15級《微積分1》復(fù)習(xí)要點

1、15級微積分1復(fù)習(xí)要點依據(jù)微積分教學(xué)大綱和教考分離制度對微積分1期末考試說明如下：一、 試卷題型與考試知識要求試卷客觀題與主觀題比例大約為30%與70%，客觀題主要考查基本概念與基本關(guān)系，主觀題主要考查基本運算和基本理論。對基本概念、基本關(guān)系的要求表述為理解，對基本運算、基本理論的要求表述為會求或會證明。題型（題量）選擇題（8）填空題（8）計算題（10）證明題（2）分值16分16分60分8分 二、 知識點及要求第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)（26%）1、理解函數(shù)的定義域；（1）函數(shù)的定義域是 . （2）函數(shù)的定義域是 。 （3）函數(shù)的定義域是 。（4）函數(shù)的定義域是 。2、會求各種未定型的極限.例如

2、、（1）計算極限解：=（2）計算極限.解：= = （3）計算極限.解：= =（4）計算極限解：=2（5）計算極限 解：= （6）計算極限 解：=（7）計算極限 .解：= = =（8）計算極限.解：= =（9）計算極限 .解：= （10）計算極限 解：=（11）計算極限 解：（12）計算極限 解：（13）計算極限解：.（14）計算極限解：/（15）計算極限解：3、理解無窮小的運算 (1) 下列極限計算正確的是（ D ）.A、 B、 C、 D、(2) = 0 .(3) 0 .4、理解間斷點概念與類型； (1) 設(shè) A、可去間斷點 B、無窮間斷點 C、連續(xù)點 D、跳躍間斷點(2) 設(shè)，則是（D）A、

3、可去間斷點 B、無窮間斷點 C、連續(xù)點 D、跳躍間斷點（3）函數(shù) ，是函數(shù)的（ A ）.A、連續(xù)點 B、跳躍間斷點 C、可去間斷點 D、無窮間斷點5、會利用零點定理證明方程有解（1）證明方程 在 內(nèi)至少有一個實根證明：設(shè) 即 方程在（0，1）內(nèi)至少存在一個實根（2）證明方程在（1，2）內(nèi)至少存在一個實根.證明：. 即 方程在（1，2）內(nèi)至少存在一個實根（3）證明方程在0和2之間至少有一個實根證明：設(shè),方程在0和2之間至少有一個實根（4）證明方程至少有一個小于1的正根證明：設(shè)，0，即 方程在（0，1）內(nèi)至少存在一個實根第二章 導(dǎo)數(shù)與微分(26%)1、理解導(dǎo)數(shù)的定義；（1）設(shè)存在，則（ B ）A、

4、 B、 C、 D、不存在（2）若存在，則（ B ）A、 B、 C、 D、（3）設(shè)在可導(dǎo)，則（ B ）A. B. A. B. 2、會求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)。 （1）若函數(shù)可導(dǎo)，設(shè)，求.解：（2）若函數(shù)可導(dǎo)，設(shè)，求.解：（3）若函數(shù)可導(dǎo)，設(shè)，求.解：3、會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）已知由確定了 ，求 解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得 （2）設(shè)函數(shù)由方程所確定，求解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得 （3）設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù) (4) 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù) (5) 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù) 4、理解參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， (1) 已知，求.解：(2) 已

5、知，求.解：(3) 已知，求.解：5、會利用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo).(1) 已知 ，求 ；解：方程兩邊取對數(shù) 兩邊對求導(dǎo)數(shù)(2) 已知 ，求 ；解：方程兩邊取對數(shù) 兩邊對求導(dǎo)數(shù) （3) 已知 ，求 ；解：方程兩邊取對數(shù) 兩邊對求導(dǎo)數(shù)6、理解函數(shù)的微分。（1）已知 求 ；解：（2）已知 求 ；解：（3）已知 求 ；解：7、理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系；（1） 函數(shù)在點處可微是在點處連續(xù)的( B ).（2） 函數(shù)在點處連續(xù)是在點處可微的( A ). （3） 函數(shù)在點處可微是在點處可導(dǎo)的( C ).（4） 函數(shù)在點處連續(xù)是在點處可導(dǎo)的( A ). （5）函數(shù)在點處可導(dǎo)是在點處連續(xù)的( B ).A、必要條件 B

6、、充分條件 C、充分必要條件 D、既非充分也非必要條件第三章 微分中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(28%)1、理解羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論；（1）函數(shù)在區(qū)間滿足羅爾定理結(jié)論的（2）函數(shù)在區(qū)間滿足羅爾定理結(jié)論的（2）函數(shù)在區(qū)間滿足拉格朗日中值定理結(jié)論的（4）使函數(shù)適合羅爾定理條件的區(qū)間是（D）A、；B、；C、；D、.（5）對于函數(shù)，滿足羅爾定理全部條件的區(qū)間是（ D ）.（A）；（B）；（C）；（D）2、會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值； 教材例題7（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值解： 定義域為 -2（-2,1）1（1，）+20-7+極大值極小值 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.極大

