一個有趣的歌詞

1、1研究課教學(xué)設(shè)計案例：燒開水中的數(shù)學(xué)問題授課教師：劉靜 北京市第十五中學(xué)編者按： 北京市第十五中學(xué)是北京市重點中學(xué)， 以研究性學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)建模見長， 學(xué)校每 年都有一批學(xué)生在北京市高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽中獲得優(yōu)秀成績。 作為一名年輕教師， 劉靜 老師在圖形計算器與中學(xué)數(shù)學(xué)課程的整合中進行了積極的探索， 下文就是她的其中一次嘗試 成果。本文還請?zhí)丶壗處熕妍慃惱蠋煆乃膫€方面對教學(xué)設(shè)計進行了點評。1.1.教學(xué)內(nèi)容分析：此課題選自普通高中新課標數(shù)學(xué)教材北師大版數(shù)學(xué)1 1，是高一上學(xué)期函數(shù)部分的教學(xué)內(nèi)容。不同于一般的課型，此課在教師提出問題“如何燒開水最省煤氣？”之后，由學(xué)生 設(shè)計實驗方案， 親自做實驗采集

2、數(shù)據(jù)， 師生共同分析數(shù)據(jù)解決問題。 本課旨在使學(xué)生了解函 數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用， 體會實際問題數(shù)學(xué)化的方法， 經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程、 體會函 數(shù)擬合的思想及操作步驟。評論 1 1 ：課題選擇符合課改理念課程標準 要求學(xué)生把函數(shù)作為描述客觀世界的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)。 基于此， 劉老師選擇了新課標教材數(shù)學(xué)必修 1 1（北師大版）第四章 2.32.3 函數(shù)建模案例為教學(xué)內(nèi)容。期望學(xué)生親身經(jīng)歷一個自主探究、動手實踐、合作交流的學(xué)習(xí)過程。選題符合新課程理念。2.2.學(xué)生背景：學(xué)生此時已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)習(xí)了除三角函數(shù)以外的其它基本初等 函數(shù)。會用圖形計算器進行函數(shù)擬合的基本操作。教學(xué)內(nèi)

3、容的完成不只是在一節(jié)課， 課前進行了大量的準備工作。 但正是由于有學(xué)生的親 身經(jīng)歷過程，使得學(xué)生有解決問題的內(nèi)心需要，因此學(xué)生課上積極性很高， 積極思考， 并且 樂于發(fā)表自己的看法。有的學(xué)生實驗誤差較大， 得到的數(shù)據(jù)不一定用二次函數(shù)擬合最好。 應(yīng)該用圖形計算器對 擬合效果進行分析、 比較，選取最優(yōu)的函數(shù)擬合。 但因?qū)W生課前不了解圖形計算器的此功能， 因此本課沒有把它作為教學(xué)內(nèi)容的一部分，準備放到后序課再討論。3.3.教學(xué)目標：1.1. 通過“燒開水時如何最省燃氣”這一實際問題解決的過程，學(xué)生經(jīng)歷從采集數(shù)據(jù)，到借 助手持技術(shù)處理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的全過程，了解函數(shù)在解決實際問題 中的

4、應(yīng)用，體會實際問題數(shù)學(xué)化的方法。2.2. 通過對所采集數(shù)據(jù)的分析，學(xué)生發(fā)展對數(shù)據(jù)的觀察、分析能力；通過實際問題的解決提 高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 , , 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)有用的意識以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。3 3滲透數(shù)形結(jié)合、運動變化的思想方法。 教學(xué)重點：實際問題數(shù)學(xué)化的過程，函數(shù)擬合的思想 教學(xué)難點：實際問題數(shù)學(xué)化的過程4.4.方案構(gòu)思：主要活動及其設(shè)計意圖 : : * *課前學(xué)生分小組，討論設(shè)計實驗步驟 * *學(xué)生在家做燒開水進行實驗采集數(shù)據(jù)，記錄每次的燃氣用量 * *課上，師生共同分析數(shù)據(jù)，利用圖形計算器進行數(shù)據(jù)處理，得到問題的解。2* *總結(jié)解決問題的全過程，進行反思評論 2 2教學(xué)方式靈活本節(jié)課

