第二章圓錐曲線與方程教案

1、第二章 圓錐曲線與方程 一、課程目標在必修階段學習平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上,在本模塊中,學生將學習圓錐曲線與方程,了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系,掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì),感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。結(jié)合已學過的曲線及其方程的實例,了解曲線與方程的對應關(guān)系,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。二、學習目標：（1）、圓錐曲線：了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)。了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡

2、單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實際問題。通過圓錐曲線的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。三、本章知識結(jié)構(gòu)框圖：拋物線的簡單幾何性質(zhì)四、課時分配本章教學時間約需9課時，具體分配如下：2.1 曲線與方程 約1課時2.2 橢圓 約2課時2.3 雙曲線 約2課時2.4 拋物線 約2課時直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 約1課時小結(jié) 約1課時2.1 求曲線的軌跡方程（新授課）一、教學目標知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學過的曲線及方程的實例，了解曲線與方程的對應關(guān)系，了解兩條曲線交點的求法；能根據(jù)曲線的已知條件求出曲線的方程，并初步學會通過方程來研究曲線的性質(zhì)。過程與方法： 通過求曲線方程的學習，可培養(yǎng)我們的轉(zhuǎn)化能

3、力和全面分析問題的能力，幫助我們理解研究圓錐曲線的基本方法。情感、態(tài)度與價值觀：通過曲線與方程概念的學習，可培養(yǎng)我們數(shù)與形相互聯(lián)系，對立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀。二、教學重點與難點重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法難點：作相關(guān)點法求動點的軌跡方法三、教學過程(一復習引入平面解析幾何研究的主要問題是：1、根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；2、通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統(tǒng)分析(二幾種常見求軌跡方程的方法1直接法由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)

4、而得出的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法例1、(1求和定圓x2+y2=R2的圓周的距離等于R的動點P的軌跡方程；(2過點A(a，o作圓Ox2+y2=R2(aRo的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡對(1分析：動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0解：設(shè)動點P(x，y，則有|OP|=2R或|OP|=0即x2+y2=4R2或x2+y2=0故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0對(2分析：題設(shè)中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即

5、圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負倒數(shù)解答為：設(shè)弦的中點為M(x，y，連結(jié)OM，則OMAM kOM·kAM=-1，其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點2定義法利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設(shè)中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件直平分線l交半徑OQ于點P(見圖245，當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程分析：點P在AQ的垂直平分線上，|PQ|=|PA|又P在半徑OQ上|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R故P點到

6、兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義寫出P點的軌跡方程解：連接PA lPQ，|PA|=|PQ|又P在半徑OQ上|PO|+|PQ|=2由橢圓定義可知：P點軌跡是以O(shè)、A為焦點的橢圓3相關(guān)點法若動點P(x，y隨已知曲線上的點Q(x0，y0的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程這種方法稱為相關(guān)點法(或代換法例3、已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1，B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BPPA=12，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程分析：P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關(guān)點，應先找出點P與點B的聯(lián)系解：設(shè)點P

7、(x，y，且設(shè)點B(x0，y0BPPA=12，且P為線段AB的內(nèi)分點4待定系數(shù)法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求例4、已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲線僅有兩個公共點，又直線y=2x被雙曲線所截的的線段長等于，求此雙曲線方程。a2x2-4b2x+a2b2=0拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程a2x2-4b2x+a2b2=0應有等根=16b4-4a4b2=0，即a2=2b由弦長公式得：即a2b2=4b2-a2(三鞏固練習1ABC一邊的兩個端點是B(0，6和C(0，-6，另兩邊斜率的積是，求頂點A的軌跡。2點

8、P與一定點F(2，0的距離和它到一定直線x=8的距離的比是12，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？3求拋物線y2=2px(p0上各點與焦點連線的中點的軌跡方程(四課時小結(jié)求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復數(shù)以后再作介紹四、課后反思：橢圓及其標準方程（新授課）一、教學目標知識與技能：了解橢圓的實際背景，掌握橢圓的定義及其標準方程。過程與方法：通過橢圓的概念引入橢圓的標準方程的推導，培養(yǎng)學生的分析探索能力，熟練掌握解決解析問題的方法坐標法。情感、態(tài)度與價值觀：通過對橢圓的定義及標準方程的學習，

