隨機(jī)缺陷導(dǎo)致一階相變轉(zhuǎn)變至二階相變

1、隨機(jī)缺陷導(dǎo)致一階相變轉(zhuǎn)變至二階相變施嘉佶1 姜一民2國(guó)立中山大學(xué)物理系1email: .tw2email: .tw摘要本文介紹利用Monte Carlo 模擬方法，探討q階Potts 模型由於隨機(jī)缺陷的因素使系統(tǒng)由一階相變轉(zhuǎn)變成二階相變。文中並舉例：反鐵磁性二維三角晶格3階Potts模型的模擬結(jié)果關(guān)鍵字: q階Potts 模型，Monte Carlo 模擬方法，隨機(jī)缺陷。 349 物理雙月刊（廿四卷二期）2002年4月隨機(jī)的缺陷對(duì)相變化的影響是一個(gè)非常有趣的問(wèn)題。我們知道在排列整齊的純晶格中，隨機(jī)

2、加入了缺陷鍵 (quenched bond) 或加不均勻的外加場(chǎng) (field randomness) 將會(huì)使得系統(tǒng)的相變化產(chǎn)生明顯的改變。例如，對(duì)於具有正臨界指數(shù) (critical exponent) 的系統(tǒng)，隨機(jī)鍵缺陷將會(huì)改變其臨界指數(shù)1。另外我們也知道一階相變會(huì)伴隨著潛熱及明顯的體積變化，而二階相變則沒(méi)有潛熱及明顯的體積變化，但比熱、壓縮率、磁化率等會(huì)在隨溫度變化曲線(xiàn)上出現(xiàn)躍變或無(wú)窮尖峰，兩種相變是相當(dāng)不同的變化，但由於隨機(jī)缺陷的因素，卻能造成非常特殊的轉(zhuǎn)變；改變系統(tǒng)由一階相變轉(zhuǎn)變成二階相變。許多的實(shí)驗(yàn)也發(fā)現(xiàn)鍵缺陷對(duì)系統(tǒng)相變化有影響，例如在nCB液晶中若加入了鍵缺陷將使得等方相 (is

3、otropic) 到向列相 (nematic) 的相變溫度降低，且使得原來(lái)一階相變轉(zhuǎn)變成了二階相變2-5。q階Potts 模型6是研究隨機(jī)缺陷導(dǎo)致相變化改變非常好的模型，因?yàn)殡S著階數(shù)q及系統(tǒng)維度的不同，系統(tǒng)存在著一階相變或二階相變。若將系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)表示成晶格維度 (d) 與階數(shù) (q) 的函數(shù)，我我可以定義臨界維度(critical dimension)，臨界維度可分為下臨界維度dl與上臨界維度du 。鐵磁性系統(tǒng)，一維沒(méi)有相變發(fā)生，所以對(duì)任何q，dl=1。已知du(q) 通過(guò)點(diǎn) (q,d) = (1,6), (2,4), (4,2)，由這三個(gè)點(diǎn)我們畫(huà)出du(q) (圖一)。對(duì)於大於一維的系

4、統(tǒng)，du將相變化分成二個(gè)區(qū)域，d < du時(shí)為二階相變，ddu而q<2仍為二階相變，ddu且q2為一階相變。對(duì)於二維的系統(tǒng)。圖一. 鐵磁性q階Potts模型下臨界維度dl與上臨界維度du，區(qū)域?yàn)橐浑A相變，區(qū)域?yàn)槎A相變7。已知5階及8階Potts模型在二維整齊排列純晶格時(shí)為一階相變S. Chen，A. M. Ferrenberg與D. P. Landau曾探討二維8階Potts模型8，當(dāng)系統(tǒng)加入了50%鍵強(qiáng)度為原來(lái)鍵強(qiáng)度1/2的隨機(jī)鍵缺陷後會(huì)導(dǎo)致一階相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎A相變。Richrdo Paredes V.與Johnny Valbuena的研究也發(fā)現(xiàn)對(duì)於5階Potts模型9，當(dāng)系統(tǒng)加

5、入了20%鍵強(qiáng)度為0的隨機(jī)鍵缺陷或50%鍵強(qiáng)度為原來(lái)鍵強(qiáng)度1/10的隨機(jī)鍵缺陷後，原來(lái)的一階相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎A相變。對(duì)於加入隨機(jī)鍵缺陷的q階Potts 模型，在隨機(jī)分佈的外加場(chǎng)下，它的總能函數(shù)(Hamiltonian) 可以寫(xiě)成:上式中i=1,2,q;為Kronecker delta fuction；<i,j>表示對(duì)晶格點(diǎn)的所有最近鄰求和；係數(shù)Kij是最近鄰的鍵耦合常數(shù)，對(duì)於鐵磁性系統(tǒng)取負(fù)數(shù)，對(duì)於反鐵磁性系統(tǒng)取正數(shù); h為外加場(chǎng)強(qiáng)度，hi表示外加場(chǎng)只作用隨機(jī)選擇的晶格點(diǎn)i上。當(dāng)我們討論隨溫度產(chǎn)生的相變時(shí)，通常只加入鍵缺陷而令外加場(chǎng)h = 0。加入鍵缺陷的方法我們可以隨機(jī)地選擇耦合常數(shù)為