5、劉老師采用了課內(nèi)外結(jié)合的方式。即，上節(jié)課課內(nèi)：閱讀教材提供的背景資料提出要解決的實際問題一一自由結(jié)合，組成學(xué)習(xí)小組一一布置研究任務(wù)一一對將要實 施的實驗方案進行師生交流。課外：各學(xué)習(xí)小組作實驗一一收集相關(guān)數(shù)據(jù)，并借助手持技 術(shù)輔助處理數(shù)據(jù)一一建立數(shù)學(xué)模型一一用模型解釋所實際問題。本節(jié)課課內(nèi)：師生交流解 決問題過程中所遇到的各種問題一一各組報告結(jié)果對解決實際問題的指導(dǎo)作用、合作的經(jīng) 歷、遇到的困難等。在這樣一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，加深了學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認識，體驗運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，較好的把握了促進學(xué)生對變量數(shù)學(xué)認識的機會。5.5.實際教學(xué)過程描述：一. 引入：現(xiàn)在許多家庭都以燃氣為燒水

6、做飯的燃料，節(jié)約用氣是非?，F(xiàn)實的問題，怎樣燒開水最省燃氣？省燃氣的含義就是燒開一壺水的燃氣用量少。一般來說，燒水時是通過燃氣灶上的旋鈕控制燃氣流量的，旋鈕在不同位置燒開一壺水所用的燃氣量是不同的。于是，問題就是： 旋鈕在什么位置時燒開一壺水的燃氣用量最少？ 這是一個來自實際生活中的問題，學(xué)生親自動手做實驗，經(jīng)歷采集數(shù)據(jù)的過程 從學(xué)生采集的數(shù)據(jù)中，選取一組有代表性的數(shù)據(jù)觀察、分析 項目 位置燃氣表開 始時讀數(shù)(m(m3) )燃氣表水開時讀數(shù)(m(m3) )所用燃氣量( (m m3) )2020 0.6970.6970.7660.7660.0690.0693030 0.7660.7660.8230

7、.8230.0570.0574040 0.8230.8230.8600.8600.0470.0475050 0.8600.8600.9030.9030.0430.0436060 0.9030.9030.9480.9480.0450.0457070 0.9480.9481.0001.0000.0520.0528080 1.0001.0001.0631.0630.0630.0632 2 6E-5X5XZ Z* * -2.-2.7E-3-X+0?7E-3-X+0?二. 新課：(1 1 )分析采集的數(shù)據(jù)，尋找突破口燃氣旋鈕在不同位置時燒開一壺水所需燃氣量表3旋鈕在什么位置時燒開一壺水的燃氣用量最少？我

8、們不可能測出所有旋鈕轉(zhuǎn)角對應(yīng)的燃氣用量值，只能測出 有限的幾組數(shù)據(jù)，那這幾組數(shù)據(jù)能給我們什么啟示呢？觀察此表格你發(fā)現(xiàn)了什么？ 隨著旋鈕轉(zhuǎn)角的增大， 所用燃氣量有何變化趨勢？ （先減小后增大） 何時會達到最??？ 任意一個旋鈕位置都對應(yīng)著唯一的一個燃氣用量。燃氣用量與旋鈕的位置是什么關(guān) 系？（函數(shù)關(guān)系）怎樣更直觀地將這種變化趨勢表示出來？ 引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，尋找問題的突破口 畫出數(shù)據(jù)的散點圖，直觀觀察變化趨勢 散點走向像你學(xué)過的哪些函數(shù) ? ? 我們可以用一元二次函數(shù)近似地表示這種變化。評論 3.3. 注重問題引領(lǐng)在解決問題的每一個環(huán)節(jié)上， 劉老師注重用問題引領(lǐng)學(xué)生進行探索， 使學(xué)生在整

9、個學(xué)習(xí)過程中充滿著數(shù)學(xué)的觀察、數(shù)學(xué)的思考，同時也將學(xué)生始終置于“問題場”的情景中，較好 的體現(xiàn)了以問題為載體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程， 使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系， 從而體會 數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值。（2 2）利用圖形計算器擬合函數(shù) （3 3）利用圖形計算器求函數(shù)的最小值 由于數(shù)據(jù)的特點，用圖形計算器更易求得何時取到最小值 即燃氣用量最少時的旋鈕位置是旋轉(zhuǎn)52o52o 的位置，這時的用氣量是 0.043m0.043m3取旋轉(zhuǎn) 52o52o 的旋轉(zhuǎn)位置，燒一壺開水，所得實際用氣量是不是 0.0430.043 m m3,如果基本吻合， 就可以依次作結(jié)論了。（4 4）分析誤差 各組得到的結(jié)果可能不同，你能分析