9、滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學生體會運動變化、對立統(tǒng)一的思想，提高對各種知識的綜合運用能力二、教學重點與難點重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程難點：橢圓的標準方程的推導三、教學過程(一橢圓概念的引入問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？ 問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”對學生提出的軌跡命題如：“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡”“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡”取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13，當繩

10、長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等在此基礎(chǔ)上，引導學生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距學生開始只強調(diào)主要幾何特征到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：(1將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”(2這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊

11、提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)| F1F2 |，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于| F1F2 |”(二橢圓標準方程的推導1標準方程的推導由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1建系設(shè)點；(2點的集合；(3代數(shù)方程；(4化簡方程等步驟(1建系設(shè)點建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)囊詢啥cF1、

12、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14設(shè)| F1F2 |=2c(c0，M(x，y為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0，F(xiàn)2(c，0(2點的集合由定義不難得出橢圓集合為：P=M|MF1|+|MF2|=2a(3代數(shù)方程(4化簡方程（學生板演，教師點撥）2兩種標準方程的比較(引導學生歸納0、F2(c，0，這里c2=a2-b2；-c、F2(0，c，這里c2=a2+b2，只須將(1方程的x、y互換即可得到教師指出：在兩種標準方程中，a2b2，可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上(三例題講解例、平面內(nèi)兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡

13、的方程分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系2a=10，2c=8a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9b=3因此，這個橢圓的標準方程是思考：焦點F1、F2放在y軸上呢？（四）課堂練習：課本42頁 練習 1、2、3、4(五 課時小結(jié)1定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|的點的軌跡3圖形（六）布置作業(yè)：習題2.2 A組 1、7四、課后反思一、教學目標知識與技能：通過橢圓標準方程的討論，使學生

14、掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并能根據(jù)幾何性質(zhì)解決一些簡單的問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納、推理等能力。過程與方法：掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學習，進一步體會方程與曲線的對應關(guān)系，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。二、教學重點與難點重點：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用難點：橢圓離心率的概念的理解三、教學過程(一復習提問1橢圓的定義是什么？2橢圓的標準方程是什么？(二幾何性質(zhì)根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一。1、范圍即|x|a，|y|b，這說明橢圓在直線x=

15、±a和直線y=±b所圍成的矩形里，注意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點2對稱性先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2設(shè)問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點對稱的” 呢？事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x，y在曲線上時，點P關(guān)于y軸的對稱點Q(-x，y也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱類似可以證明其他兩個命題同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱如：如果曲線關(guān)于x軸和原點對稱，那么它一定

16、關(guān)于y軸對稱事實上，設(shè)P(x，y在曲線上，因為曲線關(guān)于x軸對稱，所以點P1(x，-y必在曲線上又因為曲線關(guān)于原點對稱，所以P1關(guān)于原點對稱點P2(-x，y必在曲線上因P(x，y、P2(-x，y都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心3頂點只須令x=0，得y=±b，點B1(0，-b、B2(0，b是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0，得x=±a，點A1(-a，0、A2(a，0是橢圓和x軸的兩個交點強調(diào)指出：橢圓有四個頂點A1(-a，0、A2(a，0、B1(0，-b、B2(0，b教師還需指出：(1線段A1A2、線段B1B2分別

17、叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；(2a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形4離心率教師直接給出橢圓的離心率的定義：等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義先分析橢圓的離心率e的取值范圍：ac0， 0e1再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：(2當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3當e=0時，c=0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了(三應用為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認識，掌握用描點法畫圖

18、的基本方法，給出如下例1例1、求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成后一部分由教師講解，以引起學生重視，步驟是：(2描點作圖先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓(圖2-19要強調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少本例實質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準備的，同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：設(shè)d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是MF=將上式化簡，得：(a2-c2x2+a2y2=a2(a

