 變換。變換。 【解解】由定義，有：由定義，有： 收斂域：收斂域：11( )7( )6( )32nnx nu nu n 00111111111( )7( )6( )7( )6( )32321176323317622=111111113232nnnnnnnnnnnnnnnnX zu nu nzu n zu n zzzz zzzzzz 1132zz1ROC:2z 大連理工大學(xué)522022-1-25大連理工大學(xué)53 上例上例【例例3.15A】的收斂域圖形的收斂域圖形大連理工大學(xué)532022-1-25大連理工大學(xué)54 【例例3.15B3.15B】已知：已知： 求其求其 z z 變換。變換。 【解解】由

34、定義，有：由定義，有： 收斂域：收斂域：1ROC:3z jj4411111( )(sin) ( )e( )e( )342j 32j 3nnnx nn u nu nu n jj44jj44jjjj1144441111( )e e 2j 32j 31111e( )e( )2j32j3111113 22j2j11111e1eee3333nnnnnnnnnnX zu nu nzu n zu n zzzzzz大連理工大學(xué)542022-1-25大連理工大學(xué)55ROCROC是在是在z z平面內(nèi)的原點(diǎn)為中心的環(huán)。平面內(nèi)的原點(diǎn)為中心的環(huán)。ROCROC內(nèi)不包含任何極點(diǎn)內(nèi)不包含任何極點(diǎn) 。若若 是有限長(zhǎng)的，則是有限

35、長(zhǎng)的，則ROCROC為整個(gè)為整個(gè)z z平面。平面。 若若 為右邊序列，且若為右邊序列，且若 位于位于ROCROC內(nèi)，則內(nèi)，則 的全部有限的全部有限z z值一定在值一定在ROCROC內(nèi)。內(nèi)。 若若 為左邊序列，且若為左邊序列，且若 位于位于ROCROC內(nèi)，則內(nèi)，則 的全部有限的全部有限z z值一定在值一定在ROCROC內(nèi)。內(nèi)。若若 為雙邊序列，且若為雙邊序列，且若 位于位于ROCROC內(nèi)，則該內(nèi)，則該ROCROC一定一定由包括由包括 的圓環(huán)組成。的圓環(huán)組成。有理有理z z變換：若左邊序列，變換：若左邊序列，ROCROC位于最里邊極點(diǎn)的里邊，若右位于最里邊極點(diǎn)的里邊，若右邊序列，邊序列，ROCRO

36、C位于最外邊極點(diǎn)的外邊。位于最外邊極點(diǎn)的外邊。 ( )x n0zr0zr0zr0zr0zr0zr大連理工大學(xué)55 3.4.2 z3.4.2 z變換收斂域的性質(zhì)變換收斂域的性質(zhì)( )x n( )x n( )x n2022-1-25大連理工大學(xué)56 【例例3.163.16】大連理工大學(xué)562022-1-25大連理工大學(xué)57 定義：定義：式中：式中： 表示半徑為表示半徑為r，以原點(diǎn)為中心的封閉圈上沿，以原點(diǎn)為中心的封閉圈上沿逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞一周的積分。逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞一周的積分。 上式求解上式求解需要利用復(fù)平面上的圍需要利用復(fù)平面上的圍線積分線積分，一般一般并不采并不采用由定義直接計(jì)算的用由定義直接計(jì)算

37、的方式。方式。11 ( )d2 jnx nX z zz大連理工大學(xué)57 3.4.3 z3.4.3 z逆變換逆變換2022-1-25大連理工大學(xué)58 （1 1）z z逆變換的部分分式法求解逆變換的部分分式法求解設(shè)離散時(shí)間信號(hào)設(shè)離散時(shí)間信號(hào) 的的z z變換變換 可以可以表示為一組一階項(xiàng)表示為一組一階項(xiàng)的線性組合的形式，的線性組合的形式，如下所如下所示示：對(duì)于對(duì)于上式中的每個(gè)一階項(xiàng)的上式中的每個(gè)一階項(xiàng)的z z逆變換，逆變換，都有都有兩種可能兩種可能： 若若 的的ROCROC位于極點(diǎn)位于極點(diǎn) 所所對(duì)應(yīng)的圓的對(duì)應(yīng)的圓的外面外面，則：，則： 若若 的的ROCROC位于極點(diǎn)位于極點(diǎn) 所對(duì)應(yīng)的圓所對(duì)應(yīng)的圓的的

