排列組合二項式定理章節(jié)復(fù)習(xí).

1、同步教育信息 】. 本周教學(xué)內(nèi)容： 排列、組合、二項式定理章節(jié)復(fù)習(xí). 本周教學(xué)重、難點：1. 分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理2. （ 1）排列 （ 2）排列數(shù)公式3. （1）組合 （ 2）組合數(shù)公式 （3）組合數(shù)性質(zhì)4. 二項式定理（1）（2）（3）二項式系數(shù)的性質(zhì)【典型例題】例 1 某同學(xué)有若干本課外參考書，其中外語5 本，數(shù)學(xué) 6 本，物理 2本，化學(xué) 3 本，他欲帶參考書到圖書館看書。（ 1）若從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法？ （2）若外語、數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)參考書各帶一本，有多少種不同的帶法？（3）若從這些參考書中選 2 本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，有多少種帶法？解： （

2、 1）要完成的事是“帶一本參考書”，由于無論帶哪一學(xué)科的任何一本參考書都 完成了這件事， 因此是分類問題， 應(yīng)用加法原理得（ 種）不同的帶法； （ 2）要完成的事是“外語、數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)參考書各帶一本”，因此，選一種學(xué)科中的一本書 只完成了這件事的一部分， 只有幾種學(xué)科的書都選定了以后， 才完成這件事， 因此是分步計 數(shù)問題，應(yīng)用乘法原理，有 （種）不同的帶法；（ 3）要完成的事是“帶 2 本不同學(xué)科的參考書”，因此要分情況考慮，即先考慮是帶哪兩個學(xué)科的書，如帶外語、 數(shù)學(xué)各一本， 則選一本外語書或選一本數(shù)學(xué)書都只完成了這一件事的一部分，因此要用乘法原理，即有 種選法。同樣地，若選外語、物理

3、各一本，有種選法。選外語、化學(xué)各一本有種選法 , 從而上述每種選法都完成了這件事。因此這些選法種數(shù)之間還應(yīng)運用加法原理，共有（種）不同的帶法。例 2 7 名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學(xué)生 4人，女學(xué)生 2人，在下列情況下，各有多少種不同站法？（ 1）兩名女生必須相鄰而站；（ 2）4 名男生互不相鄰；（ 3） 若 4 名男生身高都不等，按從高到低的順序站；（4）老師不站中間，女生不站兩端。解：（1）2 名女生站在一起有站法種，視為一種元素與其余 5 人全排，有 種排法，所以有不同站法 （種）；（ 2）先站老師和女生，有站法種，再在老師和女生站位的間隔（含兩端）處插入男生，每空一人，則

4、插入方法 種，所以共有不同站法而由高到低有從左到右， 中間和兩側(cè)是特殊位置，種） ；（3）7人全排列中， 4 名男生不考慮身高順序的站法有種，或從右到左的不同，所以共有不同站法 （種）； （ 4） 可如下分類求解： 老師站在兩側(cè)之一，另一側(cè)由男生站，有種站法； 兩側(cè)全由男生站，老師站除兩側(cè)和正中的另外 4 個位置之一，有 種站法，所以共有不同站法 （種）。 （ 1）要求某些元素相鄰，可用“捆綁法”；（2）要求某些元素不相鄰，可用“插入法”，某些元素順序一定也可以采用“插入法”，譬如（3）中可先排兩名女生和老師有 種方法，然后將 4 名男生插入所形成的四個空格中有兩種插入法，于是共有站法 （種）

5、。例 3 用0，1，2，,， 9十個數(shù)字可組成多少個滿足以下條件的沒有重復(fù)數(shù)字的：（1）五位奇數(shù)；（ 2）大于 30000 的五位偶數(shù)？解： （1）要得到五位奇數(shù)，末位應(yīng)從 1，3，5，7，9 五個數(shù)字中取，有 5 種取法，取 定末位數(shù)字后， 首位就有除這個數(shù)字和 0 之外的 8 種不同取法。 首末兩位取定后， 十個數(shù)字 還有八個數(shù)字可供中間的十位，百位與千位三個數(shù)位選取，共有 種不同的安排方法。因 此由分步計數(shù)原理共有 個沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)；（ 2）要得偶數(shù)， 末位應(yīng)從 0，2，4，6，8中選取，而要得比 30000 大的五位偶數(shù)，可分兩類： 末位數(shù)字 從 0，2 中選取，則首位可取 3

