含全參數(shù)二次函數(shù)分類(lèi)討論地方法總結(jié)材料(共17頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)求最值參數(shù)分類(lèi)討論的方法分類(lèi)討論是數(shù)學(xué)中重要的思想方法和解題策略,它是根據(jù)研究對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),將對(duì)象分為不同種類(lèi)然后逐類(lèi)解決問(wèn)題一般地,對(duì)于二次函數(shù)y=a(x-m)2+n，xt，s求最值的問(wèn)題;解決此類(lèi)問(wèn)題的基本思路為：根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸相對(duì)定義域區(qū)間的位置，利用分類(lèi)討論思想方法。為做到分類(lèi)時(shí)不重不漏，可畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸相對(duì)于定義域區(qū)間的簡(jiǎn)圖分類(lèi)。表示對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間t，s的左側(cè)，表示對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間t，s內(nèi)且靠近區(qū)間的左端點(diǎn)，表示對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)且靠近區(qū)間的右端點(diǎn)，表示對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間t，s的右側(cè)。然后，再根據(jù)口訣“開(kāi)口向上，近則小、遠(yuǎn)則大”；“開(kāi)口向下，近則大、遠(yuǎn)則小”

2、即可快速求出最值。含參數(shù)的二次函數(shù)求最值的問(wèn)題大致分為三種題型，無(wú)論哪種題型都圍繞著對(duì)稱(chēng)軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論題型一：“動(dòng)軸定區(qū)間”型的二次函數(shù)最值例、求函數(shù)在上的最值。分析：先配方，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸相對(duì)于區(qū)間的位置討論，然后根據(jù)口訣寫(xiě)出最值。解：此函數(shù)圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=a、當(dāng)a0時(shí)，0距對(duì)稱(chēng)軸x=a最近，4距對(duì)稱(chēng)軸x=a最遠(yuǎn)，x=0時(shí)，=3，x=4時(shí)，=19-8a、當(dāng)0a2時(shí)，a距對(duì)稱(chēng)軸x=a最近，4距對(duì)稱(chēng)軸x=a最遠(yuǎn)，x=a時(shí)，=3-a2，x=4時(shí)，=19-8a、當(dāng)2a4時(shí)，a距對(duì)稱(chēng)軸x=a最近，0距對(duì)稱(chēng)軸x=a最遠(yuǎn)，x=a時(shí)，=3-a2，x=0時(shí)，=3、當(dāng)4a時(shí)，4距對(duì)稱(chēng)

3、軸x=a最近，0距對(duì)稱(chēng)軸x=a最遠(yuǎn)，x=4時(shí)，=19-8a，x=0時(shí)，=3例2、已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值分析:取a=0,a0，分別化為一次函數(shù)與二次函數(shù),根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論.解:1)若a=0,則f(x)=-x-3,而f(x)在上取不到最大值為1,a02)若a0,則的對(duì)稱(chēng)軸為()若，解得，此時(shí)a<0, 為最大值，但() 若解得此時(shí)距右端點(diǎn)2較遠(yuǎn)，最大值符合條件() 若解得當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)綜收所述或評(píng)注：此類(lèi)題屬于“動(dòng)軸定區(qū)間”型的二次函數(shù)最值，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是討論對(duì)稱(chēng)軸相對(duì)于定義域區(qū)間的位置，討論時(shí)做到不重不漏。題型二：“動(dòng)區(qū)間定軸”型的二次函數(shù)最值例3求函數(shù)

4、在xa,a+2上的最值。解：此函數(shù)圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=1當(dāng)a1時(shí)，a距對(duì)稱(chēng)軸x=1最近，a+2距x=1最遠(yuǎn)，當(dāng)x=a時(shí)，=- a+3 ,x=a+2時(shí)，= a +2a+3當(dāng)0a1時(shí)，1距對(duì)稱(chēng)軸x=1最近，a+2距離x=1最遠(yuǎn)，當(dāng)x=1時(shí)，=2 ,x=a+2時(shí)，= a +2a+3當(dāng)-1a0時(shí)，1距對(duì)稱(chēng)軸x=1最近，a距x=1最遠(yuǎn)，當(dāng)x=1時(shí)，=2 ,x=a時(shí)，=a-2a+3當(dāng)a-1時(shí)，a+2距對(duì)稱(chēng)軸x=1最近，a距x=1最遠(yuǎn)，當(dāng)x=a+2時(shí)，= a +2a+3 ,x=a時(shí)，= a -2a+3題型三：“動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間”型的二次函數(shù)最值例、已知函數(shù)在上恒大于或等于，其中實(shí)數(shù),求實(shí)數(shù)b的范圍分析：找出函

