相似三角形”A“字模型(含詳細答案解析)~經(jīng)典

1、 教師輔導教案授課日期： 年 月 日 授課課時： 課時 學員姓名 年 級 輔導科目 數(shù)學學科教師班 主 任 授課時間 教學課題教學目標教學重難點課前檢查作業(yè)完成情況： 優(yōu) 良 中 差建 議: 教學內(nèi)容一、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對應角相等與相似，則有2相似三角形的對應邊成比例與相似，則有（為相似比）3相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比與相似，是中邊上的中線，是中邊上的中線，則有（為相似比）與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）與相似，是中的角平分線，是中的角平分線，則有（為相似比）4相似三角形周長的比等于相似比與相似，則有（為相似比）應

2、用比例的等比性質(zhì)有5相似三角形面積的比等于相似比的平方與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）進而可得二、相似三角形的判定1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似可簡單說成：兩角對應相等，兩個三角形相似3如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似4如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的你對應成比例，那么這兩個三角形相似可簡單地說成：三邊對應成比例，兩個三角形相似5如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角

3、形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似6直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形相似（常用但要證明）7如果一個等腰三角形和另一個等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個等腰三角形相似；如果它們的腰和底對應成比例，那么這兩個等腰三角形也相似三、相似證明中的基本模型A字形圖字型，DE/BC ;結(jié)論：，【例1】李老師在編寫下面這個題目的答案時，不小心打亂了解答過程的順序，你能幫他調(diào)整過來嗎？證明步驟正確的順序是（）已知：如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，且DEBC，DFAC，求證：ADEDBF證明：又DFAC，DEBC，A=BDF，ADE=B，ADE

4、DBFABCD【解答】證明：DEBC，ADE=B，又DFAC，A=BDF，ADEDBF故選：B【練1】如圖，在ABC中，ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，點P從點B出發(fā)，以2cm/秒的速度向點C移動，同時點Q從點C出發(fā)，以1cm/秒的速度向點A移動，設運動時間為t秒，當t=4.8或秒時，CPQ與ABC相似【解答】解：CP和CB是對應邊時，CPQCBA，所以，即，解得t=4.8；CP和CA是對應邊時，CPQCAB，所以，即，解得t=綜上所述，當t=4.8或時，CPQ與CBA相似故答案為4.8或圖反字型，ADE= B或1=B結(jié)論：【例2】如同，在ABC中，點D，E分別在邊A

5、B，AC上，下列條件中不能判斷ABCAED的是（）A=B=CADE=CDAED=B【解答】解：DAE=CAB，當AED=B或ADE=C時，ABCAED；當=即=時，ABCAED故選：A【例3】如圖，P是ABC的邊AB上的一點（不與A、B重合）當ACP=B時，APC與ABC是否相似；當AC、AP、AB滿足時，ACP與ABC相似【解答】解：A=A，ACP=B，ACPABC；，A=A，ACP與ABC；故答案為：B；【練習1】如圖，D、E為ABC的邊AC、AB上的點，當ADE=B時，ADEABC其中D、E分別對應B、C（填一個條件）【解答】解：當ADE=B，EAD=CAB，ADEABC故答案為ADE=

6、B【練習2】如圖，在ABC中，D、E分別在AB與AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4求證：ADEACB【解答】證明：AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，AB=5+7=12，AC=6+4=10，=，=，又A=A，ADEACB【練習3】如圖，AB=AC，A=36°，BD是ABC的角平分線，求證：ABCBCD【解答】證明：AB=AC，A=36°，ABC=C=72°，BD是角平分線，ABD=DBC=36°，A=CBD，又C=C，ABCBCD【練習4】已知：如圖，ABC中，ACD=B，求證：ABCACD【解答】證明：ACD=B，A=A，ABCACD

7、【練習5】如圖，已知ADAC=ABAE 求證：ADEABC【解答】證明：ADAC=AEAB，= 在ABC與ADE 中=，A=A，ABCADE【練習6】已知：如圖，在ABC中，D，E分別為AB、AC邊上的點，且AD=AE，連接DE若AC=4，AB=5求證：ADEACB【解答】證明：AC=3，AB=5，AD=，A=A，ADEACB圖雙字型 【例4】如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AED=ABC，BAC的平分線AF交DE于點G，交BC于點F（1）試寫出圖中所有的相似三角形，并說明理由（2）若=，求的值【解答】解：（1）AED=ABC，EAD=BAC，ABCAEDAED=ABC，EAG

