鯤鵬初一數(shù)學(xué)特訓(xùn)班講義

1、鯤鵬七年級(jí)數(shù)學(xué)系列 初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)鯤鵬教育初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)講義主講：關(guān)軍第一講 和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：數(shù)二、 絕對(duì)值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。 也可以寫成： 說(shuō)明：（）|a|0即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）|a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。三、 典型例題例1（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A-3a B 2ca C2a2b

2、D b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對(duì)值的問(wèn)題時(shí)，往往需要脫去絕對(duì)值符號(hào)，化成一般的有理數(shù)計(jì)算。脫去絕對(duì)值的符號(hào)時(shí)，必須先確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)各個(gè)數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義脫去絕對(duì)值符號(hào)。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，完成化簡(jiǎn)。例2已知：，且， 那么的值（ C ）A是正數(shù)B是負(fù)數(shù)C是零D不能確定符號(hào)解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示： 所以 分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三

3、個(gè)看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、z三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡(jiǎn)鋪平了道路。雖然例題中沒(méi)有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的意識(shí)。例3（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8，求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰(shuí)是正數(shù)誰(shuí)是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問(wèn)題。解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y由題意得：， （1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè)，y

4、在原點(diǎn)右側(cè)，即 x<0，y>0，則 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x>0，y<0，則 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x<0，y<0，則 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即 x>0，y>0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12例4（整體的思想）方程 的解的個(gè)數(shù)是（ D ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D無(wú)窮多個(gè)分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個(gè)整體，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義我們不難

5、得到，負(fù)數(shù)和零的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D。 例5（非負(fù)性）已知|ab2|與|a1|互為相互數(shù)，試求下式的值分析：利用絕對(duì)值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=2于是 在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過(guò)程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果同學(xué)們可以再深入思考， 如果題目變成求 值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6（距離問(wèn)題）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答：_相等 .（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的

6、數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為 分析：點(diǎn)B表示的數(shù)為1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置。那么點(diǎn)A呢？因?yàn)閤可以表示任意有理數(shù)，所以點(diǎn)A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出A與B兩點(diǎn)間的距離呢？ 結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。當(dāng)x<-1時(shí)，距離為-x-1, 當(dāng)-1<x<0時(shí)，距離為x+1， 當(dāng)x>0，距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為 5 ，取得最小值時(shí)x的取值范圍為 -3x_2_.分析：即x與2的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與-3的差的絕對(duì)值，它也可

7、以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1 圖2 圖3圖2符合題意（4） 滿足的的取值范圍為 x<-4或x>-1 分析： 同理表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會(huì)大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。說(shuō)明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問(wèn)題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問(wèn)題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問(wèn)題時(shí)可以帶來(lái)方便。事實(shí)上， 表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離。這是一個(gè)很有用

8、的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識(shí)解決了（3）、（4）這兩道難題。 四、 小結(jié)1理解絕對(duì)值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對(duì)值的非負(fù)性2體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講 有理數(shù)的運(yùn)算一、閱讀與思考在小學(xué)里我們已學(xué)會(huì)根據(jù)四則運(yùn)算法則對(duì)整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)算有很大的不同：首先，有理數(shù)計(jì)算每一步要確定符號(hào)；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計(jì)算很多是字母運(yùn)算，也就是通常說(shuō)的符號(hào)演算。1、有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)初中代數(shù)中最基本的運(yùn)算，在運(yùn)算過(guò)程中，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活采用

9、算法和技巧，不僅可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高解題速度，而且可以養(yǎng)成勤于動(dòng)腦，善于觀察到良好習(xí)慣。2、有理數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)法則有理數(shù)的運(yùn)算法則 有理數(shù)的運(yùn)算律及其性質(zhì)3、常用運(yùn)算技巧巧用運(yùn)算律 湊整法 拆項(xiàng)法（裂項(xiàng)相消） 分組相約法 倒寫相加法 錯(cuò)位相減法 換元法 觀察探究、歸納法數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的計(jì)算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計(jì)算的速成度，有理數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有：1、利用運(yùn)算律；2、以符代數(shù)；3、裂項(xiàng)相消；4、分解相約；5、巧用公式等。二、知識(shí)點(diǎn)反饋1、利用運(yùn)算律：加法運(yùn)算律乘法運(yùn)算律【專題精講】【例1

