(優(yōu)秀教案)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

1、課題算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時(shí)）授課教師：河北省玉田縣林南倉(cāng)中學(xué)數(shù)學(xué)組金志剛一、教學(xué)目標(biāo)（一） 知識(shí)目標(biāo)1. 重要不等式：若 a, b R,那么 a2+ b22ab（當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時(shí)取“二”號(hào)）.2. 算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)及它們的關(guān)系.（二） 能力目標(biāo)1. 通過(guò)自學(xué)學(xué)會(huì)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這 個(gè)重要定理及其推導(dǎo).2. 理解這個(gè)定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)取等號(hào)的條件是: 當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等（三）情感滲透目標(biāo)通過(guò)掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用公式的適當(dāng)變形，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決 問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力二、教學(xué)重點(diǎn)1

2、.重要不等式：如果 a、b R,那么 a2+ b2 2ab（當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時(shí)取“2. 如果 a、b 是正數(shù)，則為 a、b 的算術(shù)平均數(shù)，.ab 是 a、b 的幾何平2均數(shù)，且有“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”.即定理：如果a、b 是正數(shù)，那么 U . ab （當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時(shí)取“二”號(hào)）.23. 上面兩個(gè)公式都帶有等號(hào)的不等式，其中的“當(dāng)且僅當(dāng)”時(shí)取“二”號(hào)的=、. ab = a= b.綜合起來(lái)，就是 a=b是-一b= . ab 的充要條件.2三、教學(xué)難點(diǎn)1. a2+ b22ab 和- ab 成立的條件不相同，前者只要求 a、b 都是實(shí)2數(shù)，而后者要求 a、b 都是正

3、數(shù).2. 這兩個(gè)公式還可以變形用來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題.2 2ab 0-，abb：=a b0；a= b= a b= O；avb 二 a bv0；一般步驟是：作差-變形一判斷差值符號(hào)一得出結(jié)論；主要用途： 兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較；不等式性質(zhì)的證明；證明不等式及解不等式.(二) 不等式性質(zhì)的鞏固及應(yīng)用(投影片 3)課堂上，充分發(fā)揮師生的雙邊活動(dòng)，共同復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)，共同歸納， 打出投影片 4,使學(xué)生掌握下列不等式的基本性質(zhì)： 反對(duì)稱(chēng)性 a歸 bva；傳遞性ab，bc= ac； (3)可加性 ab= a+ cb+ c；可積性 a b，c0= acbc； ab，cv0= acvbc；(5)力口法法貝Uab，

4、cd= a+ cb+d；乘法法則 ab0，cd0 :acbd； (7)乘方法則 ab0= a bn(n N)； (8)開(kāi)方法則 a b 0 二糜(n N.(三)為進(jìn)一步更好地鞏固不等式的性質(zhì)， 在教師引導(dǎo)下讓學(xué)生做如下練習(xí)：已知 a、b 為正實(shí)數(shù)，m nN 且 mn，求證：am+bmamnbn+anbmn.師 本題考查同學(xué)們正確地理解和運(yùn)用不等式的性質(zhì).在運(yùn)用不等式的性 質(zhì)時(shí)，多觀察，多思考，考慮問(wèn)題一定要全面細(xì)致 .請(qǐng)同學(xué)們自己完成本題證明 過(guò)程.生(a+b) (a b+a b)=(aa b) + (ba b)m nn nm- nn n、=a(ab) +b(ba)=(ab) (ab) n n

5、n 1 1，a0 0，b0 0當(dāng)ab0 0 時(shí)，貝y am_nbm_n，anbn(anbn) (anbn)0當(dāng)a=b0 0 時(shí)，貝U(am_nbmn) (anbn)= 0 0當(dāng)ba0 0 時(shí)，貝Ubm_namn，bnan( a論nbn)(anbn)0 0綜上所述，當(dāng)a、b為正實(shí)數(shù)，m nN*且mn時(shí)，, m-n m-n、n _ nx亠( (a- -b)()(a- -b) ) 0 0mm-即a+ba b+a b下面，我們利用不等式的性質(zhì)，研究推導(dǎo)本課重要的不等式 .2.學(xué)生安自學(xué)指導(dǎo)的提示自學(xué)本課內(nèi)容。(5 分鐘)3 效果檢測(cè)：(一)學(xué)生自由發(fā)言，依據(jù)自學(xué)指導(dǎo)依次匯報(bào)自學(xué)成果，教師點(diǎn)撥。A.教師

6、應(yīng)該點(diǎn)出的內(nèi)容：在公式一二以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學(xué)中，要讓學(xué)生注意以下兩點(diǎn)：(1)上一:和 成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求-都是正數(shù)。(2)這兩個(gè)公式都是帶有等號(hào)的不等式，因此對(duì)其中的當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取=號(hào)”這句話(huà)的含義要搞清楚。教學(xué)時(shí)，要提醒學(xué)生從以下兩個(gè)方面來(lái)理解這句話(huà)的含義：綜合起來(lái)，其含義就是：；一是B.對(duì)于均值不等式還可以有如下證明:/ a，b 為正數(shù) a 0，b0a=當(dāng)時(shí)取等號(hào)，其含義就是:僅當(dāng)一； 時(shí)取等號(hào)， 其含義就是:=九莎a=b.a b一a b -2、ab （. a - Jb）2ab =2 2 2當(dāng) a= b 即.a 二 b 時(shí)， 迂二 0,有a