38、里面里面，則：，則：大連理工大學(xué)58( )x n( )X z111( )( )1mmiiiiiAX zXza z( )X ziza11( )( )1niiiiiAXzAa u na zZ( )X ziza11( )(1)1niiiiiAXzAa una z Z2022-1-25大連理工大學(xué)59 計(jì)算舉例計(jì)算舉例 【例例3.17】已知：已知： ，求，求 。 【解解】部分分式展開，部分分式展開，這樣：這樣：1115316( ),1131143zX zzzz( )x n1112( )111143X zzz112211111111( ),( )( );( ),( )( )1144331143nnx n

39、zx nu nx nzx nu nzz 11( )( )2( )43nnx nu nu n 大連理工大學(xué)592022-1-25大連理工大學(xué)60 【例例3.18A】已知：已知： ，求，求 。 【解解】部分分式展開，部分分式展開，這樣：這樣：1115316( ),1141143zX zzzz( )x n1112( )111143X zzz11( )(1)2(1)43nnx nunun 111221111( ),( )(1)14414111( ),( )(1)13313nnx nzx nunzx nzx nunz 大連理工大學(xué)602022-1-25大連理工大學(xué)61 【例例3.18B】已知：已知： ，

40、求，求 。 【解解】部分分式展開，部分分式展開，這樣：這樣：11153116( ),11431143zX zzzz( )x n1112( )111143X zzz111221111( ),( )( )14414111( ),( )(1)13313nnxnzxnu nzxnzxnunz 11( )( )2(1)43nnx nu nun 大連理工大學(xué)612022-1-25大連理工大學(xué)62 小結(jié)小結(jié) 對(duì)于每一項(xiàng)對(duì)于每一項(xiàng) ： 若若ROC在極點(diǎn)外，則：在極點(diǎn)外，則： 若若ROC在極點(diǎn)內(nèi)在極點(diǎn)內(nèi)，則：則：11iiAa z niiix nAa u n 1niiix nAa un 大連理工大學(xué)622022-

41、1-25大連理工大學(xué)63 （2 2）z z逆變換的留數(shù)法求解逆變換的留數(shù)法求解借助于留數(shù)定理，借助于留數(shù)定理，z z逆變換可以表示為各極點(diǎn)留數(shù)之和：逆變換可以表示為各極點(diǎn)留數(shù)之和：式中，式中，ResRes表示極點(diǎn)的留數(shù)，表示極點(diǎn)的留數(shù)， 為為 的的極點(diǎn)。極點(diǎn)。 若若 在在 有一階極點(diǎn)，則：有一階極點(diǎn)，則： 若若 在在 有有k k階階極點(diǎn)，則：極點(diǎn)，則：大連理工大學(xué)63111( )( )dRes ( )2 jmnnz zmx nX z zzX z zmz1( )nX z z1( )nX z zmzz11Res( )()( )mmnnz zmz zX z zzzX z zmzz1( )nX z z

42、11111dRes( )()( )(1)! dmmknknz zmz zkX z zzzX z zkz2022-1-25大連理工大學(xué)64 【例例3.193.19】試求試求 的的z z逆變換逆變換。 解：解： 有有2 2個(gè)一階個(gè)一階極點(diǎn)，這樣：極點(diǎn)，這樣：由此：由此：大連理工大學(xué)64111( ),| 11(1)(1)2X zzzz( )X z1111111Res( )(0.5)21(1)(1)2nnz zzX z zzzzz211110.511Res( )(0.5)12(1)(1)2nnnz zzX z zzzzz 1( )2( )2nx nu n2022-1-25大連理工大學(xué)65 （3 3）z

43、 z逆變換的冪級(jí)數(shù)展開法求解逆變換的冪級(jí)數(shù)展開法求解基本原理：基本原理：由于由于 的的z z變換變換 定義定義為為 的冪級(jí)數(shù)，因此只要在給定的的冪級(jí)數(shù)，因此只要在給定的ROCROC內(nèi)將內(nèi)將 展開展開成冪成冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是要求級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是要求的時(shí)間序列的時(shí)間序列 。方法：方法：利用長(zhǎng)除法計(jì)算利用長(zhǎng)除法計(jì)算 。大連理工大學(xué)65( )X z( )x n( )( )nnX zx n z1z( )x n( )( )( )N zX zD z2022-1-25大連理工大學(xué)66 【例例3.203.20】試?yán)瞄L(zhǎng)除法求試?yán)瞄L(zhǎng)除法求 的的z z逆逆變換。變換。 解：解：利用長(zhǎng)除法，有：利用長(zhǎng)除法，有：可以