10、】計(jì)算下列各題 計(jì)算：計(jì)算： 反思說(shuō)明：一般地，多個(gè)分?jǐn)?shù)相加減，如果分子相同，分母是兩個(gè)整數(shù)的積，且每個(gè)分母中因數(shù)差相同，可以用裂項(xiàng)相消法求值。 【例4】（第18屆迎春杯）計(jì)算：計(jì)算：（第8屆“希望杯”）計(jì)算：請(qǐng)你從下表歸納出的公式并計(jì)算出：的值?！緦?shí)戰(zhàn)演練】1、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算： 2、（第10屆“希望杯”訓(xùn)練題） 3、已知?jiǎng)t 4、計(jì)算： 5、（“聰明杯”試題） 6、的值得整數(shù)部分為（ ）A1 B2 C3 D4提示：7、 8、計(jì)算：9、計(jì)算的值.10、計(jì)算：的值。例1：計(jì)算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：1、計(jì)算（1） （2）例2：計(jì)算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：1、 計(jì)算：2、裂項(xiàng)相消（1）；（2）；（3）（

11、4）例3、計(jì)算解：原式= = =拓廣訓(xùn)練：1、計(jì)算：3、以符代數(shù)例4：計(jì)算：解：分析：令=，則原式=拓廣訓(xùn)練：1、計(jì)算：4、分解相約例5：計(jì)算：解：原式= =三、培優(yōu)訓(xùn)練1、是最大的負(fù)整數(shù)，是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，則= 。2、計(jì)算：（1）= ； （2）= 。3、若與互為相反數(shù)，則= 。4、計(jì)算：= 。5、計(jì)算：= 。6、這四個(gè)數(shù)由小到大的排列順序是 。7、（2007“五羊杯”）計(jì)算：=（ ）A3140 B628 C1000 D12008、（2005“希望杯”）等于（ ）A B C D9、（2006“五羊杯”）計(jì)算：=（ ）A B C D10、（2009鄂州中考）為了求的值，可令S，則2S ，因此

12、2S-S，所以仿照以上推理計(jì)算出的值是（ ）A、 B、 C、 D、11、都是正數(shù)，如果，那么的大小關(guān)系是（ ）A B C D不確定12、設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可表示為的形式，又可表示為的形式，求的值（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）13、計(jì)算（1）（2009年第二十屆“五羊杯”競(jìng)賽題）（2）（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）14、已知互為相反數(shù)，互為負(fù)倒數(shù)，的絕對(duì)值等于，求的值15若，求的值（2006，香港競(jìng)賽）16、（2007，無(wú)錫中考）圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了層將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中

13、所有圓圈的個(gè)數(shù)為第2層第1層第n層圖圖2圖3圖4如果圖1中的圓圈共有12層，（1）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)，則最底層最左邊這個(gè)圓圈中的數(shù)是；（2）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)，求圖4中所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和第三講：代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題一、知識(shí)鏈接1 “代數(shù)式”是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的內(nèi)容之一。2用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個(gè)代數(shù)式的值。注：一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會(huì)