5、數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸：結(jié)合區(qū)間討論或的情況解：若時(shí)，f(x)在上是減函數(shù)=即0則條件成立令()當(dāng)3b+53時(shí).即則函數(shù)g(x)在上是增函數(shù)即解得b3或b-1,b-1()當(dāng)3b+5>3即,若-30b-310解得與矛盾;(2)若時(shí), 即-10a-60解得與矛盾;綜上述：b-1評(píng)注：此題屬于“動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間”型的二次函數(shù)最值，解決的關(guān)鍵是討論對(duì)稱(chēng)軸與定義域區(qū)間的位置更便于我們分類(lèi)類(lèi)討論，然后依據(jù)口訣，很快就可解決問(wèn)題。最后,我們?cè)诘糜梅诸?lèi)討論方法解題中要注意兩個(gè)原則：一、分類(lèi)不重不漏；二、一次分類(lèi)只能按已確定的同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行二次函數(shù)分類(lèi)討論補(bǔ)充習(xí)題1已知函數(shù)，若，求函數(shù)的最小值，并作出最小值的函數(shù)圖象。2已知

6、函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。3已知k為非零實(shí)數(shù)，求二次函數(shù)的最小值。4已知，若函數(shù)在上的最大值為，最小值為，又已知函數(shù)，求的表達(dá)式。含參數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題練習(xí)題1、 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值。2、 已知函數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。3、 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)，取得最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。4、 已知函數(shù)，在時(shí)有最大值3，最小值2，求實(shí)數(shù)的取值范圍。5、 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。6、 方程至少的一個(gè)負(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。7、 方程的兩根都在內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。8、 方程在上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。9、已知，當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。10、已知，當(dāng)時(shí)，有

7、恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。11、已知，當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。12、已知，當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。13、函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。據(jù)此可推測(cè)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x的方程的解集不可能是A. B C D 含參數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題練習(xí)題答案：1、；2、；3、；4、；5、6、；7、；8、；9、或；10、；11、；12、；13、D13解析:設(shè)則方程，可化為，若此方程有兩個(gè)等根，則有，可以有選項(xiàng)A，B，若有兩個(gè)不等根，則有，；如圖若的兩根為，的兩根為，應(yīng)有的中點(diǎn)與中點(diǎn)應(yīng)相同，即，選項(xiàng)C符合要求，而選項(xiàng)D中，則不滿(mǎn)足。故選D二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、 知識(shí)要點(diǎn)：一元

8、二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題，核心是函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的討論。一般分為：對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況.設(shè)，求在上的最大值與最小值。分析：將配方，得頂點(diǎn)為、對(duì)稱(chēng)軸為 當(dāng)時(shí)，它的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在m，n上的最值：（1）當(dāng)時(shí)，的最小值是的最大值是中的較大者。（2）當(dāng)時(shí)若，由在上是增函數(shù)則的最小值是，最大值是若，由在上是減函數(shù)則的最大值是，最小值是 當(dāng)時(shí)，可類(lèi)比得結(jié)論。二、例題分析歸類(lèi)：（一）、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱(chēng)軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。此類(lèi)問(wèn)題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，

9、區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1. 軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱(chēng)這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1. 函數(shù)在區(qū)間0，3上的最大值是_，最小值是_。解：函數(shù)是定義在區(qū)間0，3上的二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），且其圖象開(kāi)口向下，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在0，3上，如圖1所示。函數(shù)的最大值為，最小值為。圖1練習(xí). 已知，求函數(shù)的最值。解：由已知，可得，即函數(shù)是定義在區(qū)間上的二次函數(shù)。將二次函數(shù)配方得，其對(duì)稱(chēng)軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)，且圖象開(kāi)口向上。顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，如圖2所示。函數(shù)的最小值為，最大值為。圖22、軸定區(qū)間變二次