7、-ab.22當(dāng) azb 即 i a半、.b 時(shí)，匕衛(wèi)0,有.ab22綜上所述，當(dāng) a、b 為正數(shù)時(shí)，有_.ab （當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時(shí)取2號(hào)）C.1.如果把 口 看作是正數(shù) a、b 的等差中項(xiàng)，.ab 看作是正數(shù) a、b 的等2比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)2.在數(shù)學(xué)中，我們稱(chēng)a b為 a、b 的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng) ab 為 a、b 的幾何平2均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)3.定理：“如果 a、b 是正數(shù)，那么 丄衛(wèi)_ab（當(dāng)以 a+ b 長(zhǎng)的線(xiàn)段為直徑作圓，在直徑 AB 上取點(diǎn) C,使 AC= a，CB= b.過(guò)點(diǎn) C

8、作垂直于直徑 AB 的弦 DD，連接 AD DB,易證Rt AC MRt DCB,那么C C A-CB即CD、ab.這個(gè)圓的半徑為 心，顯然，它大于或等于 CD 即心 二廊，其中當(dāng)且2 2僅當(dāng)點(diǎn) C 與圓心重合，即 a=b 時(shí)，等號(hào)成立.（二）學(xué)生做效果檢測(cè)判斷題，進(jìn)一步明確重要不等式的應(yīng)用條件：“正、定、等?！蹦軌虮嫖龊?jiǎn)單的變式。對(duì)第四個(gè)問(wèn)題可做如下解釋?zhuān)?413-13（拆分法）f（X）= X （0 ：X _ 1）=（X 一_ 2, x5，當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時(shí)“=”xxx x1號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是 5。當(dāng)然此題還可用單調(diào)性法，提一提即可，不要用太多時(shí)間, 可作為研究性問(wèn)題讓學(xué)生課下研究。且

9、僅當(dāng) a= b 時(shí)取“=”號(hào)）所示）的一種幾何解釋?zhuān)ㄈ鐖D24 簡(jiǎn)單應(yīng)用 應(yīng)用 2 找 1 個(gè)學(xué)生板演，其余出示幻燈片。1.已知 a、b、c 都是正數(shù)，求證(a+b) (b+c) (c+a)8abc分析：對(duì)于此類(lèi)題目，選擇定理：U ab(a0, b0)靈活變形,2可求得結(jié)果答案：Ia, b, c 都是正數(shù)a+ b2.：?ab 0b+ c2、be 0c + a2 _ ac 0(a+b) (b+c) (c+a)2 ab2 bc2 ac=8abc即(a+b) (b+c) (c+a)8abc.2.已知 x、y 都是正數(shù)，求證：乂仝 2;x y(2)(x+y) (x2+y2) (x3+y3)8x3y3.分

10、析：在運(yùn)用定理： _、.ab時(shí)，注意條件 a、b 均為正數(shù)，結(jié)合不等式2的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形答案： x，y 都是正數(shù)x0，義 0，x20，y20, x30，y30y x(1)x_2x y= 2 即 H 2. y x y xy x22toox+yA2 .x y0 x3+y32x3y30(x+y) (x2+y2) (x3+y3)A2 .xy2x2y22x3y3= 8旳2233、33即(x+y) (x+y) (x+y)A8xy .3.求證:2”a2b22分析：利用完全平方公式，結(jié)合重要不等式: 明本題的關(guān)鍵.答案： a2+ b2 2ab/. 2 (a2+ b2) a2+ b2

11、+ 2ab=( a+ b)2 2 22 (a + b )(a + b)不等式兩邊同除以 4,得5 引申探究:例題已知：(a+ b) (x + y) 2 (ay+ bx)，求證：x_y.a_b_2 a _ b x _ y師本題結(jié)論中，注意與口 互為倒數(shù)，它們的積為 1,可利用公a _ b x _ y式 a+ b2 ab，但要注意條件 a、b 為正數(shù).故此題應(yīng)從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)變形，說(shuō)明與口 為正數(shù)開(kāi)始證題.a b x _ y(在教師引導(dǎo)，學(xué)生積極參與下完成證題過(guò)程)生( a+ b) (x + y) 2 (ay + bx)/. ax + ay+ bx+ by 2ay + 2bxax ay+ by

12、 bx 0( ax bx) ( ay by) 0( a b) (x y ) 0 即 a b 與 x y 同號(hào)4 與 U 均為正數(shù)a -b x - y.x-y . a-b _2 x-y a-b = ?(當(dāng)且僅當(dāng) 匚！ =口 時(shí)取“=”號(hào))a-b x_y a-b x-ya_bx_y口 2.a _b xy師生共析我們?cè)谶\(yùn)用重要不等式 a2+ b22ab 時(shí)，只要求 a、b 為實(shí)數(shù)就 可以了 .而運(yùn)用定理：“ 3 _ab”時(shí)，必須使 a、b 滿(mǎn)足同為正數(shù).本題通過(guò)a2+ b22ab,恰當(dāng)變形，是證b2(芋)2 2ab；兩正數(shù) a、b 的算術(shù)平均數(shù) （玄空）,幾何平均數(shù)（%/ab ）及它們的關(guān)系（玄竺vab ）.它們成立的條2 2件不同，前者只要