14、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識(shí)打下基礎(chǔ)。 二、典型例題例1若多項(xiàng)式的值與x無(wú)關(guān)，求的值.分析：多項(xiàng)式的值與x無(wú)關(guān)，即含x的項(xiàng)系數(shù)均為零因?yàn)樗?m=4將m=4代人，利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2x=-2時(shí)，代數(shù)式的值為8，求當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式的值。分析： 因?yàn)楫?dāng)x=-2時(shí)， 得到，所以當(dāng)x=2時(shí)，=例3當(dāng)代數(shù)式的值為7時(shí),求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個(gè)代數(shù)式的系數(shù)由 得 ，利用方程同解原理，得 整體代人，代數(shù)式的求值問(wèn)題是中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，它的運(yùn)算技巧、解決問(wèn)題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4 已知，求的值.分析：解法一（整體代人）：由 得 所以：解法

15、二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、減項(xiàng)） 例5（實(shí)際應(yīng)用）A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會(huì)招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬(wàn)元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實(shí)際收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n-1）； B公司：50

16、00+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠(yuǎn)比A公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯(cuò)。例6三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則 的值是_ 。解：因?yàn)閍bc<0，所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)，或三個(gè)都是負(fù)數(shù)又因?yàn)閍+b+c>0，所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)。不妨設(shè)a<0，b>0，c>0則ab<0，ac<0，bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng)b<0，c<0時(shí)，x=0。另：觀察代數(shù)式 ，交換a、b、c

17、的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對(duì)a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)。規(guī)律探索問(wèn)題：172839410511612例7如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射線 _上，“2008”在射線_上（2）若n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為_分析：OA上排列的數(shù)為：1，7，13，19， 觀察得出，這列數(shù)的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多6， 歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因?yàn)?7=3×

18、6-1，所以17在射線OE上。因?yàn)?008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射線OD上例8 將正奇數(shù)按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找 第三列數(shù)： 3，11，19，27， 規(guī)律為8n-5 因?yàn)?007=250×8+7=251×8-1 所以，

19、2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列 又因?yàn)榈?51行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列，所以2007應(yīng)該在第251行第5列例9（2006年嘉興市）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n5；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行例如，取n26，則：26134411第一次F第二次F第三次F若n449，則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是_分析：?jiǎn)栴}的難點(diǎn)和解題關(guān)鍵是真正理解“F”的第二種運(yùn)算，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使 為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個(gè)運(yùn)算才能結(jié)束。 449奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“F”變?yōu)?352；1352是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“F”

20、變?yōu)?69，169是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“F”變?yōu)?12，512是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“F”變?yōu)?，1是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“F”變?yōu)?，8是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“F”變?yōu)?，我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過(guò)多次運(yùn)算，它的結(jié)果將出現(xiàn)1、8的交替循環(huán)。再看運(yùn)算的次數(shù)是449，奇數(shù)次。因?yàn)榈谒拇芜\(yùn)算后都是奇數(shù)次運(yùn)算得到8，偶數(shù)次運(yùn)算得到1，所以，結(jié)果是8。三、小結(jié)用字母代數(shù)實(shí)現(xiàn)了我們對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的又一次飛躍。希望同學(xué)們能體會(huì)用字母代替數(shù)后思維的擴(kuò)展，體會(huì)一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。體會(huì)由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關(guān)的問(wèn)題一、知識(shí)回顧一元一次方程是我們認(rèn)識(shí)的第一種方程，使我們學(xué)會(huì)用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易解決的問(wèn)

21、題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)有理數(shù)部分的鞏固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。典型例題：二、典型例題例1若關(guān)于x的一元一次方程=1的解是x=-1，則k的值是（ ）A B1 C- D0分析：本題考查基本概念“方程的解”因?yàn)閤=-1是關(guān)于x的一元一次方程=1的解，所以，解得k=-例2若方程3x-5=4和方程的解相同，則a的值為多少？分析：題中出現(xiàn)了兩個(gè)方程，第一個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)x，所以可以解這個(gè)方程求得x的值；第二個(gè)方程中有a與x兩個(gè)未知數(shù)，所以在沒(méi)有其他條件的情況下，根本沒(méi)有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因?yàn)閮?/p>

