偏心厄米--高斯光束通過失調(diào)一階光學(xué)系統(tǒng)的傳輸特性

1、第13卷第5期2001年9月強(qiáng)激光與粒子束HIGHPOWERLASERANDPARTICLEBEAMS.13,No.5VolSep.,2001文章編號(hào):100124322(2001)0520533204偏心厄米-高斯光束通過失調(diào)一階光學(xué)系統(tǒng)的傳輸特性丁桂林1,呂百達(dá)2(1.洛陽師范學(xué)院物理系,河南洛陽471022;2.四川大學(xué)激光物理與化學(xué)研究所,四川成都610064)摘要:使用廣義惠更斯菲涅爾衍射積分,增廣矩陣和Wigner分布函數(shù)方法,研究了偏心厄米2高斯光束通過失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)的傳輸特性,證明了偏心厄米2高斯光束通過一階光學(xué)系統(tǒng)時(shí)保持其封閉性,光束的二階矩矩陣按通常的規(guī)律變換,一階

2、矩矩陣遵循幾何光線的變換規(guī)律,光束傳輸因子保持不變。關(guān)鍵詞:偏心厄米2高斯光束;失調(diào)非對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng);封閉性;一階矩和二階矩中圖分類號(hào):O437文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A在激光技術(shù)中,常用厄米2高斯光束描述矩形域中的多模激光。已證明,厄米2高斯光束通過非失調(diào)一階光學(xué)系統(tǒng)時(shí)保持其封閉性和形狀不變性1。激光光束通過一階光學(xué)系統(tǒng)的封閉性和形狀不變性在光束傳輸?shù)难芯恐惺鞘钟幸饬x的并受到廣泛的重視26。在光束合成中,常采用偏心光束的概念710。最近,我們證明了厄米2高斯光束在通過失調(diào)一階光學(xué)系統(tǒng)的變換時(shí)不保持其封閉性,出射光束與入射光束相比需要更多的參數(shù)加以描述,并由此引入了描述此類光束的偏心厄米2高斯光束概念11

3、。本文采用廣義惠更斯2菲涅爾衍射積分12,增廣矩陣和Wigner分布函數(shù)方法13,研究了偏心厄米2高斯光束通過失調(diào)一階光學(xué)系統(tǒng)的傳輸特性,并證明偏心厄米2高斯光束在失調(diào)一階光學(xué)系統(tǒng)的變換下保持其封閉性,光束的一階矩矩陣遵循幾何光線的變換規(guī)律,一階光學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)并不影響光束的二階矩的變換規(guī)律和光束傳輸因子(M2因子)。1偏心厄米2高斯光束通過失調(diào)一階光學(xué)系統(tǒng)的傳輸考慮一個(gè)由N個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)。整個(gè)系統(tǒng)由增廣矩陣Sa描述ABee(1)Sa=CDf=Sf00100式中:S為對(duì)應(yīng)的非失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)的44實(shí)矩陣,A,B,C和D為22對(duì)角實(shí)矩陣,0為12零矩陣,e=(ex,ey

4、)T為橫向失調(diào)量,f=(fx,fy)T為方向失調(diào)量12。令r=(x,y)T和p=(px,py)T分別表示光線位置矢量和方向矢量,由矩陣光學(xué)可寫出聯(lián)系光學(xué)系統(tǒng)出射面和入射面的光線變換方程rr(2)p=Sap1(x,y)表示出射光束的場(chǎng)分布,則E(x,y)和E(x,y)的關(guān)系用E(x,y)表示入射光束的場(chǎng)分布,E由失調(diào)光學(xué)系統(tǒng)的廣義惠更斯2菲涅爾衍射積分決定12e(x,y)=Ef2detB-)exp-dxdyE(x,yT-1-1rBA-B2r-(B-1)TDB-1rr(3)收稿日期:2001201213;修訂日期:2001206219基金項(xiàng)目:激光技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助課題(200020009,2