44、寫為：可以寫為：該該級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂。與。與z z變換的定義變換的定義式比較式比較，可得，可得：則：則：大連理工大學(xué)6611( ),| |1X zzaaz12211112222 111 1 aza zazazazaza za z12211( )11X zaza zaz ( )0,0 x nn若2(0)1,(1),(2),xxa xa且( )( )nx na u n2022-1-25大連理工大學(xué)67 【例例3.20-1】已知：已知： ，求，求 。 【解解】待定系數(shù)法。根據(jù)待定系數(shù)法。根據(jù)z z變換的定義：變換的定義： 比較系數(shù)，有：比較系數(shù)，有： 即：即：( )x n21( )423, 0X z

45、zzz ( )( )nnX zx n z( 2)4,(0)2,(1)3,( )0 xxxx n其余( )4 (2)2 ( )3 (1)x nnnn大連理工大學(xué)672022-1-25大連理工大學(xué)68 【線性性質(zhì)線性性質(zhì)】 若：若： 則：則： 【時(shí)移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)】 若：若： 則：則：111222 ( ), ROC:; ( ), ROC: x nXzRx nXzR121212 ( )( ),ROC:ax nbx naXzbXzRR包括 ( )ROC:x nX zR，00e( )ROC:nx nnX zR，大連理工大學(xué)68 3.4.4 z3.4.4 z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)2022-1-25大連理工大學(xué)

46、69 【z域尺度變換域尺度變換】 若：若： 則：則： 【時(shí)域反轉(zhuǎn)時(shí)域反轉(zhuǎn)】 若：若： 則：則： ( )ROC:x nX zR，000 (),ROC:nzz x nXz Rz ( )ROC:x nX zR，11, ROC:xnXzR大連理工大學(xué)692022-1-25大連理工大學(xué)70 【共軛性質(zhì)共軛性質(zhì)】 若：若： 則：則： 若：若： ，則，則 【卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)】 若：若： 則：則：111222 ( ), ROC:; ( ), ROC: x nXzRx nXzR121212 * ( )( )ROC:x nx nXz XzRR，包括 * x nxn( )*( *)X zXz ( )ROC:x nX

47、 zR，* *( *),ROC:x nXzR大連理工大學(xué)702022-1-25大連理工大學(xué)71 【時(shí)域擴(kuò)展性質(zhì)時(shí)域擴(kuò)展性質(zhì)】 若：若： 則：則： 其中：其中： 【z 域微分性質(zhì)域微分性質(zhì)】 若：若： 則：則：d ( ) ROC:dX znx nzRz， ( )ROC:x nX zR，1/( ) ()ROC:kkkxnX zR， ( )ROC:x nX zR，( ), 0, knxnkxnknk 是 的整數(shù)倍不是 的整數(shù)倍大連理工大學(xué)712022-1-25大連理工大學(xué)72 【初值定理初值定理】 對(duì)于因果信號(hào)對(duì)于因果信號(hào) 則初值定理：則初值定理： 0,0 x nn0lim( )zxX z大連理工大

48、學(xué)722022-1-25大連理工大學(xué)73 z變換性質(zhì)列表變換性質(zhì)列表大連理工大學(xué)732022-1-25大連理工大學(xué)74 z變換性質(zhì)列表（續(xù)）變換性質(zhì)列表（續(xù)）大連理工大學(xué)742022-1-25大連理工大學(xué)75 【例例3.21】 【例例3.22】大連理工大學(xué)752022-1-25大連理工大學(xué)76 【例例3.22】大連理工大學(xué)762022-1-25大連理工大學(xué)77 常用常用z變換對(duì)變換對(duì)大連理工大學(xué)772022-1-25大連理工大學(xué)78 常用常用z變換對(duì)（續(xù)）變換對(duì)（續(xù)）大連理工大學(xué)782022-1-25大連理工大學(xué)793.5 離散時(shí)間離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析頻域分析大連理工大

49、學(xué)792022-1-25大連理工大學(xué)80 離散時(shí)間離散時(shí)間LTILTI系統(tǒng)的差分方程一般形式：系統(tǒng)的差分方程一般形式：式中，式中， 分別分別表示輸入項(xiàng)和輸出項(xiàng)的階數(shù)，表示輸入項(xiàng)和輸出項(xiàng)的階數(shù)， 分別分別表示輸入項(xiàng)和輸出項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)。對(duì)上式兩邊做表示輸入項(xiàng)和輸出項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)。對(duì)上式兩邊做z z變換，變換，得到：得到：由此定義系統(tǒng)函數(shù)：由此定義系統(tǒng)函數(shù)：大連理工大學(xué)80 3.5.1 3.5.1 差分方程的差分方程的z z變換與系統(tǒng)函數(shù)變換與系統(tǒng)函數(shù)00()()NMkkkka y nkb x nk,MN,kkba00( )( )NMkkkkkka z Y zb zX z00( )( )( )Mkkk