22、個(gè)方程的解相同，所以可以把第一個(gè)方程中解得x代入第二個(gè)方程，第二個(gè)方程也就轉(zhuǎn)化為一元一次方程了。解：3x-5=4， 3x=9， x=3 因?yàn)?x-5=4與方程 的解相同 所以把x=3代人中即 得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系） a、b、c、d為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算 . （1）則的值為 ；（2）當(dāng) 時(shí)，= . 分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，因?yàn)椋?2-（-2）=4 （2）由 得：10-4（1-x）=18 所以10-4+4x=18，解得x=3例4（方程的思想）如圖，一個(gè)瓶身為圓柱體的玻璃瓶?jī)?nèi)裝有高厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h

23、厘米，則瓶?jī)?nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（ ）不考慮瓶子的厚度.A B C D分析：左右兩個(gè)圖中墨水的體積應(yīng)該相等，所以這是個(gè)等積變換問(wèn)題，我們可以用方程的思想解決問(wèn)題解：設(shè)墨水瓶的底面積為S，則左圖中墨水的體積可以表示為Sa 設(shè)墨水瓶的容積為V，則右圖中墨水的體積可以表示為V-Sb 于是，Sa= V-Sb，V= S(a+b) 由題意，瓶?jī)?nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為例5 小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊(duì)的人一樣多，就站在A窗口隊(duì)伍的里面，過(guò)了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊(duì)伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人。此時(shí)，若小李迅速?gòu)腁窗口隊(duì)

24、伍轉(zhuǎn)移到B窗口后面重新排隊(duì)，將比繼續(xù)在A窗口排隊(duì)提前30秒買到飯，求開始時(shí)，有多少人排隊(duì)。 分析：“B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人”相當(dāng)于B窗口前的隊(duì)伍每分鐘減少1人，題中的等量關(guān)系為：小李在A窗口排隊(duì)所需時(shí)間=轉(zhuǎn)移到B窗口排隊(duì)所需時(shí)間+ 解：設(shè)開始時(shí)，每隊(duì)有x人在排隊(duì)， 2分鐘后，B窗口排隊(duì)的人數(shù)為：x-6×2+5×2=x-2 根據(jù)題意，可列方程： 去分母得 3x=24+2(x-2)+6 去括號(hào)得3x=24+2x-4+6移項(xiàng)得3x-2x=26解得x=26所以，開始時(shí)，有26人排隊(duì)。 課外知識(shí)拓展：一、含字母系數(shù)方程的解法： 思考：是什么方

25、程？在一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式、最簡(jiǎn)形式中都要求a0，所以不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。例6解方程解：（分類討論）當(dāng)a0時(shí)， 當(dāng)a=0，b=0時(shí)，即 0x=0，方程有任意解當(dāng)a=0，b0時(shí)，即 0x=b，方程無(wú)解即方程的解有三種情況。例7問(wèn)當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有無(wú)數(shù)解；（3）無(wú)解。分析：先解關(guān)于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進(jìn)行討論。解： 將原方程移項(xiàng)得2x+bx=1+a-5，合并同類項(xiàng)得：(2+b)x=a-4 當(dāng)2+b0，即b-2時(shí)，方程有唯一解，當(dāng)2+b=0且a-4=0時(shí)，即b=-2且a=4時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)

26、解，當(dāng)2+b=0且a-40時(shí)，即b=-2且a4時(shí)，方程無(wú)解，例 8 解方程分析：根據(jù)題意，ab0，所以方程兩邊可以同乘ab 去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b 去括號(hào)，得bx-b-a+ax=a+b 移項(xiàng)，并項(xiàng)得 (a+b)x=2a+2b 當(dāng)a+b0時(shí)，=2 當(dāng)a+b=0時(shí)，方程有任意解說(shuō)明：本題中沒(méi)有出現(xiàn)方程中的系數(shù)a=0，b0的情況，所以解的情況只有兩種。 二、含絕對(duì)值的方程解法例9 解下列方程 解法1：（分類討論）當(dāng)5x-2>0時(shí)，即x>， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因?yàn)閤=1符合大前提x>，所以此時(shí)方程的解是x=1當(dāng)5x-2=0時(shí)，即x=， 得到矛盾