10、一下產(chǎn)生誤差的原因嗎？（分析誤差）（1 1）測量數(shù)據(jù)時讀數(shù)的差異。（2 2）水壺的初始溫度的差異。（3 3）水壺的容量的差異。 引起誤差的原因很多，我們抓住主要因素，忽略了影響問題的許多次要因素。 由于實際問題中誤差是難以避免的，如果偏差很大，得不到較滿意的數(shù)學(xué)模型。通過對誤 差客觀的分析， 可以改進實驗， 得到相對準確的數(shù)據(jù)。 同時這也是實際問題解決過程中必不 可少的一步 評論 4 4 . .恰當?shù)囊龑?dǎo)學(xué)生借助手持技術(shù)解決問題我們常常說：數(shù)學(xué)有用、能用，可是實踐中，學(xué)生運用已學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，4仍然會遇到較大的障礙。但是，教材+ +技術(shù)就不一樣了。由數(shù)學(xué)的一些基本知識，再借助手持技術(shù)

11、，就有可能幫助學(xué)生去建立滿足所收集數(shù)據(jù)的一個數(shù)學(xué)模型，盡管這一模型會有一定的誤差，但這畢竟來自于學(xué)生本身的一個問題解決的過程，至少在他們的認識層面上， 體會到利用技術(shù)幫助實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的理解、對數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的認識、對終身學(xué)習(xí)能力的提升、 對可持續(xù)發(fā)展奠定的基礎(chǔ)等。最后，特別要說明的是，不論使用何種現(xiàn)代技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，均不能為了技術(shù)而用技術(shù)，而是借助這樣的技術(shù)平臺，引發(fā)學(xué)生更深層次的數(shù)學(xué)思考，體會數(shù)學(xué)的多重表示，激發(fā)探究的欲望，拓展學(xué)習(xí)的視野及空間。因此，要合理的、非盲目的指導(dǎo)學(xué)生運用信息技術(shù)?；幸欢尉嚯x后才會停下，這段距離叫剎車距離。為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路

12、上進行測試，測試所得數(shù)據(jù)如下：車速v v (km/hkm/h )剎車距離 s s (m m)車速 v v153040506080剎車 距離 s s1.237.3012.218.4025.8044.40在一次由這種型號的汽車發(fā)生的交通事故中，測得剎車距離為15.31m15.31m，問汽車在剎車時的車速是多少？三. 小結(jié)解決這個問題的基本想法你能概括一下嗎？(面對現(xiàn)實生活中的實際問題，我們先做實驗采集數(shù)據(jù)， 影響問題的因素很多， 我們忽略次要因素，提煉主要因素，借助手持技術(shù)或科學(xué)計算器，迅速找出較滿意的數(shù)學(xué)模型，從 而解決實際問題。) 用數(shù)學(xué)的眼光看問題，用數(shù)學(xué)思想、方法、知識解決實 際問題的過程

13、叫做數(shù)學(xué)建模，通過上例，可以用圖(1 1)表示這個過程.(2)(2)函數(shù)擬合：根據(jù)一些數(shù)據(jù)的散點圖，猜想散點近似的分 布在何種類型的函數(shù)圖像上， 再利用圖形計算器中內(nèi)置的該 種函數(shù)進行擬合，從而獲得一個近似的函數(shù)表達式，以反映給定數(shù)據(jù)的一般發(fā)展趨勢，這就是函數(shù)擬合的思想。解決問題的步驟：(1)畫出數(shù)據(jù)的散點圖(2)根據(jù)散點圖，選擇合適的函數(shù)類型擬合散點(3)解決實際問題 通過這個問題的解決你有什么收獲？有什么想法？作業(yè)：行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，繼續(xù)向前實際情境提出問題數(shù)學(xué)模型圖(！)數(shù)學(xué)結(jié)果5“人口問題”是我國最大社會問題之一，估計人口數(shù)量和發(fā)展趨勢是我們制定一系 列相關(guān)政策的基礎(chǔ)。請你搜集有關(guān)的數(shù)據(jù)，根據(jù)近十年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)預(yù)測20102010 年我國的人口數(shù)。 此課題選自普通高中數(shù)學(xué)課程標準教材北師大版數(shù)學(xué)6.6.教學(xué)反思：圖形計算器使用的意義與策略的思考 本課例，需要學(xué)生自己設(shè)計實驗步驟，在家燒開水，記錄每次的燃氣用量， 所得的數(shù)據(jù) 基本上不存在整數(shù)， 如果沒有