19、2-c2這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓由此例不難歸納出橢圓的第二定義(四橢圓的第二定義1定義平面內(nèi)點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率2說明這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比(五課時小結(jié)解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標系的選取無關(guān)前面我們著重分析了第一個標準方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質(zhì)布置學生最后小結(jié)下列表格：（五）布置作業(yè)1求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和

20、焦點坐標、準線方程：(125x2+4y2-100=0，(2x2+4y2-1=02我國發(fā)射的科學實驗人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面266Km，遠地點距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程3點P與一定點F(2，0的距離和它到一定直線x=8的距離的比是12，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形四、課后反思： 一、教學目標知識與技能：使學生理解并掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的標準方程的推導及標準方程。過程與方法：了解雙曲線的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線模型的過程，感受雙曲線定義在解決實際問題中的作用。情感、態(tài)度與價值觀：通過對雙曲線的定義及標準方程的學

21、習，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，啟發(fā)我們在研究問題時，抓住問題的本質(zhì)。二、教學重點與難點重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程難點：雙曲線的標準方程的推導三、教學過程(一復習提問1橢圓的定義是什么？平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|的點的軌跡叫做橢圓教師要強調(diào)條件：(1平面內(nèi)；(2到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3常數(shù)2a|F1F2|2橢圓的標準方程？(二雙曲線的概念把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？1簡單實驗(邊演示、邊說明如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M

22、移動時，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形這樣作出的曲線就叫做雙曲線2設(shè)問問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？請學生回答，不能強調(diào)“在平面內(nèi)”問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|MF2|問題3：點M與定點F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？請學生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|正確表示為|MF2|-|MF1|問題4：這個常數(shù)是否會大于等于|F

23、1F2|？請學生回答，應小于|F1F2|且大于零當常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線；當常數(shù)|F1F2|時，無軌跡3定義在上述基礎(chǔ)上，引導學生概括雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記(三雙曲線的標準方程現(xiàn)在來研究雙曲線的方程我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程這時設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導標準方程的推導

24、：(1建系設(shè)點取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24建立直角坐標系設(shè)M(x，y為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c0，那么F1、F2的坐標分別是(-c，0、(c，0又設(shè)點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(2點的集合由定義可知，雙曲線就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=±2a(3代數(shù)方程(4化簡方程(由學生演板將這個方程移項，兩邊平方得：化簡整理得：(c2-a2x2-a2y2=a2(c2-a2(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導由雙曲線定義，2c2a 即ca，所以c2-a20設(shè)c2-a2=b2(b0

25、，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2這就是雙曲線的標準方程兩種標準方程的比較(引導學生歸納：說明：(1雙曲線標準方程中，a0，b0，但a不一定大于b；(2如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上(3雙曲線標準方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2(四例題講解：1求滿足下列的雙曲線的標準方程：焦點F1(-3，0、F2(3，0，且2a=4；3已知兩點F1(-5，0、F2(5，0，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不

26、變，會出現(xiàn)什么情況？解：由定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42因為2a=12，2c=10，且2a2c所以動點無軌跡(五課時小結(jié)1定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|的點的軌跡3圖形：4焦點：F1(-c，0、F2(c，0；F1(0，-c、F2(0，c5a、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2五、布置作業(yè)1根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1焦點的坐標是(-6，0、(6，0，并且經(jīng)過點A(-5，2；3已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m0m+n，求其焦點坐標四、課后反思：一、教學目標知識與技能：理解并掌握

27、雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標準方程出發(fā)，推導出這些性質(zhì)，并能根據(jù)這些幾何性質(zhì)解決一些簡單問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納和推理等能力。過程與方法：在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法。情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學習，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題二、教學重點與難點重點：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運用難點：雙曲線的漸近線方程的導出和論證三、教學過程(一復習提問引入新課1橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？2雙曲線的兩種標準方程是什么？下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)

