初中數(shù)學(xué)分式化解求值解題技巧大全

1、重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION1重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION化簡求值常用技巧在給定的條件下求分式的值，大多數(shù)條件下難以直接代入求值，它必須根據(jù)題目本身的特點(diǎn)，將已知條件 或所求分式適當(dāng)變形，然后巧妙求解常用的變形方法大致有以下幾種：1、應(yīng)用分式的基本性質(zhì)1 x2例1如果x - 2，則2的值是多少？xx+x+1解：由x = 0，將待求分式的分子、分母同時除以x2，得原式=.1 _X2 1丄x1(x -)2x1/22-<3.#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCA

2、TION2、倒數(shù)法如果，則的值是多少？#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION解：將待求分式取倒數(shù),x4x21x2丄x21 2 21 =(x -) _1 =2 _1 =3x#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION1 原式=-33、平方法x 1x解：兩邊同時平方,2 1 x222=4,.x4、設(shè)參數(shù)法例3 已知=2，則x2丄的值是多少?x得2 1x22=4_2 = 2.xa _ b _ c2 一3 一 5 解：設(shè) a = b 二c =k，

3、貝y235例4 已知=0，求分式ab 2bc -3aca2 2b2 -3c2的值.a = 2k,b = 3k,c =5k 十、2k"：3k+2><3kx5k -3漢2"5k6k26原式=2222(2k)2 +2(3k)2 - 3(5k)2-53k253a b c abc 砧居例5 已知，求的值b c a a -b +c解：設(shè)=b=c = k，貝yb c aa 二 bk,b 二ck,c 二 ak.3c = ak = bk k = ck k k = ck , k3 =1,k =12重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重慶書之香教育越 CHON

4、G QING EDUCATION原式=a b -ca -b c=1.5、整體代換法例6已知-=3,求2x 3xy 2y的值.x yx_2xy_y解：將已知變形，得y _ x 二 3xy,即 x y _ -3xy.原式= 1 2(x-y) 3xy(x _y) _2xy2 (-3xy) 3xy_3xy _ 2xy-3xy 3-5xy5a3 + b3例： 例5.已知a b :：: 0，且滿足a2 2ab ba -_ b = 2，求的值。1-3ab解：因為 a2 - 2ab ba -b =2所以(a b)2 - (a b) -2 =0所以(a b -2)(a b 10二所以a b = 2或a-1由 a

5、 b ： 0故有a b - -13322所以 a b = (a bX- ab b )13 ab13 ab2 2-1 (a-ab b )1-3aba2 ab b23ab-12(a b) 3ab3ab -1(-1)2 -3ab3ab -11 -3ab3ab 1評注：本題應(yīng)先對已知條件a2 2ab - ba -b =2進(jìn)行變換和因式分解，并由a b ： 0確定出3重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATIONa-1,然后對所給代數(shù)式利用立方和公式化簡，從而問題迎刃而解。6、消元代換法已知abc =1,則aab a 1bc b 1ac c 1#重慶書之香教育越 CHONG QING EDU

6、CATION原式=aab a 1b ab b 1abab ab#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATIONaab1+aba11ab a a 1 ababa1“1.aba17、拆項法1 11 111例8若a亠b亠c = 0,求a( ) b( ) c( ) 3的值.bea ca b4重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION一 11解：原式=a( )1IL bc+1J+i1+1 - aX+#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION111111111=a() b() c()abcabcabc

7、111=()(a b c)abc/ a b c = 0=0.原式8、配方法若 a -b =1 .,3,b-c = 1-、3,求一2J的值.a +b +c abac bc解：由 a-b = 1 "3,b 'C = 1 -.於,得 a 'C = 2 .- a12 =0 1二原式=_.6 b2 c2 _ab _ac _b212 2 2 石 |_(a-b) (b-c) (a-c)化簡求值切入點(diǎn)介紹解題的切入點(diǎn)是解題的重要方向，是解題的有效鑰匙。分式求值有哪些切入點(diǎn)呢？下面本文結(jié)合例題歸納 六個求分式的值的常見切入點(diǎn)，供同學(xué)們借鑒：切入點(diǎn)一：“運(yùn)算符號”點(diǎn)撥：對于兩個分母互為相

8、反數(shù)的分式相加減，只須把其中一個分式的分母的運(yùn)算符號提出來，即可 化成同分母分式進(jìn)行相加減。b22ab4a2b2a解：原式=b22a -b2 2 2 2 24a _b -4a _ 4a -b2a -b 2a -b 2a -b(2ab)(2a -b)(2a -b)=-(2a b) = - 2a - b6重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION評注：我們在求解異分母分式相加減時，先要仔細(xì)觀察這兩個分式的分母是否互為相反數(shù)。若互為相反數(shù)，則可以通過改變運(yùn)算符號來化成同分母分式，從而避免盲目通分帶來的繁瑣。切入點(diǎn)二：“常用數(shù)