27、等式0=3，所以此時(shí)方程無(wú)解當(dāng)5x-2<0時(shí)，即x<， 5x-2= -3，x= 因?yàn)閤=符合大前提x<，所以此時(shí)方程的解是x=綜上，方程的解為x=1 或x=注：求出x的值后應(yīng)注意檢驗(yàn)x是否符合條件解法2：（整體思想） 聯(lián)想：時(shí)，a=±3 類比：，則5x-2=3或5x-2=-3解兩個(gè)一元一次方程，方程的解為x=1 或x=例10 解方程 解：去分母 2| x-1|-5=3移項(xiàng) 2| x-1|=8 | x-1|=4所以x-1=4或x-1=-4解得x=5或x=-3例11 解方程 分析：此題適合用解法2 當(dāng)x-1>0時(shí)，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=

28、因?yàn)閤=不符合大前提x>1，所以此時(shí)方程無(wú)解當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此時(shí)方程無(wú)解 當(dāng)x-1<0時(shí)，即x<1，1-x=-2x+1，x=0因?yàn)閤=0符合大前提x<1，所以此時(shí)方程的解為x=0綜上，方程的解為x=0三、小結(jié)1、體會(huì)方程思想在實(shí)際中的應(yīng)用2、體會(huì)轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學(xué)能力第四講：圖形的初步認(rèn)識(shí)一、相關(guān)知識(shí)鏈接：1認(rèn)識(shí)立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長(zhǎng)方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見的幾何體。我們常見的平面圖形有正方形、長(zhǎng)方形、三角形、圓2 立體圖形和平面圖形關(guān)系立體圖形問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來(lái)研究，常常會(huì)采用

29、下面的作法（1）畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的三個(gè)平面圖形。（2）立體圖形的平面展開圖常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問(wèn)題：（一）正方體的側(cè)面展開圖（共十一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個(gè)，共六種。第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)，共三種。第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有一種。 第四類，兩排各三個(gè)，只有一種?；疽螅?. 在右面的圖形中是正方體的展開圖的有（ C ）（A）3種 （B）4種 （C）5種 （D）6種2下圖中, 是正方體的展開圖是( B )

30、 A B C D3如圖四個(gè)圖形都是由6個(gè)大小相同的正方形組成，其中是正方體展開圖的是（ D  ）A        B        C        D123645較高要求：4下圖可以沿線折疊成一個(gè)帶數(shù)字的正方體，每三個(gè)帶數(shù)字的面交于正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小是( A ) A 7 B 8 C 9 D 10 5一個(gè)正方體的展開圖如右圖所示

31、，每一個(gè)面上都寫有一個(gè)自然數(shù)并且相對(duì)兩個(gè)面所寫的兩個(gè)數(shù)之和相等，那么a+b-2c= （ B ）A40 B.38 C.36 D. 34分析： 由題意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c=a-17 所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（ C ） A B C D7下圖是某一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是（ D ）ABCD 還原正方體，正確識(shí)別正方體的相對(duì)面。（二）常見立體圖形的平面展開圖8下列圖形是四棱錐的展開圖的是 （ C ） （A） （B） （C） （D）9下面是四個(gè)立體圖形的展開圖，則相應(yīng)的立體圖形依

32、次是( A )A正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐10下列幾何體中是棱錐的是（ B ） A. B. C. D. 11如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的表面展開圖，每個(gè)面上都標(biāo)注了字母，請(qǐng)根據(jù)要求回答問(wèn)題：（1）如果A面在長(zhǎng)方體的底部，那么哪一個(gè)面會(huì)在上面？（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個(gè)面會(huì)在上面？（字母朝外）（3）若C面在右面，D面在后面，則哪一個(gè)面會(huì)在上面？（字母朝外）答案：（1）F ；（2）C，A（三）立體圖形的三視圖12如圖，從正面看可看到的是( C )13對(duì)右面物體的視圖描繪錯(cuò)誤的是 （ C ）14如圖的幾何體，