28、(二類比聯(lián)想得出性質(zhì)(性質(zhì)13引導學生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格(讓學生回答，教師引導、啟發(fā)、訂正并板書(三問題之中導出漸近線(性質(zhì)4在學習橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書圖形，那么雙曲線和這個矩形有什么關(guān)系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖(圖2-26有什么指導意義？這些問題不要求學生回答，只引起學生類比聯(lián)想接著再提出問題：當a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？下面，我們來證明它：雙曲線在第一象限的部分可寫成：當x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙

29、曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況現(xiàn)在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點在y軸上的雙曲線方程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字母對調(diào)這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精再描幾個點，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線(四離心率(性質(zhì)5由于正確認識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊這時，教師指出：焦點在y軸上的雙

30、曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標系的選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變(五典型例題剖析：1求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程由此可知，實半軸長a=4，虛半軸長b=3焦點坐標是(0，-5，(0，5本題實質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點講解并加以歸納小結(jié)解：設(shè)d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合：化簡得：(c2-a2x2-a2y2=a2(c2-a2這就是雙曲線的標準方程由此例不難歸納出雙曲線的第二定義(六雙曲線的第二定義1定義(由學生歸納給出平面內(nèi)點M與一定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=叫做雙曲線的準線，常數(shù)

31、e是雙曲線的離心率2說明(七課時小結(jié)：將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標準方程形式列表小結(jié)（八）布置作業(yè)1已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程(116x2-9y2=144；(216x2-9y2=-1442求雙曲線的標準方程：(1實軸的長是10，虛軸長是8，焦點在x軸上；(2焦距是10，虛軸長是8，焦點在y軸上；曲線的方程點到兩準線及右焦點的距離四、課后反思：一、教學目標知識與技能：使學生掌握拋物線的定義，理解焦點、準線方程的幾何意義，能夠根據(jù)已知條件寫出拋物線的標準方程。過程與方法：掌握開口向右的拋物線的標準方程的推導過程，進一步理解求曲線的方法坐標法；通過本節(jié)課的學習，學生在解

32、決問題時應具有觀察、類比、分析和計算的能力。情感、態(tài)度與價值觀：通過一個簡單實驗引入拋物線的定義，可以對學生進行理論來源于實踐的辯證唯物主義思想教育二、教學重點與難點重點：拋物線的定義和標準方程難點：拋物線的標準方程的推導三、教學過程(一導出課題我們已學習了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線今天我們將學習第四種圓錐曲線拋物線，以及它的定義和標準方程課題是“拋物線及其標準方程”請大家思考兩個問題：問題1：同學們對拋物線已有了哪些認識？在物理中，拋物線被認為是拋射物體的運行軌道；在數(shù)學中，拋物線是二次函數(shù)的圖象？問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸

33、、開口向上或開口向下兩種情形引導學生進一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線(二拋物線的定義1回顧平面內(nèi)與一個定點F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當0e1時是橢圓，當e1時是雙曲線，那么當e=1時，它又是什么曲線？2簡單實驗如圖2-29，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A，截取繩子的長等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角

34、邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線反復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結(jié)3定義這樣，可以把拋物線的定義概括成：平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線(三拋物線的標準方程設(shè)定點F到定直線l的距離為p(p為已知數(shù)且大于0下面，我們來求拋物線的方程怎樣選擇直角坐標系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？讓學生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導，最后簡單小結(jié)建立直角坐標系的幾種方案：方案1：(由第一組同學完成，請一學生板練以l為y軸，過點F與直線l垂直的直

35、線為x軸建立直角坐標系(圖2-30設(shè)定點F(p，0，動點M的坐標為(x，y，過M作MDy軸于D，拋物線的集合為：p=M|MF|=|MD|化簡后得：y2=2px-p2(p0方案2：(由第二組同學完成，請一學生板練以定點F為原點，平行l(wèi)的直線為y軸建立直角坐標系(圖2-31設(shè)動點M的坐標為(x，y，且設(shè)直線l的方程為x=-p，定點F(0，0，過M作MDl于D，拋物線的集合為：p=M|MF|=|MD|化簡得：y2=2px+p2(p0方案3：(由第三、四組同學完成，請一學生板練取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(圖2-32拋物線上的點M(