7、：，極?。?（3）求的單調(diào)區(qū)間和極值解： 定義域為 0（0，2）2（2，）+0-4+極大值極小值 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.極大：，極小：.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.極大：，極小：.3、會利用單調(diào)性證明不等式及判斷方程根的唯一性（1）當(dāng)時，證明 ；教材例5（2）當(dāng)時，證明.證明：設(shè)，則在上連續(xù)， 因為 當(dāng),時 所以單調(diào)遞增 因此，即 （3）當(dāng)時，證明不等式： 證明：設(shè)，則在上連續(xù) 因為， 當(dāng)時 所以單調(diào)遞增因此 即（4）當(dāng)時，證明：.證明：設(shè)，則在上連續(xù)， 因為當(dāng)時， 所以單調(diào)遞增 因此 即. （5）證明不等式：當(dāng)時，證明.證明：設(shè) 則在上連續(xù)且， 因為 當(dāng),時 所以單調(diào)遞增 因此，即 （

8、6）證明方程在之間有且僅有一個實根證明：令， 所以 在上至少一個根，又， 當(dāng)時，所以單調(diào)遞增，因此 在上有且僅有一個根.（7）證明方程在之間有且僅有一個實根證明：令， 所以 在上至少一個根，又， 當(dāng)時，所以單增，因此在上至多有一個根. 在上有且僅有一個根.（8）證明方程在之間存在唯一一個實根證明：令， 所以 在上至少一個根，又， 當(dāng)時，所以單增，因此在上至多有一個根. 在上有且僅有一個根.4、會求曲線的凹凸區(qū)間與拐點， （1）確定函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點.解：定義域為 當(dāng)時， 在上凸，當(dāng)時， 在上凹.拐點：。5、理解曲線的鉛垂?jié)u近線和水平漸近線。（1）求 的水平漸近線和鉛直漸近線.解：， 所以是垂

9、直漸近線 又，所以是水平漸近線（2）曲線的水平漸近線為鉛直漸近線為（3）曲線的水平漸近線為鉛直漸近線為6、會求常見經(jīng)濟函數(shù)的最值和彈性；教材習(xí)題七 （1）一個公司已估算出產(chǎn)品的成本函數(shù)為（萬元）。求時的總成本；求時的平均成本、邊際成本；求產(chǎn)量為多大時，平均成本最低？求出最低平均成本。解: 時的總成本為（萬元） 由于平均成本函數(shù)為,邊際成本函數(shù)為，即得：時的平均成本為（萬元）或為，平均成本為（萬元），時的邊際成本為（萬元），由平均成本函數(shù)得，令，得，由于，知當(dāng)產(chǎn)量為60單位時，平均成本最低。最低平均成本為（萬元）， (2)設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為（元），收益函數(shù)為（元）。求當(dāng)時的總利潤，邊際利潤

10、；為使利潤最大化，公司必須生產(chǎn)并銷售多少件產(chǎn)品？并求出最大利潤。解由已知得總利潤函數(shù)為于是，邊際利潤函數(shù)為，從而得當(dāng)時的總利潤為（元）,邊際利潤為（元）,由總利潤函數(shù)得邊際利潤，可得利潤函數(shù)的唯一駐點，由于，可知，為使利潤最大化，公司必須生產(chǎn)并銷售300件產(chǎn)品，最大利潤為元。(3) 設(shè)某商品的需求函數(shù)為。求需求彈性函數(shù)；求，并說明其經(jīng)濟意義；當(dāng)時，價格上漲1%，總收益變化百分之幾？是增加還是減少？【解】由得需求彈性函數(shù)。，其經(jīng)濟意義是，當(dāng)價格為4時，再提高價格1%，將使需求量下降0.54%。當(dāng)時，價格上漲1%，總收益變化的百分比屬于總收益對價格的彈性，由于總收益對價格的彈性函數(shù)為，當(dāng)時，可知，

11、當(dāng)時，價格上漲1%，總收益變化0.46%，是增加。(5)設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求需求彈性函數(shù)；求時的需求彈性函數(shù)；當(dāng)時，若價格上漲1%，其總收益變化百分之幾？是增加還是減少？解 由得需求彈性函數(shù)。當(dāng)時的需求彈性函數(shù)是，當(dāng)時，價格上漲1%，總收益變化的百分比屬于總收益對價格的彈性，由于總收益對價格的彈性函數(shù)為，當(dāng)時，可知，當(dāng)時，價格上漲1%，總收益變化0.93%，是增加。第四章 不定積分(10%)1、理解原函數(shù)、不定積分的概念，(1) 已知的一個原函數(shù)為，則(2) 已知的一個原函數(shù)為，則(3) 設(shè),則.(4) .(5) 下列等式中正確的是（B ）A、；B、；C、；D、(6) 若不定積分，則.(7) 設(shè),則(8) .2、會求不定積分（直接積分法、第一類換元積分法和第二類換元積分法和分部積分法），例如計算 等；(1) 計算不定積分.解： (2)計算不定積分.解： (3)計算不定積分.解： (4) 計算不定積分解：令(5) 計算不定積分解：令（6）計算不定積分.解：=（7）計算不定積分.解：=（8）計算不定積分.解：=第五章 定積分(10%)1、