33、左視圖是（ B）15如圖，是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個(gè)俯視圖左視圖主視圖幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是 ( )A3 B4 C5 D6 （四）新穎題型16. 正方體每一面不同的顏色對(duì)應(yīng)著不同的數(shù)字，將四個(gè)這樣的正方體如圖拼成一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體，那么長(zhǎng)方體的下底面數(shù)字和為 .分析：正面黃，右面紅，上面藍(lán)，后面紫，下面白，左面綠 所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫 數(shù)字和為：4+6+2+5=1717觀察下列由棱長(zhǎng)為 1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖所示共有1個(gè)小立方體，其中1個(gè)看得見，0個(gè)看不見；如圖所示：共有8個(gè)小立方體，其中7個(gè)看得見，1個(gè)看不見；如圖所示：

34、共有27個(gè)小立方體，其中19個(gè)看得見，8個(gè)看不見（1）寫出第個(gè)圖中看不見的小立方體有 125 個(gè)；（2）猜想并寫出第(n)個(gè)圖形中看不見的小立方體的個(gè)數(shù)為_ (n-1)3 _個(gè).分析： 1 1=1 0=032 8=23 1=133 27=33 8=23 4 64=43 27=33 n n3 (n-1) 3第五講：線段和角一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 二、典型問(wèn)題：（一）數(shù)線段數(shù)角數(shù)三角形問(wèn)題1、直線上有n個(gè)點(diǎn)，可以得到多少條線段？ 分析： 點(diǎn) 線段2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 n 1+2+3+ +(n-1)=問(wèn)題2如圖，在AOB內(nèi)部從O

35、點(diǎn)引出兩條射線OC、OD，則圖中小于平角的角共有（ D ）個(gè) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展：1、 在AOB內(nèi)部從O點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè)？ 射線 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n+1)=類比：從O點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè)？ 射線 角2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n-1)=類比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形？（二）與線段中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題 線段的中點(diǎn)定義：文字語(yǔ)言：若一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩部分，那么這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)圖

36、形語(yǔ)言：幾何語(yǔ)言： M是線段AB的中點(diǎn) ，典型例題：1由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點(diǎn)”的是（ D ）（A）AP=AB （B）AB2PB （C）APPB （D）APPB=AB 2若點(diǎn)B在直線AC上，下列表達(dá)式：；AB=BC；AC=2AB；AB+BC=AC其中能表示B是線段AC的中點(diǎn)的有（ A   ）A1個(gè)          B2個(gè)          C3個(gè)   

37、;     D4個(gè)3.如果點(diǎn)C在線段AB上,下列表達(dá)式AC=AB;AB=2BC;AC=BC;AC+BC=AB中, 能表示C是AB中點(diǎn)的有( C ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4已知線段MN，P是MN的中點(diǎn)，Q是PN的中點(diǎn)，R是MQ的中點(diǎn)，那么MR= _ MN分析：據(jù)題意畫出圖形設(shè)QN=x，則PQ=x，MP=2x，MQ=3x，所以，MR=x ，則 5如圖所示，B、C是線段AD上任意兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，若MN=a，BC=b，則線段AD的長(zhǎng)是（ ） A 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b分析：不妨設(shè)CN=ND=x，A

