三垂線定理及其逆定理

1、三垂線定理及其逆定理知識(shí)點(diǎn)：1. 三垂線定理；2. 三垂線定理的逆定理；3. 綜合應(yīng)用；教學(xué)過(guò)程：1三垂線定理：平面內(nèi)一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線就和這條斜線垂直；已知： PA, PO 分別是平面的垂線和斜線， AO 是 PO 在平面的射影 , a, aAO 。求證： aPO ；證明：Pa說(shuō)明：AO（1）線射垂直（平面問(wèn)題）線斜垂直（空間問(wèn)題）；（2）證明線線垂直的方法：定義法；線線垂直判定定理；三垂線定理；（3）三垂線定理描述的是PO(斜線 ) 、 AO(射影 ) 、a( 直線 ) 之間的垂直關(guān)系。（4）直線 a 與 PO 可以相交，也可以異面。（5）三

2、垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。例 1. 已知 P 是平面 ABC 外一點(diǎn)， PAABC , ACBC 。P求證： PCBC 。ACB例 2. 已知 PA正方形 ABCD 所在平面， O 為對(duì)角線 BD 的中點(diǎn)。求證： POBD,PCBD 。PADOBC三垂線定理和逆定理第1頁(yè)共5頁(yè)例 4. 在正方體AC1中，求證： 111 ；ACB1D1 , ACBC2寫(xiě)出三垂線定理的逆命題，并證明它的正確性；命題：已知：求證：證明：說(shuō)明：例 2在空間四邊形 ABCD中，設(shè) ABCD, ACBD 。求證：（1） ADBC ；（2）點(diǎn) A 在底面 BCD上的射影是BCD 的垂心

3、；C1D 1A1B1DCABPaAOABDC三垂線定理和逆定理第2頁(yè)共5頁(yè)例 3. 求證 : 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上已知：求證：PBE AOCF說(shuō)明：可以作為定理來(lái)用。例 5已知： Rt ABC 中，A, AB3, AC4 ，PA是面 ABC 的斜線，PABPAc。23(1) 求 PA與面 ABC所成的角的大小 ;(2) 當(dāng) PA的長(zhǎng)度等于多少的時(shí)候，點(diǎn) P 在平面 ABC內(nèi)的射影恰好落在邊 BC上；PBAC三垂線定理和逆定理第3頁(yè)共5頁(yè)作業(yè)：1. 正方體 ABCDA1B1C1 D1 , E, F 分別是 A1 A, AB 上的點(diǎn)

4、 , EC1EF .求證: EFEB1 。P2. 已知： PA平面 PBC ， PBPC,M 是 BC 的中點(diǎn)。求證： BCAM ；C3. 填空并證明：A，在底面 BCD上的射影是底面（1）在四面體 ABCD中，對(duì)棱互相垂直則 AMBCD的心。B（2）在四面體 ABCD中，AB、互相垂直，則 A 在底面 BCD上的射影是底面 BCD的心則在底面上的射影是底面的心。（3）在四面體ABCD中，AAB=AC=AD、BCDBCD（4）在四面體ABCD中，頂點(diǎn)A到的距離相等 ，則A在底面上的射影是底面BC CD DBBCDBCD的心。4. 正方體ABCDA1B1C1 D1中棱長(zhǎng) a ，點(diǎn)P在上，Q在1 上， AP BQa，ACBC（1）求直線 PQ與平面 ABCD所成角的正切值；（2）求證： PQAD5. 在正方體ABCDA1B1 C1 D1 中，設(shè) E 是棱 AA1 上的點(diǎn)，且 A1E : EA上的點(diǎn)，1: 2 ，F(xiàn)是棱 ABC1EF2。求 AF：FB。6. 點(diǎn) P 是 ABC 所在平面外一點(diǎn)，且 PA平面 ABC。若 O和 Q分別是ABC和PBC的垂心，試證： OQ平面 PBC。7. 已知EAF 在平