6、、4、5、6、7、8、9 中任一個，共 7種選取方法，其余三個 數(shù)位就有除首末兩個數(shù)位上的數(shù)字之外的八個數(shù)字可以選取，共 種取法。所以共有5、6、 7、 8、9種不種不同情況。 末位數(shù)字從 4，6， 8中選取，則首位應(yīng)從 3、 4、 中除去末位數(shù)字的六個數(shù)字中選取， 其余三個數(shù)位仍有 種選法， 所以共有 同情況。由分類計數(shù)原理，共有 （個）比 30000 大的無重 復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)。 例 4 將 個不同的小球放入 個不同的盒子中，要使每個盒子都不空，共有多少種放 法？解： 先將個球排成一排，共有 種排法，再在它們之間插入隔板，以表示它們放入不同的盒子中，由于不能出現(xiàn)空盒，因此，必須用 塊隔板分

7、別插在它們兩兩之 間的 個間隔中的 個之中，故有 種不同的插法。又因為放入同一個盒子的兩個球無 順序之分，所以一共有 （種）不同的放法。例 5 要從 12 人中選出 5人參加一項活動，按下列要求，有多少種不同的選法？（ 1）A 、 B、C 三人必須入選；（ 2）A、B、C 三人不能入選；（ 3）A 、B、C 三人只有一人入選； （4）A、B、C 三人至少一人入選；（ 5） A 、B、C 三人至多兩人入選。解： （1）只需再從 A、B、C 之外的 9人中選擇 2 人，所以有 （種）不同選 法；（ 2）由于 A、 B、 C 三人都不能入選，所以只能從余下的9 人中選擇 5 人，即有（種）選法；（

8、3）可分兩步：先從 A 、B 、 C 三人中選出一人，有種選法，再從其余的 9人選擇 4 人，有 種選法。所以，共有（種）選法； （4）直接法，可分三類： A 、B 、C 三人只選一人，則還需從其余 9 人中選擇 4 人，有 選法； A 、 B 、C 三人中選擇二人，則還需從其余 9 人中選擇 3 人，有 （種）選法； A、B、C 三人都入選，則只需從余下的 9 人中選擇 2 人， 有（種）選法。 由分類計數(shù)原理， 共有 （種） 不同選法。間接法：先從 12 人中任選 5 人，再減去 A 、B 、C 三人都不入選的情況， 共有（種）選法；（ 5）直接法，可分三類： A 、B、C 三人均不入選，

9、有種選法。 A、B、C 人中選一人，有種選法。 A、 B、C 三人中選二人，有種選法。由種）選法。間接法：先從 12 人中任選分類計數(shù)原理，共有5 人，再減去 A 、B 、C 三人均入選的情況，即（種）選法。例6 用0，1，2，3，, ， 9這十?dāng)?shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個奇數(shù)數(shù)字與兩個偶數(shù)數(shù)字 的五位數(shù)有多少個？解法一： 考慮 0 的特殊要求，如果對 0 不加限制，應(yīng)有種，其中 0 居首位的有 種。故符合條件的五位數(shù)共有 （個）。解法二： 按元素分類，奇數(shù)字有 1，3，5， 7，9；偶數(shù)字有 0，2， 4，6，8。把從五個 偶數(shù)中任取兩個的組合分成兩類： 不含 0 的； 含 0 的。 不含

