實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣課件

1、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息系中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息系第五章第五章 矩陣的特征值矩陣的特征值 與特征向量與特征向量實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為復(fù)復(fù)向向量量的的特特征征值值為為對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xA 定理定理1 1對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .證明證明. 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xAxA 則則 .xxAx 一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)說(shuō)明說(shuō)明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)明，均指明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣, 的的表示表示xx共共軛軛復(fù)復(fù)向向量量實(shí)對(duì)

2、稱矩陣的相似矩陣于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x但因?yàn)榈驗(yàn)?, 0 , 即即.是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所所以以實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣定理定理1 1的意義的意義.,0,0)( , 以以取取實(shí)實(shí)向向量量從從而而對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可系系知知必必有有實(shí)實(shí)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解由由是是實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)方方程程組組線線性性方方程程組組所所以以齊齊次次為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的特特征征值值由由于于對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 EAxEAAiii 實(shí)對(duì)稱矩陣的

3、相似矩陣證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對(duì)對(duì)稱稱 TTApp111 AppTT111 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT., 21212121正正交交與與則則若若是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量的的兩兩個(gè)個(gè)特特征征值值是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)ppppA 定理定理5.95.9，得得等等式式兩兩邊邊左左乘乘以以2p實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣它們的重?cái)?shù)依次為它們的重?cái)?shù)依次為srrr,21).(21nrrrs 根據(jù)上述定理可得：根據(jù)上述定理可得：證明證明,21s 設(shè)設(shè) 的互不相等的特征值為的

4、互不相等的特征值為A. ,)( , , 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量恰有恰有對(duì)應(yīng)特征值對(duì)應(yīng)特征值從而從而的秩的秩則矩陣則矩陣重根重根的特征方程的的特征方程的是是階對(duì)稱矩陣階對(duì)稱矩陣為為設(shè)設(shè)iiiiiiirrnAERAErAnA 定理定理. , 1素素的的對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣個(gè)個(gè)特特征征值值為為對(duì)對(duì)角角元元的的是是以以其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)nAAPPPnA 定理定理5.10實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣.,r ), 2 , 1( ii單單位位正正交交的的特特征征向向量量個(gè)個(gè)即即得得把把它它們們正正交交化化并并單單位位化化關(guān)關(guān)的的實(shí)實(shí)特特征征向向量量個(gè)個(gè)

5、線線性性無(wú)無(wú)恰恰有有對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征值值risi ,21知知由由nrrrs 由于不同特征值的特征向量正交由于不同特征值的特征向量正交， PPAPP11.,11個(gè)特征值個(gè)特征值的的是是恰恰個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)的對(duì)角元素含的對(duì)角元素含其中對(duì)角矩陣其中對(duì)角矩陣nArrss 這樣的特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個(gè)個(gè).n故這故這 個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧粋€(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?n以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則，則P實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：為：二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩

6、陣對(duì)角化的方法二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法將對(duì)應(yīng)于將對(duì)應(yīng)于每個(gè)每個(gè)特征值基礎(chǔ)解系正交化特征值基礎(chǔ)解系正交化;3.將基礎(chǔ)解系單位化將基礎(chǔ)解系單位化.4.2. ;, 0 求求基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由 xAEi 1.;的特征值的特征值求求A5.1 APPPn，則則向向量量，構(gòu)構(gòu)造造正正交交矩矩陣陣個(gè)個(gè)向向量量為為列列解解系系的的以以標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交化化后后的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣解解 20212022 AE 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 111111111)2(A例例1 1 對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交

7、矩陣 ，使使 為對(duì)角陣為對(duì)角陣.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ)實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxAEi, 0 得得由由對(duì)對(duì), 04, 41 xAE 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 得得由由對(duì)對(duì), 0, 12 xAE 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2122 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣 得得由由對(duì)對(duì), 02, 23 xAE 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向

8、量正交化.,3, 321321故故它它們們必必兩兩兩兩正正交交的的特特征征向向量量個(gè)個(gè)不不同同特特征征值值的的是是屬屬于于由由于于 A第四步第四步 將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣 111111111)2(A. 30321 ，得特征值得特征值 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對(duì)對(duì), 00, 021 XAE ),3(1111111112 AE實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣12111,0.01 得得基基礎(chǔ)

9、礎(chǔ)解解系系由由對(duì)對(duì), 03, 33 XAE 311 .1 1111,0 211122111111011.22102TT 正正交交化化，將將21 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣單位化單位化,令令1116323121111232631232163,.0ppp 令令1112631111232632163(,),0Pppp 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣.3001 APPAPPT則則 P 是正交陣是正交陣,且且 對(duì)對(duì)角角化化，如如何何解解？，使使若若求求正正交交陣陣2AkEP 思考：思考：實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣.2, 2的的值值試試求求行行列列式式的的秩秩為為且且滿滿足足階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)AErAAAAn 例例2

10、使得使得故存在可逆陣故存在可逆陣且秩為且秩為陣陣是實(shí)對(duì)稱是實(shí)對(duì)稱又又或或的特征值為的特征值為可得可得由由, 01 2PrAAAA 解解.,000 1階階單單位位陣陣是是其其中中rEEAPPrr 112 2 PPPPAE從從而而rnrEE 200.2rn E2實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣 .23)1(121,111213213 21AAAATT）求矩陣）求矩陣（的特征向量；的特征向量；對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值求求，的特征向量分別是的特征向量分別是，對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于；，的特征值是的特征值是階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣設(shè)設(shè) 例例3 0, 0,3(1) 23133213 TTTxxxA則則，的的特特征征向向量量對(duì)對(duì)應(yīng)

11、應(yīng)于于特特征征值值設(shè)設(shè)解解 020321321xxxxxx即即 1013k 解解得得，實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣 2/16/13/106/23/12/16/13/1,)2(332211 P令令.300020001 1 APPP為為正正交交陣陣，且且則則1300020001 PPA所所以以TPP 300020001 13252102521361實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣?yán)? 設(shè)設(shè)A,B是兩個(gè)是兩個(gè)n階實(shí)對(duì)稱陣，則存在正交矩階實(shí)對(duì)稱陣，則存在正交矩陣陣P，使得，使得 的充要條件是：的充要條件是：A與與B有有完全相同的特征值。完全相同的特征值。1PAPB 證明：證明：充分性充分性設(shè)設(shè)A與與B有完全相同的特征值

12、有完全相同的特征值 ， 12,n 則存在正交矩陣則存在正交矩陣 與與 ，使得，使得 1P2P實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣1211112122nnP APP BP 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣111122PAPP BP 1111212()()P PA P PB 112PP P 令令 ，P為正交陣為正交陣 1PAPB 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣必要性必要性 若存在正交矩陣若存在正交矩陣P，使得，使得 ，則則A與與B相似，相似，1PAPB 從而從而A與與B有完全相同的特征值。有完全相同的特征值。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣1.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié) (1) (1)特征值為實(shí)數(shù)；特征值為實(shí)數(shù)； (2)(2)屬于不

13、同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；特征向量的個(gè)數(shù)相等； (4)(4)必存在必存在正交正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟：利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄空换?；量正交化?4)最后單位化最后單位化實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣,111111111 A.00100100 nB思考題思考題.,是是否否相相似似判判斷斷下下列列兩兩矩矩陣陣BA實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣思考題解答思考題解答. 0,)( 211 nnnAnAE 的特征值為的特征值為因因解解使使得得存存在在可可逆逆矩矩陣陣是