武漢科技大學(xué)2010-2011-2線性代數(shù)A卷試題及答案解讀

1、學(xué)院: 專業(yè):班級:姓名:學(xué)號:2010-2011-2線性代數(shù)期末試卷 (本科 A一、單項選擇題 (每小題 3分,共 15分1. 設(shè) , A B 為 n 階矩陣,下列運算正確的是 ( 。 A. ( ; k k k AB A B = B. ; A A -=-C. 22(; A B A B A B -=-+ D. 若 A 可逆, 0k 則 ,111( kA k A -=;2. 下列不是向量組 12, , , s ? 線性無關(guān)的必要條件的是 ( 。A . 12, , , s ? ?都不是零向量 ;B. 12, , , s ? ?中至少有一個向量可由其余向量線性表示 ; C. 12, , , s ?

2、? 中任意兩個向量都不成比例 ; D. 12, , , s ? ? 中任一部分組線性無關(guān) ;3. 設(shè) A 為 m n ?矩陣,齊次線性方程組 0AX =僅有零解的充分必要條件是 A 的 ( 。A . 列向量組線性無關(guān) ; B. 列向量組線性相關(guān) ; C. 行向量組線性無關(guān) ; D. 行向量 組線性相關(guān) ;4. 如果( ,則矩陣 A 與矩陣 B 相似。A. A B =; B. (r A r B =; C. A 與 B 有相同的特征多項式 ;D. n 階矩陣 A 與 B 有相同的特征值且 n 個特征值各不相同 ;5. 二次型 (222123123(, , (1 1f x x x x x x-+,

3、當(dāng)滿足= ( 時, 是正定二次型A. 1 -> B. 0 > C. 1 > 。D. 1 、填空題 （每小題 3分,共 15分6. 設(shè) 300140003A ?= ? ?,則 (12A E -=;7. 設(shè) (, 1,2 ij A i j = 為行列式 2131D = 中元素 ij a 的代數(shù)余子式 , 則11122122A A A A =;8. 10020110001014000120110301?0? ? ? ? ? ? -?9. 已知向量組 123, , 線性無關(guān) , 則向量組 122313, , -的秩為 ;10. 設(shè) A 為 n 階方陣, A E 且, (3R A E

4、R A E n +-=, 則 A 的一個特征值 =三、計算題 (每小題 10分,共 50分11. 設(shè) (111122220+aa A a n n n n a +? ? +=? ?,求 A 。12. 設(shè)三階方陣 A , B 滿足方程 2A B A B E-=, 試求矩陣 B 以及行列式 B ,其中102 030 201 A? ? = ?-? 。13. 已知111 011 001 A-? -? , 且滿足 2A AB E-=,其中 E為單位矩陣 ,求矩 陣 B14. 取何值時 ,線性方程組 1231231232124551-=? +-+=? +-=-? 無解 ,有唯一解或有無窮多解?當(dāng)有無窮多解時

5、 ,求通解。15. 設(shè) (12340, 4, 2, (1,1,0,(2, 4,3, (1,1,1 - =-, 求該向量組的秩 和一個極大無關(guān)組。 學(xué)院:專業(yè):班級:姓名:學(xué)號: 四、解答題 (10 分16. 已知三階方陣 A 的特征值 1, 2, 3對應(yīng)的特征向量分別為1 , 2 , 3。其中 :(11,1,1T =, (1, 2, 4T24,證明向量組 12354, , ,-的秩為 4 =, (31,3,9T=, ( 1,1,3T 。 (1 =將向量 用1,2,3線性表示 ; (2 求 n A ,五、證明題 (每小題 5分,共 10分17. 設(shè) A 是 n 階方陣 ,且 (R A R A E

6、 n +-=, A E 證;明:0Ax =有非 零解18. 已知向量組 (I 123, ,的秩為 3,向量組 (II 1234, , ,的秩為 3, 向量組(III 1235, , ,的秩為武漢科技大學(xué)2010-2011-2線性代數(shù)期末試卷 (本科 A解答與參考評分標(biāo)準(zhǔn)一、單項選擇題 (每小題 3分,共 15分1. 設(shè) , A B 為 n 階矩陣,下列運算正確的是 ( D 。 A. ( ; k k k AB A B = B. ; A A -C. 22(; A B A B A B -=-+ D. 若 A 可逆, 0k 則 ,111( kA k A -=; 2. 下列不是向 量組 12, , ,

7、s ?線性無關(guān)的必要條件的是 ( B 。A . 12, , , s ? ?都不是零向量 ;B. 12, , , s ? ?中至少有一個向量可由其余向量線性表示 ; C. 12, , , s ? ? 中任意兩個向量都不成比例 ; D. 12, , , s? ? 中任一部分組線性無關(guān) ;3. 設(shè) A 為 m n ?矩陣,齊次線性方程組 0AX =僅有零解的充分必要條件是 A 的 ( A 。A . 列向量組線性無關(guān) ; B. 列向量組線性相關(guān) ; C. 行向量組線性無關(guān) ; D. 行向量 組線性相關(guān) ; 4. 如果( D ,則矩陣 A 與矩陣 B 相似。A. A B =; B. (r A r B =