10、0 的，由三個奇數(shù)數(shù) 字和兩個偶數(shù)數(shù)字組成的五位數(shù)有 個。 含 0 的，這時 0 只能排在除首位以外的 四個數(shù)位上，有 種排法，再選三個奇數(shù)數(shù)字與一個偶數(shù)數(shù)字放在其他數(shù)位上，共有種排法。綜合和，由分類計數(shù)原理，符合條件的五位數(shù)共有（個）。的展開式中的常數(shù)項；（ 2）求展開式中的 例 7 （ 1）求二項式 有理項。解： （1）設(shè)第項為常數(shù)項，則。，所以。所以第 9 項為常數(shù)項，其值為2）展開式中的有理項 ，就是通項 公式中 的指 數(shù)為整 數(shù)的項，因 為， ；當(dāng)。 令 ， 即 且，所以或 9。當(dāng)時，時， ， 。所以 的展開式中的有理項為： 第 4 項， ；第 10 項， 。例 8 已知。（1）若展

11、開式中第 5項，第 6 項與第 7 項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；（2）若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求 展開式中系數(shù)最大的項。時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是 和 。所以 的系數(shù)解：（1）因為， 所以。因為 或 ，當(dāng)，的系數(shù) 。當(dāng) 時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是 。所以 的系 數(shù)；（2）因為，所以 或 （舍去） 。所以設(shè) 項的系 數(shù)最 大 。因為 ， 。，又因為且， 所以。所以展開式中系數(shù)最大的項為。 例 9 求和：。解：原式【模擬試題】 （答題時間： 60 分鐘）一. 選擇題1. 四對夫妻坐一排照相，每對夫妻都不能隔開坐，則不同的坐法種數(shù)為（ ）A

12、. 24 B. 16 C. 384 D. 11522. 要排一個有 5 個獨唱節(jié)目和 3 個舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不排頭，并且任何 兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同的排法種數(shù)是（ ）3. 五名旅客在 3 家旅店投宿的方法有（）A. 種 B. 種C. 15 種D. 8 種4. 等于（ ）A. 99 B. 4104C. 8109D. 8856A.B.C.5. 95 件產(chǎn)品中有 5件是次品，從中取 4件，至少有 3件次品的取法有（）種。D.6. 把 4 個互不相同的小球平均分成兩份，則分法總數(shù)為（ ）A. 12B. 6 C. 4 D. 37. 設(shè) ，則 的反函數(shù) 等于（ ）A. B. C. D.8

13、. 精確到 的近似值為（ ）A.B.C.D.二. 解答題1. 求的展開式中含的項。2. 把 4 個男同志和 4 個女同志均分成 4 組，到 4 輛公共汽車?yán)飬⒓邮燮眲趧樱绻瑯?兩人在不同汽車上服務(wù)算作不同情況。（ 1）有幾種不同的分配方法？ （2）每個小組必須是一個男同志和一個女同志，有幾種不同的分配方法？ （3）男同志和女同志分別分組，有幾種不同的分配方法？3. 解不等式：4. 某年級開設(shè)語文、政治、外語、體育、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)七門課程，依下列條件課程 表有多少種不同排法？（ 1）一天開設(shè)七門不同課程，其中體育不排在第一節(jié)也不排在第七節(jié)；（2）一天開設(shè)四門不同課程，其中體育不排在第一節(jié)也

14、不排在第四節(jié)。試題答案】. 選擇題1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. D 7. A 8. D. 解答題1. 解：而 的通項為的通項為 的通項為令 且 ， 或 或 或 或 或2. 解：（ 1）男女合在一起共有 8人，每輛車上 2 人，可以分四個步驟完成，先安排 2 人 上第一輛車，共有 種，再上第二輛車共有 種，再上第三輛車共有 種，最后上第四 輛車共有 種。這樣不同的分配方法， 按分步計數(shù)原理， 有 （種）。（2）要求男女各 1 人，因此先把男同志安排上車，共有種不同方法。同理，女同志也有 種方法，由分步計數(shù)原理，有 種。3）男女分別分組，3 種，這樣分組方法就有3. 解：原不等式可化為4 個男的平分成兩組共有種，4 個女的分成兩組也有種，因而不同的分配方法為 種。，即，所。所以 ，又 ，所以 且 為整數(shù)。所以原不等式的解集為 。4. （1）解法一：從元素考慮，先滿足體育后再安排其他課程，從 26 節(jié)中任取一節(jié)排 體育有 種排法