36、x，y到l的距離為d，拋物線是集合p=M|MF|=d化簡后得：y2=2px(p0比較所得的各個方程，應該選擇哪些方程作為拋物線的標準方程呢？引導學生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標準方程這是因為這個方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項系數(shù)是焦點到準線距離的2倍由于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形(列表如下：將上表畫在小黑板上，講解時出示小黑板，并講清為什么會出現(xiàn)四種不同的情形，四種情形中P0；并指出圖形的位置特征和方程的形式應結(jié)合起來記憶即：當對稱軸為x軸時，方程等號右端為±2px，相應地左端為y2；當對稱軸為y軸時，方

37、程等號的右端為±2py，相應地左端為x2同時注意：當焦點在正半軸上時，取正號；當焦點在負半軸上時，取負號(四四種標準方程的應用例題：(1已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2已知拋物線的焦點坐標是F(0，-2，求它的標準方程方程是x2=-8y練習：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標準方程：(1焦點是F(3，0；(3焦點到準線的距離是2由三名學生板練，教師予以糾正這時，教師小結(jié)一下：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程當拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了

38、；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定，則所求的標準方程就會有多解(五課時小結(jié)本節(jié)課主要介紹了拋物線的定義，推導出拋物線的四種標準方程形式，并加以運用（六）布置作業(yè)到準線的距離是多少？點M的橫坐標是多少？2求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：(1x2=2y；(24x2+3y=0；(32y2+5x=0；(4y2-6x=03根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并描點畫出圖形：(1頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6；(2頂點在原點，對稱軸是y軸，并經(jīng)過點p(-6，-34求焦點在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標準方程四、課后反思：一、教學目標知識與技能：使學生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)

39、，能運用拋物線的標準方程推導出它的幾何性質(zhì)，同時掌握拋物線的簡單畫法。過程與方法：通過對拋物線的標準方程的研究，得出拋物線的幾何性質(zhì)，并應用拋物線的性質(zhì)解決有關(guān)拋物線的實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，提高我們的綜合素質(zhì)。情感、態(tài)度與價值觀：使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題二、教學重點與難點重點：拋物線的幾何性質(zhì)及初步運用難點：拋物線的幾何性質(zhì)的應用三、教學過程(一復習1拋物線的定義是什么？2拋物線的標準方程是什么？下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標準方程y2=2px(p

40、0出發(fā)來研究它的幾何性質(zhì)(二幾何性質(zhì)怎樣由拋物線的標準方程確定它的幾何性質(zhì)？以y2=2px(p0為例，用小黑板給出下表，請學生對比、研究和填寫填寫完畢后，再向?qū)W生提出問題：和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比，拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點？學生和教師共同小結(jié)：(1拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線(2拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準線或與頂點和焦點的連線重合，拋物線沒有中心(3拋物線只有一個頂點，它是焦點和焦點在準線上射影的中點(4拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比較其結(jié)果是應規(guī)定拋物線的離心率為1注意：這樣不僅引入了拋物線離心

41、率的概念，而且把圓錐曲線作為點的軌跡統(tǒng)一起來了(三應用舉例為了加深對拋物線的幾何性質(zhì)的認識，掌握描點法畫圖的基本方法，給出如下例1例1 已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點解：因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點程是y2=4x后一部分由學生演板，檢查一下學生對用描點法畫圖的基本方法掌握情況第一象限內(nèi)的幾個點的坐標，得：(2描點作圖描點畫出拋物線在第一象限內(nèi)的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分(如圖2-33例2 已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(-3，m到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋物線方

