導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和練習(xí)

1、一、相關(guān)概念1. 導(dǎo)數(shù)的概念：f （x 0 ） = limy = limf (x0x) f ( x0 ) 。x 0xx 0x注意：（ 1）函數(shù) f （x ）在點(diǎn) x 0 處可導(dǎo)，是指x0 時(shí)，y 有極限。如果y 不存在極xx限，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)x 0 處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。（2） x 是自變量 x 在 x 0 處的改變量，x 0時(shí)，而y 是函數(shù)值的改變量，可以是零。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y=f （ x）在點(diǎn) x 0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f （ x）在點(diǎn) p（x 0 ，f （ x 0 ）處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f （ x）在點(diǎn) p（ x 0 ，f （x 0 ）處的切線的斜率是f （

2、 x 0 ）。相應(yīng)地，切線方程為y y 0 =f/ （ x 0 ）（ x x 0 ）。3. 導(dǎo)數(shù)的物理意義若物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是s=s （t ），那么該物體在時(shí)刻t 的瞬間速度v= s （ t ）。若物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化的規(guī)律是v=v （ t ），則該物體在時(shí)刻t的加速度a=v（ t ）。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: C0;（ C為常數(shù)） xn (sin x) (cos x) (ex ) (ax ) ln xnxn 1;cos x ;sin x ;ex ;ax ln a ;1 ;x l o ga x1 log a e.x2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則法則 1：兩個(gè)函數(shù)的和 ( 或差 ) 的導(dǎo)數(shù) ,

3、 等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： ( u v)'u 'v' .法則 2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù), 等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù), 加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即： ( ) ''vuv' .uvu法則 3：兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：uu'v uv'（ v0）。vv 23. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如 y=f( x )的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解 >求導(dǎo) >回代。法則： y | X = y | U·u | X 或者 f ( x

4、)f ()*(x) .三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)函數(shù) yf ( x) 在某個(gè)區(qū)間（ a， b）可導(dǎo)，如果 f ' ( x)0 ，則 f (x) 在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果f ' (x)0 ，則 f (x) 在此區(qū)間上為減函數(shù)。（2）如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f ' ( x) 0 ，則 f ( x) 為常數(shù)。2極點(diǎn)與極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為 0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3最值：在區(qū)間 a ， b 上連續(xù)的函數(shù)f ( x) 在 a ，b 上必有最大值與最小值。但在開(kāi)區(qū)間（

5、a，b）內(nèi)連續(xù)函數(shù) f （ x）不一定有最大值，例如 f ( x) x3, x ( 1,1)。（ 1）函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性的概念，最大值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（ 2）函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來(lái)的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附件的函數(shù)值得出來(lái)的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個(gè)，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值。四、定積分1. 概念設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a ， b 上連續(xù)，用分點(diǎn)a x0<x

6、1< <xi 1<xi< xn b 把區(qū)間 a ，b 等分成 n 個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間 xi 1，xi 上取任一點(diǎn) i （ i 1， 2， n）作nf和式 In i1( i) x（其中 x 為小區(qū)間長(zhǎng)度），把 n即 x 0時(shí)，和式 Inbb的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間 a ， b 上的定積分，記作：f ( x)dxf ( x)dxa，即anlimfn( i) x。i 1這里， a 與 b 分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a ， b 叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x) 叫做被積函數(shù)， x 叫做積分變量， f(x)dx叫做被積式。0dx C；m1x m 11基本的積分公式：xdx

7、 m1 C（ m Q， m 1）；x dxln x C； ex dx exa x C；a xdx ln a C；cos xdx sinx C； sin xdx cosx C（表中 C均為常數(shù)）。2. 定積分的性質(zhì)bbkf ( x)dx k f ( x) dx aa（k 為常數(shù)）；bbbg (x) dxf (x)g( x)dxf (x)dx aaa；bcbf (x)dxf ( x)dxf ( x)dx aac（其中 a c b ) 。3. 定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa， x b（a<b）， x 軸及一條曲線y f （x） (f(x) 0) 圍成的曲邊梯的bSf ( x)dx面積a。如

8、果圖形由曲線y1f1(x)， y2f2(x)（不妨設(shè) f1(x) f2(x) 0），及直線x a， x b（ a<b）圍成，那么所求圖形的面積S S 曲邊梯形 AMNB S 曲邊梯形DMNCbbf1(x)dxf 2 ( x)dxaa。4. 牛頓布萊尼茨公式如果 f(x) 是區(qū)間 a,b上的連續(xù)函數(shù) ,并且 F (x)=f(x),則bf ( x )dxF ( b )F ( a )a【練習(xí)題】題型 1：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算【例 1】 （ 1）求 yx( x211) 的導(dǎo)數(shù)；xx3（2）求 y(x1)(11) 的導(dǎo)數(shù)；x（3）求 yxsin x cos x 的導(dǎo)數(shù)；222x（4）求 y=的導(dǎo)數(shù)；2（

9、5）求 y 3xx x5x9 的導(dǎo)數(shù)。x解析：（ 1） yx3112 ,y '3x 223 .xx111（2）先化簡(jiǎn) , yxx1x 2xxx131 11 .y '1 x 21 x 2222xx（3）先使用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn).12y xsin x cos xx1 sin x2221'11y'xsin xx'(sin x)'1cos x.222（4） y = ( x2 )' sin xx 2* (sin x)' = 2x sin xx 2 cos x ；sin 2xsin 2 x31（5）y 3x 2 x9x 231） * 311 ）

