十章節(jié)定積分應(yīng)用二ppt課件

1、平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率定積分在物理中的某些運(yùn)用定積分在物理中的某些運(yùn)用第一步第一步 利用利用“分割化整為零分割化整為零 , 替代以曲代直替代以曲代直或以常代變或以常代變 求出部分量的近似值，即微分表求出部分量的近似值，即微分表達(dá)式達(dá)式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“ 求和積零為整求和積零為整 , 取極限無(wú)限累取極限無(wú)限累加加 求出整體量的準(zhǔn)確值，即得積分表達(dá)式求出整體量的準(zhǔn)確值，即得積分表達(dá)式Uxxfbad)(這種分析方法成為微元法又稱(chēng)元素法微元的幾何外形常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等定義定義: 假設(shè)在弧假設(shè)在弧 AB 上恣意作內(nèi)接折上恣意作內(nèi)接

2、折線線 ,0M1iMiMnMAByox當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng) 0 時(shí), 折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng) , 即并稱(chēng)此曲線弧為可求長(zhǎng)的.iiMM1定理定理: 恣意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的恣意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的. 見(jiàn)見(jiàn)P247(證明略)ni 10lims那么稱(chēng)( ),( ), ,xx tyy t t ( )x t( )y t22 ( ) ( )0,xtytt ( )x t( )y t, 22 ( ) ( ).sxtyt dtsdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧長(zhǎng)元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(12(P249)

3、22)(d)(ddyxs)()()(ttytx弧長(zhǎng)元素(弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長(zhǎng)d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr那么得sd弧長(zhǎng)元素(弧微分) :(本人驗(yàn)證)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長(zhǎng) . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂懸鏈線方程為ttyxdcos2解

4、解:,0cosx22xxysd1222的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長(zhǎng) .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2d222aa相應(yīng)于 02一段的弧長(zhǎng) . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa二、定積分在物理中的某些運(yùn)用 四、慣性問(wèn)題設(shè)物體在延續(xù)變

5、力 F(x) 作用下沿 x 軸從 xa 挪動(dòng)到,bx 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功微元為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區(qū)間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(一個(gè)單求電場(chǎng)力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 當(dāng)單位正電荷間隔原點(diǎn) r 時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為2rqkF 那么功微元為rrqkWdd2所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk闡明闡明:處的電勢(shì)為電場(chǎng)在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線從間隔點(diǎn)電荷 a 處挪動(dòng)到 b 處 (a b) , 在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下,

6、 S體, 求挪動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為S 的活塞從點(diǎn) a 處挪動(dòng)到點(diǎn) b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖.xxdx 由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比 , 即,SxkVkp 功微元為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為在底面積為 S 的圓柱描畫(huà)器中盛有一定量的氣 試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.oxm3xxxdm5在任一小區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功(功微元)為Wdxxdg9故所求功

7、為50Wxxdg9g922xg5 .112設(shè)水的密度為05一蓄滿(mǎn)水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 面積為 A 的平板設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): hpgh當(dāng)平板與水面平行時(shí), ApP 當(dāng)平板不與水面平行時(shí),就涉及到側(cè)壓力問(wèn)題.所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分處理 .整張平板所受的壓力為由于各點(diǎn)受力均等，所以平板一側(cè)所受壓力也為這個(gè)結(jié)果.小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)xpg33g2R 的液體 , 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. 所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對(duì)稱(chēng)性 , 側(cè)壓力微元RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓

8、力為xd方程為一程度橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線假設(shè)思索物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 那么需用積分處理 .設(shè)有一長(zhǎng)度為 l, 線密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M,M該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.y2l2l,dxxx細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 dkF xm d22xa 故垂直分力元素為cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在試計(jì)算FdxFdyFdxxd利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性2

9、23022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的程度分力.0 xF22412llmkFaa故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為 y2l2laoxxxdxamk22) 假設(shè)思索質(zhì)點(diǎn)抑制引力沿 y 軸從 a 處1) 當(dāng)細(xì)棒很長(zhǎng)時(shí),可視 l 為無(wú)窮大 ,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .移到 b (a 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖 .那么對(duì)應(yīng)d,xxx上球的薄片提到水面上的微功為1dWxy d2提出水面后的微功為2dW)(dg2xRxyxxRxRd)(

10、g22,0 xxRHxRd)(g)(220H),(yxxyxo現(xiàn)將其從水池中取出, 需做微元體積所受重力上升高度g)(0)(xRH21dddWWWxxRd)( g22球從水中提出所做的功為WxxRxRHRRd)()()( 2200g“偶倍奇零偶倍奇零xxRRd)(220g)(34003RHR)( g200RHH)(0)(0 xR Hxoyx(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深為為h (0 h R ) 時(shí)水面上升的速度 .(2) 設(shè)容器中已注滿(mǎn)水 , 求將其全部抽出所做的功最少應(yīng)為多少 ? 解解: 過(guò)球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖過(guò)球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖.oxy那么半圓方程為2x22yyR hR設(shè)經(jīng)過(guò) t 秒容器內(nèi)水深為h ,. )(thh 則oxyhRthdd由題設(shè), 經(jīng)過(guò) t 秒后容器內(nèi)的水量為而高為 h 的球缺的體積為半球可看作半圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成體積元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有t ayyRyhd)2(20兩邊對(duì) t 求導(dǎo), 得)2(2hRhthddathdd)2(2hRhaat (升) ,為將全部水提對(duì)應(yīng)于d,yyyyx d2微元體積:微元的重力 :yx dg2薄層所需的功元素oxRyWdyx dg2)(yRyyRyRyd)(2(g2故所求功為W