6、以下的分佈:J1J2分別為缺陷鍵強(qiáng)度及原來(lái)鍵強(qiáng)度，f為缺陷鍵與正常鍵數(shù)量的比值。對(duì)於q階的Potts模型在選定的晶格與邊界條件及系統(tǒng)(順磁或反磁性)上，利用Monte Carlo模擬方法，記錄每個(gè)溫度的比熱與系統(tǒng)能量，先求出發(fā)生相變的溫度，再記錄接近相變溫度時(shí)的能量分佈統(tǒng)計(jì)圖 (energy histogram)。接著固定缺陷鍵強(qiáng)度逐漸增加鍵缺陷的數(shù)量，或是固定缺陷鍵的數(shù)量改變?nèi)毕萱I強(qiáng)度，同樣記錄臨界溫度及能量分佈曲線(xiàn)。若原來(lái)系統(tǒng)是屬於弱一階相變，當(dāng)加入了一定比率的隨機(jī)鍵缺陷，我們將可以發(fā)現(xiàn)原來(lái)的一階相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎A相變。為免除缺陷鍵的位置會(huì)影響系統(tǒng)的臨界現(xiàn)象的疑慮，我們必須模擬多種隨機(jī)鍵缺陷分

7、佈的結(jié)果，及要執(zhí)行夠多的Monte Carlo step (MCS) 才能更精準(zhǔn)的模擬系統(tǒng)的行為。由於一階相變?cè)谙嘧凕c(diǎn)會(huì)有兩相共存的過(guò)程，我們分析能量分佈曲線(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)能量分佈高峰，而二階相變並無(wú)兩相共存的過(guò)程，所以只會(huì)有一個(gè)能量分佈高峰，我們可以藉此來(lái)判斷系統(tǒng)是一階或二階相變。另外，我們也可以由Binder cumulant10來(lái)判斷：Binder cumulant的定義為 。當(dāng)能量分佈趨近高斯分佈時(shí)VL趨近於2/3，但是能量分佈若偏離高斯分佈時(shí)則VL也會(huì)偏離2/3，所以二階相變時(shí)，而一階相變時(shí) ，VL偏離2/3。圖二及圖三為反鐵磁性二維三角晶格3階Potts模型 (3PAFT) 的模擬

8、11： 我們模擬晶格數(shù)90 ×90的3PAFT系統(tǒng)，MCS 為一千萬(wàn)步。圖二為排列整齊的純晶格；溫度未達(dá)到相變溫度時(shí)，系統(tǒng)的能量分佈趨近於高斯分佈，當(dāng)溫度到達(dá)相變溫度T=0.628時(shí)可以明顯的看到能量分佈出現(xiàn)2個(gè)高峰，為一階相變。圖三為加入了不同比率f強(qiáng)度為0的缺陷鍵；在相變溫度時(shí)，隨著缺陷鍵數(shù)量的增加，開(kāi)始不能明顯分辨二個(gè)能量分佈高峰，當(dāng)f達(dá)0.1時(shí)能量分佈變成一個(gè)峰且趨近於高斯分佈，發(fā)現(xiàn)10%隨機(jī)鍵缺陷導(dǎo)致系統(tǒng)由一階相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎A相變。圖二. 完整的3PAFT系統(tǒng)分別為溫度T=0.6276280.6290.632。E為系統(tǒng)總能量，P(E) 為能量E出現(xiàn)機(jī)率。藉由Monte Car

9、lo模擬方法，我們可以發(fā)現(xiàn)一階相變的Potts模型由於隨機(jī)缺陷因素的加入而轉(zhuǎn)變?yōu)槎A相變。我們?cè)接戇^(guò)3階反鐵磁Potts模型在二維三角晶格的系統(tǒng)，也繼續(xù)研究對(duì)於不同的隨機(jī)缺陷方式及不同階數(shù)Potts模型相變行為會(huì)有那些改變。圖三. 加入隨機(jī)鍵缺陷後系統(tǒng)能量分佈圖。加入隨機(jī)缺陷鍵比率分別為f = 0.010.020.040.1。參考文獻(xiàn)1 A. B. Harris, J. Phys. C 7, 1671 (1974).2 X-I. Wu, W. I. Goldburg, M. X. Liu, and J. Z. Xue, Phys. Rev. Lett. 69, 470 (1992).3 T.

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