10、y * （ x 2 ） x ( x 2x 2 * （22312) 1。x 2 9x (12x題型 2：導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例 2】 已經(jīng)曲線 C： y=x3x+2和點(diǎn) A(1,2)。（ 1）求在點(diǎn) A 處的切線方程？（2）求過(guò)點(diǎn) A 的切線方程？（3）若曲線上一點(diǎn) Q 處的切線恰好平行于直線 y=11x1，則 Q點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi),切線方程為 _思考：導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，切線方程為什么？【例 3】 （06安徽卷）若曲線yx4 的一條切線 l 與直線 x4 y80 垂直，則 l的方程為（）A 4xy 3 0 B x 4y 5 0 C 4x y 3 0D x 4 y 3 0【例 4】 （06全國(guó) II ）過(guò)點(diǎn)（ 1

11、， 0）作拋物線 y x2x1 的切線，則其中一條切線為（）（A） 2x y2 0（ B） 3xy 3 0（ C） x y1 0（ D） x y 1 0解析：（ 1）與直線 x 4 y 80垂直的直線 l 為 4x ym0 ，即 y x4 在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而 y4x3 ，所以 yx4 在(1 ，1) 處導(dǎo)數(shù)為 4，此點(diǎn)的切線為4xy30，故選 A；（ 2 ） y2x 1 ， 設(shè) 切 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 ( x0 , y0 ) ， 則 切 線 的 斜 率 為 2 x0 1 ， 且y0x20x01，于是切線方程為yx02x01(2 x01)(x x0 ) ，因?yàn)辄c(diǎn)（1，0）在切線上，可解得x0 0

12、 或 4，代入可驗(yàn)正 D正確，選 D。題型 3：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值【例 5】 （06江西卷）對(duì)于 R 上可導(dǎo)的任意函數(shù)f （x），若滿足（ x 1） f （x） 0，則必有（）A f （ 0） f （ 2） 2f （1）B. f（ 0） f （ 2） 2f （ 1）C f （ 0） f （ 2） 2f （1）D. f（ 0） f （ 2） 2f （ 1）【例 6】 （06天津卷）函數(shù) f ( x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間( a, b) ，導(dǎo)函數(shù) f( x) 在 ( a,b) 內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f( x) 在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A1 個(gè)B 2 個(gè)C3 個(gè)D 4 個(gè)【例

13、7】 （06全國(guó)卷 I ）已知函數(shù) fx1x e ax 。（）設(shè) a0，討論 y fx1x的單調(diào)性；（）若對(duì)任意x0,1恒有f x，求 a 的取值范圍。1解析：（ 1）依題意，當(dāng)x 1 時(shí)， f （ x） 0，函數(shù) f （ x）在（ 1，）上是增函數(shù)；當(dāng) x 1 時(shí)， f （ x） 0， f （ x）在（ ， 1）上是減函數(shù)，故得最小值，即有 f （0） f （1）， f （2） f （1），故選 C；f （ x）當(dāng) x 1 時(shí)?。?2）函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間 ( a,b) ，導(dǎo)函數(shù) f ( x) 在 ( a, b) 內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù) f ( x) 在開(kāi)區(qū)間 ( a, b)

14、 內(nèi)有極小值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的點(diǎn)，只有1 個(gè)，選 A。（ 3 ）： ( )f(x)的定義域?yàn)? ,1) (1,+ ). 對(duì) f(x)求導(dǎo)數(shù) 得 f '(x)=ax2+2a(1 x)2 e ax。( ) 當(dāng) a=2 時(shí) , f '(x)=2x2e 2x, f '(x)在 ( ,0), (0,1)和 (1,+ )(1 x)2均大于 0, 所以 f(x) 在 ( ,1), (1,+ ). 為增函數(shù)；( ) 當(dāng) 0<a<2 時(shí), f '(x)>0, f(x)在 ( ,1), (1,+)為增函數(shù) . ；a2a2a 2(

15、 ) 當(dāng) a>2 時(shí) , 0<a<1, 令 f '(x)=0 ,解得 x1=a , x2=a；當(dāng) x 變化時(shí) , f '(x)和 f(x) 的變化情況如下表 :x( ,( a 2(1,+ )a 2a 2a2(a ,a)a,a)1)f'(x)f(x)f(x)在(, a 2(a 2(1,+ ) 為增函數(shù),f(x) 在 ( ),a,1),aa2a2a ,a) 為減函數(shù)。( )( ) 當(dāng) 0<a2 時(shí),由( ) 知:對(duì)任意 x (0,1) 恒有 f(x)>f(0)=1；1a 2( ) 當(dāng) a>2 時(shí) ,取 x0=2a (0,1), 則由 (

16、) 知 f(x0)<f(0)=1；1+x( ) 當(dāng) a 0 時(shí) ,對(duì)任意 x (0,1),恒有 1x >1 且 eax 1，1+x1+x得： f(x)=1 xe ax 1 x >1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng)a ( ,2 時(shí), 對(duì)任意 x (0,1)恒有 f(x)>1 ?！纠?8】 （ 06 浙江卷） f (x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是（）(A) 2(B)0(C)2(D)4【例 9】 （06山東卷）設(shè)函數(shù)f(x)=2x33(a1)x21,其中 a 1. （）求f(x) 的單調(diào)區(qū)間；（）討論f(x) 的極值。解析：（1 ） f ( x)3x26x3x( x 2) ，令 f (x )0可得 x 0 或 2（ 2 舍去），當(dāng) 1x 0 時(shí)， f ( x) 0，當(dāng) 0x 1 時(shí)， f( x)0，所以當(dāng) x 0 時(shí)， f （x）取得最大值為2。選 C；（ 2）由已知得 f ' (x)6xx(a1)，令 f ' ( x)0 ，解得x1 0, x2 a1。（）當(dāng) a 1時(shí)， f' (