42、程為y2=-2px(p0，則準線方因為拋物線上的點M(-3，m到焦點的距離|MF|與到準線的距離得p=4因此，所求拋物線方程為y2=-8x又點M(-3，m在此拋物線上，故m2=（-8）*(-3解法二：由題設(shè)列兩個方程，可求得p和m由學生演板由題意在拋物線上且|MF|=5，故本例小結(jié)：(1解法一運用了拋物線的重要性質(zhì)：拋物線上任一點到焦點的距離(即此點的焦半徑等于此點到準線的距離可得焦半徑公式：設(shè)P(x0，這個性質(zhì)在解決許多有關(guān)焦點的弦的問題中經(jīng)常用到，因此必須熟練掌握(2由焦半徑不難得出焦點弦長公式：設(shè)AB是過拋物線焦點的一條弦(焦點弦，若A(x1，y1、B(x2，y2則有|AB|=x1+x2

43、+p特別地：當ABx軸，拋物線的通徑|AB|=2p(詳見課本習題例3 過拋物線y2=2px(p0的焦點F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點，且A(x1，y1、B(x2，y2(圖2-34證明：(1當AB與x軸不垂直時，設(shè)AB方程為：此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點的縱坐標，則有y2y2=-p2或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2綜合上述有y1y2=-p2又A(x1，y1、B(x2，y2是拋物線上的兩點，本例小結(jié)：(1涉及直線與圓錐曲線相交時，常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量，得到關(guān)于另一變量的一元二次方程，然后用韋達定理求解，這是解決這類問題的一種常用方法(2本例命題1是課

44、本習題中結(jié)論，要求學生記憶(四課堂練習1過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1、B(x2，y2兩點，若x1+x2=6，求|AB|的值2證明：與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個交點(五課時小結(jié)：1拋物線的幾何性質(zhì)；2拋物線的應用（六）布置作業(yè)1在拋物線y2=12x上，求和焦點的距離等于9的點的坐標2有一正三角形的兩個頂點在拋物線y2=2px上，另一頂點在原點，求這個三角形的邊長3圖2-35是拋物線拱橋的示意圖，當水面在l時，拱頂高水面2m，水面寬4m，水下降11m后，水面寬多少？4求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓，必與拋物線的準線相切四、課后反思：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（專

45、題課）一、教學目標知識與技能：使學生掌握直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點掌握直線與圓錐曲線相交的有關(guān)問題過程與方法：通過對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學生綜合運用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力情感、態(tài)度與價值觀：通過直線與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力二、教學重點與難點重點：直線與圓錐曲線的相交的有關(guān)問題難點：圓錐曲線上存在關(guān)于直線對稱的兩點，求參數(shù)的取值范圍三、教學過程(一問題提出1點P(x0，y0和圓錐曲線C：f(x，y=0有哪幾種位置關(guān)系？它們的條件是什么？引導學生回答，點P與圓錐曲線C的位置關(guān)系有：點P在曲線C上、點P在曲線C內(nèi)部(含焦點區(qū)域、點P

46、在曲線的外部(不含焦點的區(qū)域那么這三種位置關(guān)系的條件是什么呢？這是我們要分析的問題之一2直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y=0有哪幾種位置關(guān)系？引導學生類比直線與圓的位置關(guān)系回答直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離那么這三種位置關(guān)系的條件是什么呢？這是我們要分析的問題之二(二講授新課1點M(x0，y0與圓錐曲線C：f(x，y=0的位置關(guān)系的焦點為F1、F2，y2=2px(p0的焦點為F，一定點為P(x0，y0，M點到拋物線的準線的距離為d，則有：2直線lAxBxC=0與圓錐曲線Cf(x，y0的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來

47、說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件3應用求m的取值范圍解法一：考慮到直線與橢圓總有公共點，由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的充要條件可求由一名同學板練解答為：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上，知：0m5又 直線與橢圓總有公共點，即(10k2-4x(m+5k2×5(1-m0，亦即5k21-m對一切實數(shù)k成立1-m0，即m1故m的取值范圍為m(1，5解法二：由于直線過定點(0，1

