視覺化表征及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

1、視覺化表征及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用唐劍嵐，數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)與教學(xué) p40-4420世紀(jì)90年代以來，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的應(yīng)用，數(shù)學(xué)視覺化表征的研究一直是國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)持續(xù)探討的重要課題。了解數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)視覺化表征的內(nèi)涵和形式，探討視覺化表征在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，可以為有效的數(shù)學(xué)教學(xué)提供新的視角。一、數(shù)學(xué)表征的內(nèi)涵(一)數(shù)學(xué)表征的內(nèi)涵表征最初的含義是指信息在心理活動中的表現(xiàn)和記載的方式，也叫心理表征。隨著信息技術(shù)在教育中的應(yīng)用，人們已不再局限研究心理表征了。表征的含義得到了拓展。在教育領(lǐng)域中，表征是指可反復(fù)指代某一事物的任何符號或符號集，其本質(zhì)是學(xué)習(xí)對象的一個替代符號。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中

2、，數(shù)學(xué)表征的本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的一個替代符號。研究數(shù)學(xué)表征，需要區(qū)分外在表征與內(nèi)在表征，數(shù)學(xué)外在表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的一個替代符號。數(shù)學(xué)內(nèi)在表征是學(xué)習(xí)對象的外在表征內(nèi)化在人腦中的心理表征。它在本質(zhì)上也是外在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的一個替代符號。因?yàn)閿?shù)學(xué)對象的高度抽象性等特征，直接學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對象是難以把握和認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的，而通過學(xué)習(xí)代替數(shù)學(xué)對象的表征而間接認(rèn)識數(shù)學(xué)是一個可行的途徑。從某種意義上說，與其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的外在表征。因此，對數(shù)學(xué)外在表征的研究顯得特別重要。(二)視覺化表征的內(nèi)涵及其形式數(shù)學(xué)表征從本質(zhì)說是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的替代符號，因此可以根據(jù)表征與被表征對象的結(jié)構(gòu)相似性，數(shù)學(xué)表征可分為言語化表征

3、和視覺化表征兩類本質(zhì)不同的表征。言語化表征在本質(zhì)上是抽象符號，它是運(yùn)用言語對被表征的對象進(jìn)行相對抽象的描述。言語化表征與被表征對象之間不存在相似性或同構(gòu)性等天然的聯(lián)系，但它與約定俗成的內(nèi)容相連。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的話語文本、書寫文本、數(shù)學(xué)公式和邏輯表示等都屬于此類。譬如，a(b+c)=ab+ac、sin(A+B)=sinA+sinB，從數(shù)學(xué)意義上講，a(b+c)=ab+ac是正確的，sin(A+B)=sinA+sinB是錯誤的，因?yàn)檫@些符號又必須與數(shù)學(xué)共同體約定的內(nèi)容緊密相關(guān)。視覺化表征在本質(zhì)上是圖像符號，它主要是運(yùn)用圖元素對被表征的對象進(jìn)行相對形象的描繪。這些符號與被表征的對象在具體水平上或在某

4、些抽象水平上有天然的聯(lián)系。視覺化表征的形式有很多，譬如靜態(tài)的幾何圖形、動態(tài)的圖像、教學(xué)模型、甚至用以傳遞動作與情感經(jīng)驗(yàn)的各種手勢、表情動作，這些表征形式在外在結(jié)構(gòu)上與被表征對象的結(jié)構(gòu)具有一定程度的相似性或相關(guān)性。圖表、曲線圖(如函數(shù)圖象)、圖形組織者(如概念圖、思維導(dǎo)圖)等邏輯圖，雖然它們與被表征對象的外在結(jié)構(gòu)不具有相似性，但它們的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與被表征對象的結(jié)構(gòu)具有某種對應(yīng)關(guān)系。譬如，概念圖可用來組織概念內(nèi)部(概念本質(zhì)屬性、符號、實(shí)例)與概念外部之間的關(guān)系，以直觀、形象的方式表征概念與概念之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。下圖呈現(xiàn)了言語化表征與視覺化表征的主要區(qū)別。二、視覺化表征在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用視覺化表征描繪了具體

5、的、形象的、直觀的意義，便于人們較為快捷地視覺化數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)和意義，這些表征既是人腦右半球的功能特點(diǎn)，也是右半球發(fā)展的外在促進(jìn)。因此，視覺化表征在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，視覺化表征有很多種形式，下面主要探討靜態(tài)圖形表征、動態(tài)視覺化表征和圖形組織者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用。(一)運(yùn)用圖形表征，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，提高學(xué)習(xí)信心在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果僅僅提供學(xué)生符號化、形式化的言語化表征，常常使學(xué)生望而卻步，難以理解數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)，甚至使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。但如果將與言語化表征基本一致的圖形表征，將極大地促進(jìn)和增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。譬如，學(xué)生在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式時，如

