第2章 2.4 二項分布

1、教育精選2.4二項分布1理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布(重點)2能利用二項分布解決一些簡單的實際問題(難點)基礎(chǔ)·初探教材整理二項分布閱讀教材P63P64“例1”以上部分，完成下列問題1n次獨立重復(fù)試驗(1)定義：一般地，由n次試驗構(gòu)成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即A與，每次試驗中P(A)p>0.我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，也稱為伯努利試驗(2)概率計算：在n次獨立重復(fù)試驗中，如果每次試驗事件A發(fā)生的概率均為p(0<p<1)，那么在這n次試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)Cpkqnk，k0,1,2，n.2二項分

2、布若隨機變量X的分布列為P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作XB(n，p)1獨立重復(fù)試驗滿足的條件是_(填序號)每次試驗之間是相互獨立的；每次試驗只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況；每次試驗中發(fā)生的機會是相同；每次試驗發(fā)生的事件是互斥的【解析】由n次獨立重復(fù)試驗的定義知正確【答案】2一枚硬幣連擲三次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為_【解析】拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為，由于每次試驗的結(jié)果不受影響，故由獨立重復(fù)試驗可知，所求概率為PC2.【答案】3已知隨機變量X服從二項分布，XB，則P(X2)等于_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440050】【解析】P(X2)

3、C42.【答案】質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型獨立重復(fù)試驗中的概率問題(1)某射手射擊一次，擊中目標的概率是0.9，他連續(xù)射擊三次，且他每次射擊是否擊中目標之間沒有影響，有下列結(jié)論：他三次都擊中目標的概率是0.93；他第三次擊中目標的概率是0.9；他恰好2次擊中目標的概率是2×0.92×0.1；他恰好2次未擊中目標的概率是3×0.9×0.12.其中正確結(jié)論的序號是_(把正確結(jié)論的序號都填上)(2)某氣象站天氣預(yù)報的準確率為80%，計算(結(jié)果保留到

4、小數(shù)點后面第2位)：5次預(yù)報中恰有2次準確的概率；5次預(yù)報中至少有2次準確的概率；5次預(yù)報中恰有2次準確，且其中第3次預(yù)報準確的概率【精彩點撥】先判斷“射擊手連續(xù)射擊3次”能否看成，“一次射擊”試驗重復(fù)做了三次，同樣，氣象站5次預(yù)報準確與否也可看成是5次獨立重復(fù)的試驗，結(jié)合二項分布求概率【自主解答】(1)三次射擊是三次獨立重復(fù)試驗，故正確結(jié)論的序號是.【答案】(2)記預(yù)報一次準確為事件A，則P(A)0.8.5次預(yù)報相當(dāng)于5次獨立重復(fù)試驗，2次準確的概率為PC×0.82×0.230.051 20.05，因此5次預(yù)報中恰有2次準確的概率約為0.05.“5次預(yù)報中至少有2次準確”

5、的對立事件為“5次預(yù)報全部不準確或只有1次準確”，其概率為PC×(0.2)5C×0.8×0.240.006 720.01.所以所求概率為1P10.010.99.所以5次預(yù)報中至少有2次準確的概率約為0.99.說明第1,2,4,5次中恰有1次準確所以概率為PC×0.8×0.23×0.80.02 0480.02，所以恰有2次準確，且其中第3次預(yù)報準確的概率約為0.02.獨立重復(fù)試驗概率求法的三個步驟1判斷：依據(jù)n次獨立重復(fù)試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復(fù)試驗2分拆：判斷所求事件是否需要分拆3計算：就每個事件依據(jù)n次獨立重復(fù)試驗的概率

6、公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算再練一題1(1)甲、乙兩隊進行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊勝的概率為，沒有平局若進行三局兩勝制比賽，先勝兩局者為勝，甲獲勝的概率為_(2)在4次獨立重復(fù)試驗中，事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在1次試驗中出現(xiàn)的概率為_【解析】(1)“甲獲勝”分兩類：甲連勝兩局；前兩局中甲勝一局，并勝最后一局即P2C×××.(2)由題意知，Cp0(1p)41，p.【答案】(1)(2)二項分布一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的

7、次數(shù)的分布列；(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)的分布列【精彩點撥】(1)首先判斷是否服從二項分布，再求分布列(2)注意“首次遇到”“或到達”的含義，并明確的取值再求取各值的概率【自主解答】(1)B，的分布列為P(k)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.(2)的分布列為P(k)P(前k個是綠燈，第k1個是紅燈)k·，k0,1,2,3,4；P(5)P(5個均為綠燈)5.故的分布列為012345P1本例屬于二項分布，當(dāng)X服從二項分布時，應(yīng)弄清XB(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p.2解決二項分布問題的兩個關(guān)注點(1)對于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,