9、學(xué)運(yùn)算公式”點(diǎn)撥：在求分式的值時，有些數(shù)學(xué)運(yùn)算公式直接應(yīng)用難以奏效，這時，需要對這些數(shù)學(xué)公式進(jìn)行變形應(yīng)用。例2 :若a2 3a +1 =0，則a3十3的值為a2 解：依題意知，a = 0，由a -3a 0得2 1a 1 = 3a，對此方程兩邊同時除以a得a3a a3 A=(a .(a2-1 占)=(a $(a1 )2_3 =3 (32 3) =18aaaaa評注：在求分式的值時，要高度重視以下這些經(jīng)過變形后的公式的應(yīng)用： a2 -b2= (a b)(a -b) a2 b2 = (ab)2 -2ab = (a - b)2 2ab a3 b3= (a b)(a2 -abb2)=(a b)(a b)

10、2-3ab =(a b)3 -3ab(a b) a3 b3= (a - b)(a2 abb2)= (a - b)(a - b)23ab = (a - b)3 3ab(a - b) ab =(a b)2 -(a -b)24例 3 :已知 x y = 3, xy - -5，求x2 3xy 2y2x2 y 2xy2的值。切入點(diǎn)三：“分式的分子或分母”點(diǎn)撥：對于分子或分母含有比較繁雜多項式的分式求值，往往需要對這些多項式進(jìn)行分解因式變形處 理，然后再代題設(shè)條件式進(jìn)行求值。#重慶書之越 CHONG QING香教育EDUCATION解:x2 3xy 2y2x2 y 2xy2(x 2y)(x y) x yx

11、y(x 2y) xy/ x y = 3, xy - -5原式=-55評注：分解因式的方法是打開分式求值大門的有效鑰匙，也是實現(xiàn)分式約分化簡的重要工具。像本題 先利用十字相乘法對分子分解因式，利用提公因式法對分母分解因式，然后約去相同的因式，再代題設(shè)條 件式求值，從而化繁為簡。切入點(diǎn)四：“原分式中的分子和分母的位置”點(diǎn)撥：對于那些分母比分子含有更繁雜代數(shù)式的分式，倘若直接求值，則難以求解。但是，我們可以 先從其倒數(shù)形式入手，然后再對所求得的值取其倒數(shù)，則可以把問題簡單化。x例4 :已知x2的值為x x 1解：依題意知,2x1 x x 111得，3，即x 1二3從而得x x x 13xxxx4x2

12、1x2-x211 1 2 2冷=(X 丄)2 仁22 1=3 xx2x4x x 1評注：取倒數(shù)思想是處理那些分母比分子含有更繁雜代數(shù)式的分式求值問題的重要法寶。像本題利用 取倒數(shù)思想巧變原分式中的分子和分母的位置，從而化難為易。切入點(diǎn)五：“題設(shè)條件式”點(diǎn)撥：當(dāng)題設(shè)條件式難以直接代入求值時，不妨對其進(jìn)行等價變換，也許可以找到解題鑰匙。例5:已知3 2 =3，則2x _3y _xy的值為x y7xy +9y 6x32解：由3得 3y-2x=3xy，貝U 2x-3y =3xyx y2x-3y_xy _ 2x-3y _xy _ _ 3xy _ xy _ - 4xy _ 17xy 9y -6x 3(3y

13、 -2x) 7xy 3 3xy 7xy 16xy 4評注：等價變換思想是溝通已知條件和未知結(jié)論的重要橋梁，是恒等變形的充分體現(xiàn)。像本題通過對題設(shè)條件式作等價變換，找到重要解題條件“3y -2x =3xy”和“ 2x-3y = -3xy”，然后作代換處理,從而快速求值。切入點(diǎn)六：“分式中的常數(shù)值”點(diǎn)撥：當(dāng)題設(shè)條件式的值和所要求解的分式的常數(shù)相同時，應(yīng)注意考慮是否可以作整體代入變形求解,以便更快找到解題的突破口。例 6 :設(shè) abc =1，求a b c的值ab+a+1 bc+b+1 ac + c + 17重慶書之香教育越 CHONG QING EDUCATION 解： abc =18原式 aab a abcbbc b 1ac c 1#=1 b b 1 bc bc b 1 ac c 11 bc1 b1=:卜=hbcb1 ac cabc bcb1 a 1ab1babc1bbc+=