6、果僅僅從代數(shù)符號的運(yùn)算上給出證明，學(xué)生很難理解為什么會出現(xiàn)倒序相加這種方法?但若再呈現(xiàn)如圖2的視覺化表征，學(xué)生會立刻想到，這不是求面積或計(jì)算中常用到的湊整的方法嗎? 再如，給學(xué)生講授證明不等式：，如果運(yùn)用形式化證明，也是比較簡單的，但對學(xué)生來說并不很明晰，沮喪感由此而生。若把表示為坐標(biāo)點(diǎn)(b，a)，從原點(diǎn)到(b，a)所連接的直線的斜率就是，因而從圖像上看分?jǐn)?shù)越多，直線的斜率越大。圖3是的情形，同理可證的一般情況(圖4)。平行四邊形強(qiáng)調(diào)了“中間”，并且是性質(zhì)的論據(jù)，所以給符號代數(shù)證明添加了直觀意義和說服力，增強(qiáng)了學(xué)生的理解和信心，并領(lǐng)略到數(shù)學(xué)豐富活潑的一面。(二)運(yùn)用視覺化表征，協(xié)調(diào)直覺信念，糾

7、正潛在假設(shè)大量研究表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)信念深藏在他們的行為表現(xiàn)、認(rèn)知過程、情感體驗(yàn)的背后，像一只無形的手，指引著學(xué)習(xí)過程，深刻影響著學(xué)習(xí)結(jié)果。學(xué)生的直覺信念更是一把“雙韌劍”，可以促進(jìn)學(xué)習(xí)，但也因產(chǎn)生“潛在假設(shè)”而強(qiáng)勢阻礙學(xué)習(xí)?！皾撛诩僭O(shè)”是指存在于潛意識中的，未經(jīng)證實(shí)其正確性的直覺假設(shè)，誤用潛在假設(shè)，是使學(xué)生出現(xiàn)錯誤的重要原因之一。圖形表征的本質(zhì)具有直觀的意義。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若恰當(dāng)提供圖形表征，不僅僅能夠激發(fā)學(xué)生原有的直覺，而且可以協(xié)調(diào)學(xué)生原有的直覺信念，糾正潛在假設(shè)。譬如，當(dāng)要求學(xué)生解決“設(shè)想有一線段圍繞地球(假設(shè)此地球表面是光滑的)圓周，欲在高于地球表面18m的地方放置以上所述圍繞地球的線段

8、，那么線段應(yīng)該會長出多少”這個問題時，大多數(shù)學(xué)生在計(jì)算之前都有一個潛在假設(shè)：“地球很大，需要的線段應(yīng)該會長出很多。”然而通過直接的代數(shù)表征得：，結(jié)果小于12m,，這展示了大多數(shù)人的期望和符號化表征獲得之間的差距。若這時運(yùn)用圖形表征向?qū)W生提供下面的解決方法：如圖5，高出地球表面m的線段一周，當(dāng)圍繞地球的角時，線段相當(dāng)于圍繞成一個半徑為h的圓，多出的線段都在角上，4個14圓周長構(gòu)成一個圓周，即。然后對正方形地球進(jìn)行持續(xù)地變形，使之趨向于圓形地球。對于正八邊形地球，多出的線段是在角上的弧段之和。如果把它們拼湊起來就是半徑為h的圓周。無論正八邊形大小，也無論是正多少邊形，其圓周都是一樣的(如圖6)。這

9、種解答，不僅僅在直觀上是令人信服，而且也協(xié)調(diào)了學(xué)生原有的直覺信念、為學(xué)生糾正潛在假設(shè)提供直觀機(jī)會。再如，在概率概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生頭腦中經(jīng)常存在大量諸如“代表性啟發(fā)法”和“可用性啟發(fā)法”等對學(xué)習(xí)無效的直覺信念，這些直覺信念是學(xué)生學(xué)習(xí)概率概念的一大障礙。在教學(xué)中，若運(yùn)用諸如概率游戲、樹形圖、列表、面積圖等視覺化表征，通過“問題情境一猜測結(jié)果一試驗(yàn)并收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)一分析試驗(yàn)結(jié)果一驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果一建立模型”的教學(xué)活動，將有利于協(xié)調(diào)和破除學(xué)生無效的直覺信念，幫助學(xué)生理解概率模型和樹立新的有效信念。(三)運(yùn)用動態(tài)視覺化表征，拓展思維空間、促進(jìn)思維投入一般來說，如果僅僅運(yùn)用語言表達(dá)、板書、課本上的文字等敘述性表