5、00020010)作者簡(jiǎn)介:丁桂林(19572),男,教授,博士,從事光束變換技術(shù)研究;guilinding。 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.534強(qiáng)激光與粒子束第13卷式中為失調(diào)算符,其定義為efTE(x,y)=expikefexp-ik(fxx+fyy)E(x-ex,y-ey)(4)考慮偏心厄米2高斯光束通過失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)的傳輸變換。設(shè)系統(tǒng)的入射面和入射光束的束腰在z=0的平面,此時(shí)入射光束的曲率半徑為無窮大,場(chǎng)分布的表示式為1122E(x,y)=HmHnexp-22wx

6、0式中(x0,y0)和(px0,py0)分別是光強(qiáng)峰值的位置和平均傳輸方向,與之相應(yīng)的高斯光束在x和y方向的束寬分別為wx0和wy0,在x和y方向的瑞利長(zhǎng)度分別為zRx=kwx02 2和zRy=kwy02 2。將入射光束場(chǎng)分布方程(5)代入衍射積分方程(3),可由兩種途徑得到出射光束的場(chǎng)分布。(1)利用符號(hào)計(jì)算軟件MATHMATIC4.0。其關(guān)鍵步驟是:將方程(5)中的厄米多項(xiàng)式展開,注意到分步積分方法和積分公式exp-ik(x-x0px0+(y-y0)py0wy0wx0wy0(5)-dxdye-(a+ax+ay+ax2+axy+ay2)012345=2e-a0-22aa+aa-aaa2a-4

7、aa(6)4a4a5-a23再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法。(2)直接進(jìn)行積分運(yùn)算。其關(guān)鍵步驟是:令x-x0=wx00=,y-ywy0(7)運(yùn)用如下積分公式(x,y)=E-exp-Hn(x)dx=2uwxn 22u(1-2u)Hn(1-2u)1(8)無論是由上述那一種途徑,經(jīng)過積分和化簡(jiǎn)運(yùn)算后,都可得到出射光束的場(chǎng)分布為wxwyHmHn(wy=exp-exp-22ik+(x-x)px+(y-y)py2Rx2Rywx-2wyexpi(m+)tan-1()+i(n+2ZRxzRj=AjzRj0wj=wj02-2(a2j+bjzRj)tan-1()2zRy(9)其中22-2-2(ajcj+bjdjzRRj=(aj

8、+bjzRj) j),(j=x,y)TT(x,y,px,py,1)=Sa(x0,y0,px0,py0,1)(10)(11)式中:(x,y)和(px,py)分別是出射光束的光強(qiáng)峰值位置和傳輸方向;wx,wy;Rx,Ry和zRx,zRy分別為相應(yīng)的高斯光束在x和y方向的束寬、等位相面曲率半徑和瑞利長(zhǎng)度。方程(9)(11)表示,當(dāng)偏心厄米2高斯光束通過失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)變換時(shí),出射光束仍然是偏心厄米2高斯光束,其光束參數(shù)完全由入射光束的參數(shù)和失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)決定。因此,給定任一偏心厄米2高斯光束和失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng),總有且僅有一偏心厄米2高斯光束與之對(duì)應(yīng),也就是,在失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系

9、統(tǒng)的變換下,偏心厄米2高斯光束保持其封閉性。這一結(jié)論拓寬了光束封閉性的條件,由光束在非失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)的變換下的封閉性拓寬到在失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng) 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第5期丁桂林等:偏心厄米2高斯光束通過失調(diào)一階光學(xué)系統(tǒng)的傳輸特性535變換下的封閉性。2偏心厄米2高斯光束的一階矩、二階矩的變換規(guī)律和傳輸因子利用Wigner分布函數(shù)可得出偏心厄米2高斯光束的一階矩和二階矩。相干光束的Wigner分布函數(shù)的定義如下13W(x,y,px,py)=-E(x-x 2,y-y

10、 2)E(x+x 2,y+y 2)(12)exp-)dxik(pxx+pyydy由Wigner分布函數(shù)為權(quán)重的一階矩和二階矩矩陣的定義分別是13T=W(x,y,px,py)dxdydpxdpy(=x,y,px,py)I-(13)(14)(15)(-)T=V=(-II=W(x,y,p,p)dxdydpdp-)(-)TW(x,y,px,py)dxdydpxdpy(-xyxy-將方程(9)帶入方程(12),利用方程(13)(15),略去中間冗長(zhǎng)的積分計(jì)算過程,最后得到出射面處偏心厄米2高斯光束的一階矩和二階矩矩陣分別為=S0+V=SV0SefT(16)0=x0yTpx0py0wV0=x0(18)2(