10、函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱(chēng)這種情況是“定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例2. 如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最小值。解：函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），圖象開(kāi)口向上。如圖1所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)時(shí)，有，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。圖1如圖2所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。圖2如圖3所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值綜上討論，圖8例3. 已知，當(dāng)時(shí)，求的最大值解：由已知可求對(duì)稱(chēng)軸為（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性若即時(shí)，若即時(shí)，（3）當(dāng)即時(shí)，綜上，觀察前兩題的解法，為什么最值有時(shí)候分兩種情況討論，而有

11、時(shí)候又分三種情況討論呢？這些問(wèn)題其實(shí)仔細(xì)思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的的最值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)取到。第一個(gè)例題中，這個(gè)二次函數(shù)是開(kāi)口向上的，在閉區(qū)間上，它的最小值在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，只可能是閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，哪個(gè)端點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)就在哪個(gè)端點(diǎn)取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點(diǎn)與左右端點(diǎn)的遠(yuǎn)近分兩種情況討論。根據(jù)這個(gè)理解，不難解釋第二個(gè)例題為什么這樣討論。對(duì)二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下： 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 3、軸變區(qū)間定二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域

12、區(qū)間是固定的，我們稱(chēng)這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例4. 已知，且，求函數(shù)的最值。解：由已知有，于是函數(shù)是定義在區(qū)間上的二次函數(shù)，將配方得：二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程是頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象開(kāi)口向上由可得，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間的左側(cè)或左端點(diǎn)上。函數(shù)的最小值是，最大值是。圖3例5. (1) 求在區(qū)間-1,2上的最大值。(2) 求函數(shù)在上的最大值。解：(1)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，當(dāng)即時(shí)，； 當(dāng)即時(shí)，。綜上所述：。(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為，應(yīng)分，即，和這三種情形討論，下列三圖分別為（1）；由圖可知（2）；由圖可知（3） 時(shí)；由圖可知；即4. 軸變區(qū)間變二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù)，而定義域區(qū)間也是

13、變化的，我們稱(chēng)這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例6. 已知，求的最小值。解：將代入u中，得，即時(shí)，即時(shí)，所以（二）、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。例7. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。 解：（1）若，不符合題意。（2）若則由，得（3）若時(shí)，則由，得綜上知或例8.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3最大值是3，求，的值。解法1：討論對(duì)稱(chēng)軸中1與的位置關(guān)系。若，則解得若，則，無(wú)解若，則，無(wú)解若，則，無(wú)解綜上，解析2：由，知，則，又在上當(dāng)增大時(shí)也增大所以解得評(píng)注：解法2利用閉區(qū)間上的最值不超過(guò)整個(gè)定義域上的最值，縮小了，的取值范圍，避開(kāi)了繁難的分類(lèi)

14、討論，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了。例9. 已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值。這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，若從求最值入手，需分與兩大類(lèi)五種情形討論，過(guò)程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，過(guò)程就簡(jiǎn)明多了。具體解法為：（1）令，得此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸方程為，且，故不合題意；（2）令，得此時(shí)拋物線開(kāi)口向上，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)，故符合題意；（3）若，得此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)，故符合題意。綜上，或解后反思：若函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸均不確定，且動(dòng)區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)的參數(shù)一致，可采用先斬后奏

15、的方法，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只可能在區(qū)間端點(diǎn)、頂點(diǎn)處取得，不妨令之為最值，驗(yàn)證參數(shù)的資格，進(jìn)行取舍，從而避開(kāi)繁難的分類(lèi)討論，使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了。三、鞏固訓(xùn)練1函數(shù)在上的最小值和最大值分別是 （ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 32函數(shù)在區(qū)間 上的最小值是 （） 23函數(shù)的最值為 （）最大值為8，最小值為0不存在最小值，最大值為8 （C）最小值為0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值4若函數(shù)的取值范圍是_5已知函數(shù)上的最大值是1，則實(shí)數(shù)a的值為 6如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，那么有 （ ） (A)最大值為 1 , 最小值為 (B)無(wú)最大值，最小值為 （C）)最大值為 1, 無(wú)最小值 (D)最大值為1，最小值為7已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是 （ ） (A) (B) (C) (D) 8若，那么的最小值為_(kāi)9設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值_10設(shè)求函數(shù)的最小值的解析式。