10、征，教師是難以傳達(dá)二維或二維以上思維空間的，即使這樣，學(xué)生也會難以理解。但如果運(yùn)用幾何畫板等“可看得見的、清楚的呈現(xiàn)”的動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)或平臺，能夠產(chǎn)生動態(tài)視覺化表征。視覺化表征，這一方面將抽象的數(shù)學(xué)思維變得具體可見、譬如立體幾何圖形與原理的形成、截面的生成，解析幾何對象的性質(zhì)、軌跡生成，概率統(tǒng)計(jì)的不確定思維的形成等；另一方面，動態(tài)地表征數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)關(guān)系卻在動態(tài)變化中保持不變。當(dāng)前，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，最常用的動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)主要是幾何畫板平臺。在這個平臺上，可以對數(shù)學(xué)對象直接進(jìn)行操作(譬如局部放大、測量、變換等)、可以通過拖動圖形的某些點(diǎn)，雖然圖形發(fā)生變化，但數(shù)學(xué)關(guān)系(如角平分

11、線性質(zhì)、橢圓的定義等)在動態(tài)聯(lián)系中保持不變，這個不變的性質(zhì)實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)公式、定理等。譬如，高中立體幾何的教學(xué)是個難點(diǎn)，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)經(jīng)常依靠立體的幾何模型展開，配合教師的手勢表征來幫助學(xué)生理解復(fù)雜的空間的幾何關(guān)系，但這是有一定困難的。如給學(xué)生解釋清楚正方體被一個平面所截得到的截面的可能形狀，就難以演示。但如果借助幾何畫板、立體幾何畫板等課件，隨意拖動某個圖形上的點(diǎn)進(jìn)行放大、縮小、旋轉(zhuǎn)等對圖形進(jìn)行多維度的幾何變換，從而使空間圖形間的幾何關(guān)系一目了然，這不僅拓展了學(xué)生的思維空間，還因?yàn)閳D形變化生動、形象、有趣，促進(jìn)學(xué)生更多的思維投入。(四)運(yùn)用圖形組織者、豐富知識結(jié)構(gòu)、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)

12、知識結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦中的反映。優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)既是學(xué)會數(shù)學(xué)的必要條件，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的必然結(jié)果。腦科學(xué)研究表明，人腦通過它的感覺系統(tǒng)一視覺、聽覺、嗅覺、觸覺、味覺一將外部世界咬碎，大口大口地吞咽；然后，被消化過后的世界，以腦細(xì)胞間無數(shù)的神經(jīng)聯(lián)結(jié)的形式重新組合，存放起來。這些神經(jīng)聯(lián)結(jié)一直不斷地生長或消失，變得更強(qiáng)或更弱，而這些變化取決于這一頓盛宴的豐富程度。也就是說，要想使學(xué)生形成優(yōu)化的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必然需要豐富、且組織良好的知識結(jié)構(gòu)。在傳統(tǒng)教學(xué)中，常常運(yùn)用過多的言語化表征，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也常常表現(xiàn)為：知識點(diǎn)單一、孤立、破碎、缺乏聯(lián)系，缺失生長點(diǎn)。若運(yùn)用概念圖、思維導(dǎo)圖、故事地圖、魚骨圖等圖形組織者，將極大地改善這種情況。圖形組織者是凸顯知識結(jié)構(gòu)的一種視覺化表征，能夠形象地說明一個概念或過程的各個組成部分及其相互之間的關(guān)系。這樣能夠讓學(xué)生既使用左腦也使用右腦，既以語言表征又以圖像表征信息。大量的研究表明，在教學(xué)過程中，運(yùn)用圖形組織者能幫助學(xué)生澄清各種關(guān)系，組織自己的想法，形成計(jì)劃或步驟；使學(xué)生積極地使用排序、比較、分類、分析和問題解決等策略；當(dāng)學(xué)生被要求修改有組織的信息結(jié)構(gòu)時，他們會從自己的錯誤中學(xué)習(xí)；圖形組織者還允許就彼此的聯(lián)系有根據(jù)是否來交流觀點(diǎn)，幫助