8、; C. A 與 B 有相同的特征多項式 ;D. n 階矩陣 A 與 B 有相同的特征值且 n 個特征值各不相同5. 二次型 (222123123(, , (1 1f x x x x x x-+, 當(dāng)滿足= ( C 時 , 是正定二次型 .A. 1 -> B. 0 > C. 1 > 。D. 1 二、填空題 (每小題 3分,共 15分6. 設(shè) 300140003A ? ?= ? ?,則 (12A E -=10011022001? ? -? ?; 7. 設(shè) (, 1,2 ij A i j = 為行列式 2131D =中元素 ij a 的代數(shù)余子式 , 則111221A A A A

9、 =;8. 10020110001014000120110301?0? =210104350?9.已知向量組 123, , 線性無關(guān) ,則向量組 122313, , -的秩為 10. 設(shè) A 為 n 階方陣, A E 且, (3R A E R A E n +-=, 則 A 的一個特征值=三、計算題 (每小題 10分,共 50分11. 設(shè) (111122220+aa A a n n n n a +? ? + ? =? ? ,求 A 。解:11111111011110002222000+00a a A a a nnn an a+-=+-5分 111111000(1 10002000ni nn n

10、n i i aa i n n a a a a a a=-=+?=+=+ ? 10分 12. 設(shè)三階方陣 A , B 滿足方程 2A B A B E -=, 試求矩 陣 B 以及行列式 B , 其中102030201A ? ? = ? ? -?解:由 2A B A B E -=, 得 (2A E B A E -=+, 即(3分A E A E B A E +-=+由于 202040202A E ?+= ? ? -? , 320A E += ,002020200A E ? ?-= ? ? -?, 80A E -=,6分(111100200110200102200100B A E A E A E A

11、E ? ? =-+=-= ? ? ? ?-?, . . . . 8 分 所以 B1分013. 已知 111011001A -?-?,且滿足 2A AB E -=,其中 E 為單位矩陣 ,求矩陣 B解:因為 1112分01110001A -=-,所以 A 可逆 ,由 2A AB E -=, 得 2A E AB -=, 故 (121A A E A AB -=, 即 1A A B -=, . . . . 4 分 不難求出 1112011001A -?= ? ? -?8分因此 1111112021011011000001001000B A A ? ? ? ? ? ? -?10分14. 取何值時 , 線

12、性方程組 1231231232124551x x x x x x x x x-=? +-+=? +-=-? 無解, 有唯一解或有無窮多解 ?當(dāng) 有無窮多解時 ,求通解。解:由于方程個數(shù)等于未知量的個數(shù) ,其系數(shù)行列式(2211154154455A -=-=-=-+; 3 分1. 當(dāng) 45=-時,有 (42115104555, 11245510400094551A b r? ? - ? -? ? ? ? =- ? ? ? ? - ? ?, (2, 3R A R A b = 原方=程, 組無解 ; 5分 2.當(dāng) 1=時 ,有 (211103331001, 111211120111455109990

13、000A b r r -?= ? ? ? ? ? ? ? , 所以原方程的通解為 1230111, 10x x k x? ? ? ?=+- ? ? ? ? ? ? 8分3. 當(dāng) 41, 5- 時 ,方程組有唯一解。 1分015. 設(shè) (12340, 4, 2, (1,1,0,(2, 4,3, (1,1,1-=-,求該向量組的=秩=和一個極大無關(guān)組。 解:(2134102110211021144104620462023102310000T T T TA - ? ? ?= ? ? ? ? ? ?所以向量組的秩為 2, 8 分 因為任意兩個向量均不成比例所以任意兩個向量都是該向量組的一個極大無關(guān)組1

14、0分 四、解答題 (10分16. 已知三階方陣 A 的特征值 1, 2, 3對應(yīng)的特征向量分別為 1, 2 ,3。其中:(11,1,1T =, (21, 2, 4T=, (31,3,9T=, (1,1,3T=。 (1將向量 用 1, 2 ,線 3性表示; (2求 n A , 為n 自然數(shù)。 解:(1把 用 123, , 線性表示,即求解方程112233x x x +=11111111100123101200102149300110011r ?r ?- ? ? ? ? ? ?故 12322-+ 。=5-+=-+ =(2 (1231232222n n n n n A A A A A? +11211

15、122331233222322223223. 223n n n n n n n n n n n-+=-+=-+=-+ ? ? -+?10分 五、證明題 (每小題 5分,共 10分17. 設(shè) A 是 n 階方陣,且 (R A R A E n +-=, A E 證;明:0Ax =有非零解。 證 明:(01A E A E R A E ?-? -, 分 2(1R A R A E n R A n R A E n +-=? =- -, 4分所以 0Ax =有非零解。 分518. 已知向量組 (I 123, ,的秩為 3, 向量組 (II 1234, , ,的秩為 3, 向量組(III1235, , , 的秩為 4,證明向量組 12354, , ,-的秩為 4。證明 :向量組 123, , 的秩為 3, 向量組 1234, , , 的秩為 3, 所以 123, , 為向量 組 1234, , , 的一個極大無關(guān)組 ,因此 4可唯一的由 123, , 線性表 示; .