8、=BAF，AEGABFEDG=ACF，DAG=CAF，ADGACF（2）=，=，ADGACF，=【練習1】如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，ABC的角平分線AF交DE于點G，交BC于點F（1）請你直接寫出圖中所有的相似三角形；（2）求AG與GF的比【解答】解：（1）ADGACF，AGEAFB，ADEACB；（2）=，=，=，又DAE=CAB，ADEACB，ADG=C，AF為角平分線，DAG=FAEADGACF，=，=2圖內(nèi)含正方形字形，結(jié)論（為正方形邊長）【例5】如圖，ABC，是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm，A

9、D=30cm，從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點為M（1）求證：=；（2）求這個矩形EFGH的周長；（3）是否存在一個實數(shù)a，當HE=a時從三角形硬紙片上剪下的矩形面積最大？若存在，試求出a；若不存在，請說明理由【解答】（1）證明：四邊形HEFG為矩形，HGEF，而ADBC，AMBC，AHGABC，=；（2）解：設HE=x，HG=2x，則=，解得x=12，這個矩形EFGH的周長=2x+4x=6x=72（cm）；（3）存在當HE=a，則=，HG=a+30，S矩形HEFG=a（a+30）=a2+30a，當

10、a=時，S矩形HEFG最大，即當HE=cm時從三角形硬紙片上剪下的矩形面積最大【練習1】如圖，ABC，是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=80cm，AD=60cm，從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點為M（1）試說明：=的理由；（2）求這個矩形EFGH的面積【解答】（1）證明：四邊形EFGH為矩形，EFGH，AHG=ABC，又HAG=BAC，AHGABC，=；（2）解：設HE=xcm，MD=HE=xcm，AD=60cm，AM=（60x）cm，HG=2HE，HG=2xcm，由（1）得，可得

11、 =，解得，x=24，故HE=24，HG=2x=48，則矩形EFGH的面積=24×12=1152cm2【例6】如圖，在ABC中，D為AC上一點，E為CB延長線上一點，且，求證：AD=EB【解答】證明：過D點作DHBC交AB于H，如圖，DHBC，AHDABC，=，即=，DHBE，BEFHDF，=，而，=，AD=EB【例7】如圖，在ABC中，BAC=90°，BC的垂直平分線交BC于點E，交CA的延長線于D，交AB于點F，求證：AE2=EFED【解答】解：BAC=90°，B+C=90°，D+C=90°，B=D，BC的垂直平分線交BC于點E，BAC=9

12、0°BE=EA，B=BAE，D=BAE，F(xiàn)EA=AED，F(xiàn)EAAED，=AE2=EFED“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖若圖中1=2，B=D(或C=E)，則ADEABC，該圖可看成把第一個圖中的ADE繞點A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的【例8】如圖，在ABC與ADE中，BAC=D，要使ABC與ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A=B=C=D=【解答】解：BAC=D，ABCADE故選：C【練習1】如圖所示，在ABC與ADE中，ABED=AEBC，要使ABC與ADE相似，還需要添加一個條件，這個條件是B=E（答案不唯一）（只加一個即可）并證明【解答】解：條件，B=E證明：ABED=AEBC，=B=E，

13、ABCAED條件，=證明：ABED=AEBC，=，=，ABCAED故答案為：B=E（答案不唯一）【練習2】如圖，已知：BAC=EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40求證：ABCAED【解答】證明：AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40=1.2，=1.2，=，BAC=EAD，ABCAED【練習3】如圖，在ABC和ADE中，已知B=D，BAD=CAE，求證：ABCADE【解答】解：如圖，BAD=CAE，BAD+BAE=CAE+BAE，即DAE=BAC又B=D，ABCADE【練習4】如圖，ABC、DEP是兩個全等的等腰直角三角形，BAC=PDE=90°（1）若將DEP的頂點P放在BC上（如圖1），PD、PE分別與AC、AB相交于點F、G求證：PBGFCP；（2）若使DEP的頂點P與頂點A重合（如圖2），PD、PE與BC相交于點F、G試問PBG與FCP還相似嗎？為什么？【解答】（1）證明：如圖1，ABC、DEP是兩個全等的等腰直角三角形，B=C=DPE=45°，BPG+CPF=135°，在BPG中，B=45°，BPG+BGP=135°，BGP=CPF，B=C，PBG