8、1,2，n)必須在滿足“獨立重復(fù)試驗”時才能運用，否則不能應(yīng)用該公式(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗是獨立重復(fù)地進行了n次再練一題2在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為，且各人的選擇相互之間沒有影響(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為名，求的分布列【解】(1)設(shè)事件A表示“甲選做14題”，事件B表示“乙選做14題”，則甲、乙2名考生選做同一道題的事件為“AB”，且事件A，B相互獨立

9、P(AB)P(A)P(B)P()P()××.(2)隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4，且B.P(k)Ck4kC4(k0,1,2,3,4)隨機變量的分布列為01234P探究共研型獨立重復(fù)試驗與二項分布綜合應(yīng)用探究1王明在做一道單選題時，從A，B，C，D四個選項中隨機選一個答案，他做對的結(jié)果數(shù)服從二項分布嗎？兩點分布與二項分布有何關(guān)系？【提示】做一道題就是做一次試驗，做對的次數(shù)可以為0次、1次，它服從二項分布兩點分布就是一種特殊的二項分布，即是n1的二項分布探究2王明做5道單選題，每道題都隨機選一個答案，那么他做對的道數(shù)服從二項分布嗎？為什么？【提示】服從二項分布因為每道題

10、都是隨機選一個答案，結(jié)果只有兩個：對與錯，并且每道題做對的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復(fù)做了5次，做對的道數(shù)就是5次試驗中“做對”這一事件發(fā)生的次數(shù)，故他做對的“道數(shù)”服從二項分布探究3王明做5道單選題，其中2道會做，其余3道均隨機選一個答案，他做對的道數(shù)服從二項分布嗎？如何判斷一隨機變量是否服從二項分布？【提示】不服從二項分布因為會做的兩道題做對的概率與隨機選取一個答案做對的概率不同，不符合二項分布的特點，判斷一個隨機變量是否服從二項分布關(guān)鍵是看它是否是n次獨立重復(fù)試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布，否則就不服從二項分

11、布甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響用表示甲隊的總得分(1)求隨機變量的分布列；(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB)【精彩點撥】(1)由于甲隊中每人答對的概率相同，且正確與否沒有影響，所以服從二項分布，其中n3，p；(2)AB表示事件A、B同時發(fā)生，即甲、乙兩隊總得分之和為3且甲隊總得分大于乙隊總得分【自主解答】(1)由題意知，的可能取值為0,1,2,3，且p(0)C3，P(

12、1)C2，P(2)C2，P(3)C3.所以的分布列為0123P(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以ABCD，且C，D互斥，又P(C)C2，P(D)C3，由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D).對于概率問題的綜合題，首先，要準確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復(fù)試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是AB還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件公式，最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復(fù)試驗的概率公式求解.再練一題3為拉動經(jīng)濟增長，某市決定

13、新建一批重點工程，分為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的，.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè)(1)求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；(2)記為3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求的分布列【解】記第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由題意知A1，A2，A3相互獨立，B1，B2，B3相互獨立，C1，C2，C3相互獨立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3且i，j，k互不相同)相互獨立，用P(Ai)，P(Bj)，P(Ck).(1)他們選擇的項目所屬類別互

14、不相同的概率P3! P(A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)6×××.(2)法一：設(shè)3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為，由已知，B，且3，所以P(0)P(3)C3，P(1)P(2)C2，P(2)P(1)C2，P(3)P(0)C3.故的分布列是0123p法二：記第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Di，i1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互獨立，且P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci)，所以B，即P(k)Ck3k，k0,1,2,3.故的分布列是0123p構(gòu)建·體系1已知YB，則P(Y4)_.【解析】由YB可

15、知，P(Y4)C4×2.【答案】2小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是_【解析】P(X1)C12.【答案】3下列說法正確的是_(填序號)某同學(xué)投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個隨機變量，且XB(10,0.6)；某福彩的中獎概率為p，某人一次買了8張，中獎張數(shù)X是一個隨機變量，且XB(8，p)；從裝有5個紅球、5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數(shù)X是隨機變量，且XB.【解析】顯然滿足獨立重復(fù)試驗的條件，而雖然是有放回地摸球，但隨機變量X的定義是直到摸出白球為止，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項分布的定義【答案】4設(shè)XB(4，p)，且P(X2)，那么一次試驗成功的概率p等于_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440051】【解析】P(X2)Cp2(1p)2，即p2(1p)22·2，解得p或p.【答案】或5甲、乙兩人各射擊一次擊中目標的概率分別是和，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響，每次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響(1)求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；(2)求兩人各射擊4次，甲恰