11、2m+1) 4000(19)20wy4000(2n+1) 2200(2m+1) kwx0022000(2n+1) kwy分別是入射厄米2高斯光束的一階矩矩陣和二階矩矩陣。方程(16)和(17)給出了偏心厄米2高斯光束通過失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)變換時(shí)其一階矩矩陣和二階矩矩陣的變換規(guī)律。我們看到,當(dāng)偏心厄米2高斯光束通過失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)變換時(shí),其二階矩矩陣與厄米2高斯光束通過非失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)時(shí)的變換規(guī)律相同,其一階矩矩陣遵循幾何光線通過該系統(tǒng)的變換規(guī)律。一階矩表示光束在近場(chǎng)或空間域的重心,表示光束在遠(yuǎn)場(chǎng)或空間2頻率域的重心。由方程(18)看出,偏心厄米2高斯光束的一階矩矩陣遵循幾何光

12、線的變換規(guī)律。由于這一原因,不可能僅用空間域的坐標(biāo)變換使得偏心厄米2高斯光束變?yōu)槎蛎?高斯光束。為了深刻理解這一點(diǎn),我們考察偏心厄米2高斯光束通過自由空間的傳輸。當(dāng)偏心厄米2高斯光束在自由空間傳輸時(shí),方程(16)簡(jiǎn)化為(20)x=x0+zpx0,y=y0+zpy0(21)px=px0,py=py0光強(qiáng)分布峰值的位置分布在方程(16)決定的直線上,該直線被定義為光強(qiáng)峰值軸8,光束的傳輸方向平行于該軸,在垂直于光強(qiáng)峰值軸的任一平面上,光束光強(qiáng)分布不是厄米2高斯高斯分布。由方程(17)可以得到,當(dāng)偏心厄米2高斯光束通過失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)變換時(shí),存在傳輸不變2量Meff因子M2eff=2k4det

13、V=(2m+1)(2n+1)(22)2它與厄米2高斯光束通過非失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)時(shí)的Meff因子相同。由以上的討論可知,一階光學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)對(duì)二階矩的變換規(guī)律和光束傳輸因子(M2因子)沒有影響,對(duì)光束的一階矩產(chǎn)生了作用,使得一階矩的變換遵循幾何光線的變換規(guī)律。顯然,偏心厄米2高斯光束通過非失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)的變換是本文的特殊情況,只要一階光 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.536強(qiáng)激光與粒子束第13卷學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)量都是零,本文各方程的相應(yīng)形式都是成立的,因此,偏心厄米2高斯光束在

14、失調(diào)或非失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)的變換下總是保持其封閉性。3結(jié)論由廣義的惠更斯-菲涅爾衍射積分出發(fā),利用增廣矩陣和Wigner分布函數(shù)方法,研究了偏心厄米2高斯光束通過一階光學(xué)系統(tǒng)的傳輸變換特性。證明了偏心厄米2高斯光束在失調(diào)或非失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)的變換下保持其封閉性。這一結(jié)果的意義在于對(duì)光束保持封閉性的認(rèn)識(shí)從非失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)拓展到失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng),并對(duì)光束合成的研究十分有意義。參考文獻(xiàn):1SiegmanAE.LasersM.Oxford:OxfordUniversity.Press,1986.2GoriF,GuattariG.AnewtypeofopticalfieldsJ.

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18、,10Lu11丁桂林,呂百達(dá).厄米2高斯光束通過失調(diào)非對(duì)稱一階光學(xué)系統(tǒng)的傳輸特性和偏心厄米2高斯光束J.中國(guó)激光,待發(fā)表.(DingGBD.PropagationofHermite2Gaussianbeamsthroughamisalignedfirst2orderopticalsystemanddecenteredHermite2GaussianL,Lu.ChineseLaser,tobepublished)neams12NazarathyM,HardyA,ShamirJ.Misalignedfirst2orderoptics:canonicaloperatorTheoryJ.JOptSoc

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