48、，而直線與橢圓總有公共點，所以定點(0，1必在橢圓內(nèi)部或邊界上，由點與橢圓的位置關(guān)系的充要條件易求另解：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上知：0m5又直線與橢圓總有公共點 直線所經(jīng)過的定點(0，1必在橢圓內(nèi)部或邊界上故m的取值范圍為m(1，5，小結(jié)：解法一由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的充要條件求，思路易得，但計算量大；解法二由點與圓錐曲線的位置關(guān)系的充要條件求，思路靈活，且簡捷稱，求m的取值范圍解法一：利用判別式法并整理得：直線l與橢圓C相交于兩點，解法二：利用內(nèi)點法設(shè)兩對稱點為P1(x1，y1，P2(x2，y2，P1P2的中點為M(x0，y0，y1+y2=3(x1+x2(1小結(jié)：本例中的判別式法和

49、內(nèi)點法，是解決圓錐曲線上存在兩點關(guān)于直線的對稱的一般方法，類似可解拋物線、雙曲線中的對稱問題練習1：(1直線過點A(0，1且與拋物線y2=x只有一個公共點，這樣的直線有幾條？(2過點P(2，0的直線l與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點，這樣的直線有幾條？練習2：求曲線Cx2+4y2=4關(guān)于直線y=x-3對稱的曲線C的方程由教師引導方法，學生板練完成(三課時小結(jié)本課主要研究了點、直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系及重要條件（四）布置作業(yè)的值2k取何值時，直線ykx與雙曲線4x2-y2=16相交、相切、相離？3已知拋物線x=y2+2y上存在關(guān)于直線y=x+m對稱的相異兩點，求m的取值范圍四、課后反思：

50、第二章 圓錐曲線小結(jié)與復習（兩課時）（復習課）一、教學目標：知識與能力：通過小結(jié)與復習，使同學們完整準確地理解和掌握三種曲線的特點以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系過程與方法：通過本節(jié)教學使學生較全面地掌握本章所教的各種方法與技巧，尤其是解析幾何的基本方法坐標法；并在教學中進一步培養(yǎng)他們形與數(shù)結(jié)合的思想、化歸的數(shù)學思想以及“應用數(shù)學”的意識情感、態(tài)度與價值觀：結(jié)合教學內(nèi)容對學生進行運動變化和對立統(tǒng)一的觀點的教育 二、教學重點與難點：重點：三種曲線的標準方程和圖形、性質(zhì) 難點：做好思路分析，引導學生找到解題的落足點 三、教學過程：（一）基礎(chǔ)知識回顧：1橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長（定長大于

51、兩定點間的距離）的動點的軌跡2橢圓的標準方程：， （）3橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程( (1范圍: ,，橢圓落在組成的矩形中(2對稱性:圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于原點對稱原點叫橢圓的對稱中心，簡稱中心軸、軸叫橢圓的對稱軸從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距（3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點橢圓共有四個頂點： ，兩焦點共有六個特殊點 叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸長分別為 分別為橢圓的長半軸長和短半軸長橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點(4離心率: 橢圓焦距與長軸長之比橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特例 橢圓變扁，直至成為極限位置線

52、段，此時也可認為圓為橢圓在時的特例 4橢圓的第二定義:一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù)，那么這個點的軌跡叫做橢圓 其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)就是離心率橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式5橢圓的準線方程對于，左準線；右準線對于，下準線；上準線焦點到準線的距離橢圓的準線方程有兩條，這兩條準線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱 6橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑）,（右焦半徑）,其中是離心率 焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的下上焦點）焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點的左右有關(guān)，而與點在左在右無關(guān) 可以記為：左加右減

53、，上減下加7雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距在同樣的差下，兩定點間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線） 兩定點間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線） 雙曲線的形狀與兩定點間距離、定差有關(guān)8雙曲線的標準方程及特點： （1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種：焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,；焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,(2有關(guān)系式成立，且其中a與b的大小關(guān)系:可以為9焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應的字母所在的軸就是焦點所在的軸 而雙曲線是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上10雙曲線的幾何性質(zhì)：（1）范圍、對稱性 由標準方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心 （2）頂點頂點：，特殊點：實軸：長為2a, a叫做半實軸長 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長雙曲線只有兩個頂點