50、Nkkkb zY zH zX za z2022-1-25大連理工大學(xué)81 系統(tǒng)函數(shù)所表示的信息系統(tǒng)函數(shù)所表示的信息第一，系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以分別第一，系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以分別令上式的令上式的分子為分子為0 0和分母為和分母為0 0而得到。由系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)以及系統(tǒng)的而得到。由系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)以及系統(tǒng)的ROCROC，可以進(jìn)一步分析系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性等方面，可以進(jìn)一步分析系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性等方面的問(wèn)題的問(wèn)題。第二第二，上式反映，上式反映了了LTILTI系統(tǒng)輸入信號(hào)、輸出信號(hào)與系系統(tǒng)輸入信號(hào)、輸出信號(hào)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系。即：。即：第三，如果第三，如果在在 中中令令 ，則可以得到

51、離散時(shí)則可以得到離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（或稱為傳遞函數(shù)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（或稱為傳遞函數(shù)） ，并可并可以由此進(jìn)一步分析系統(tǒng)的頻率特性。以由此進(jìn)一步分析系統(tǒng)的頻率特性。大連理工大學(xué)81( )( )( )( )( )( )Y zH z X zh nx ny n( )H z| | 1z j(e)H2022-1-25大連理工大學(xué)82 【例例3.23】大連理工大學(xué)822022-1-25大連理工大學(xué)83 【例例3.23續(xù)續(xù)】大連理工大學(xué)832022-1-25大連理工大學(xué)84 （1 1）離散）離散時(shí)間時(shí)間LTILTI系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)的因果性判定判定性質(zhì)性質(zhì)3.163.16： 一離散時(shí)間一離散時(shí)間LTILTI系

52、統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)其系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)其系統(tǒng)函數(shù) 的的ROCROC位于位于z z平面某一圓的外面，且包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則平面某一圓的外面，且包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則該系統(tǒng)是因果的。該系統(tǒng)是因果的。性質(zhì)性質(zhì)3.173.17： 一個(gè)具有有理系統(tǒng)一個(gè)具有有理系統(tǒng)函數(shù)函數(shù) 的離散時(shí)間的離散時(shí)間LTILTI系統(tǒng)是因果的，系統(tǒng)是因果的，當(dāng)且僅當(dāng)：當(dāng)且僅當(dāng)： （a a）其）其ROCROC位于最外層極點(diǎn)外面某一圓的外面位于最外層極點(diǎn)外面某一圓的外面； 且且（b b）若）若 表示表示為為 的的多項(xiàng)式之比，則其分子的多項(xiàng)式之比，則其分子的階次不能高于分母的階次。階次不能高于分母的階次。大連理工大學(xué)84 3.5.2 LTI3.5.2

53、 LTI系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性分析( )H z( )H zz( )H z2022-1-25大連理工大學(xué)85 【例例3.243.24】 已知：已知： ，試判斷系統(tǒng)的因果性。，試判斷系統(tǒng)的因果性。 解：解：因分子階數(shù)高于分母階數(shù)，故系統(tǒng)非因果因分子階數(shù)高于分母階數(shù)，故系統(tǒng)非因果。 【例例3.253.25】已知已知 ，試判定系統(tǒng)試判定系統(tǒng)的因果性的因果性。 解解：該該系統(tǒng)有系統(tǒng)有2 2個(gè)極點(diǎn)，個(gè)極點(diǎn)，即即 ，由于系統(tǒng)的，由于系統(tǒng)的ROCROC在最外面極點(diǎn)的外面，且在最外面極點(diǎn)的外面，且 分子分子的階次不高于分母的階次不高于分母階次，故該系統(tǒng)是因果的。階次，故該系統(tǒng)是因果的。3222( )1148zzzH zzz大連理工大學(xué)8522522( ),| 2512zzH zzzz121,22zz( )H z2022-1-25大連理工大學(xué)86 （2）離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)系統(tǒng)的的穩(wěn)定穩(wěn)定性性判定判定1 1一一LTILTI系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)其系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)其 的的ROCROC包含單位圓時(shí)，包含單位圓時(shí)，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2 2一個(gè)具有有理系統(tǒng)函數(shù)一個(gè)具