38、M=MB=y 因?yàn)镸N=MB+BC+CN 所以a=x+y+b因?yàn)锳D=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）與角有關(guān)的問(wèn)題1 已知：一條射線OA，若從點(diǎn)O再引兩條射線OB、OC，使AOB=600，BOC=200，則AOC=_80°或40°_度（分類討論）2 A、O、B共線，OM、ON分別為 AOC 、 BOC的平分線，猜想 MON的度數(shù)，試證明你的結(jié)論猜想：_90°_證明：因?yàn)镺M、ON分別為 AOC 、 BOC的平分線 所以MOC=AOC ，CON=COB因?yàn)镸ON=MOC+CON所以MON=AOC +COB=AOB=90°3

39、如圖，已知直線和相交于點(diǎn)，是直角，平分，求的度數(shù)分析：因?yàn)槭侵苯牵?所以EOF=56° 因?yàn)槠椒?所以AOF=56° 因?yàn)锳OF=AOC+COF所以AOC=22°因?yàn)橹本€和相交于點(diǎn) 所以=AOC=22°4如圖，BO、CO分別平分ABC和ACB，（1）若A = 60°，求O；（2）若A =100°，O是多少？若A =120°，O又是多少？（3）由（1）、（2）你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)A的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？ （提示：三角形的內(nèi)角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140° 、1

40、50°（3）O=90°+A5如圖，O是直線AB上一點(diǎn),OC、OD、OE是三條射線,則圖中互補(bǔ)的角共有（ B ）對(duì) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56互為余角的兩個(gè)角   （ B ）（A）只和位置有關(guān) （B）只和數(shù)量有關(guān) （C）和位置、數(shù)量都有關(guān) （D）和位置、數(shù)量都無(wú)關(guān)7已知1、2互為補(bǔ)角，且12，則2的余角是（ C ）A.（12） B.1 C.（12） D.2分析：因?yàn)?2=180°，所以（12）=90°90°-2= （12）-2= （12） 第六講：相交線與平行線 一、知識(shí)框架二、典型例題1.下列

41、說(shuō)法正確的有( B ) 對(duì)頂角相等;相等的角是對(duì)頂角;若兩個(gè)角不相等,則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角;若兩個(gè)角不是對(duì)頂角,則這兩個(gè)角不相等. A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.如圖所示,下列說(shuō)法不正確的是( D )毛A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB; B.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段ACC.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段; D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段3.下列說(shuō)法正確的有( C )在平面內(nèi),過(guò)直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線; 在平面內(nèi),過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線; 在平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)可以任意畫一條直線垂直于已知直線;在平面內(nèi),有且只有一條直線垂直于已知直線. A.1個(gè)

42、B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4一學(xué)員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（ A ） A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°5如圖，若ACBC于C，CDAB于D，則下列結(jié)論必定成立的是（ C ）A. CD>AD B.AC<BC C. BC>BD D. CD<BD分析：考察垂線段的性質(zhì)、基本圖形“雙垂直”圖形6如圖,已知

43、ABCD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG平分BEF,若1=72°,則2=_54°_.7如圖,ABEFCD,EGBD,則圖中與1相等的角(1除外)共有( C )A.6個(gè) B.5個(gè) C.4個(gè) D.3個(gè)8如圖，直線l1、l2、l3交于O點(diǎn)，圖中出現(xiàn)了幾對(duì)對(duì)頂角，若n條直線相交呢？答案：3對(duì)，n(n+1)9. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的大小關(guān)系是_123答案：1=2>310. 如圖所示,L1,L2,L3交于點(diǎn)O,1=2,3:1=8:1,求4的度數(shù).( 方程思想)答案：36°11 如圖所示,已知ABCD,分別探索下列四個(gè)圖形中P與A,C的關(guān)系,請(qǐng)你從所得的四個(gè)

44、關(guān)系中任選一個(gè)加以說(shuō)明. (1) (2) (3) (4)（1）分析：過(guò)點(diǎn)P作PE/AB APE+A+C=360°（2）P=A+C（3）P=C-A,（4）P=A-C12如圖，若AB/EF，C= 90°，求x+y-z 度數(shù)。分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=90°13已知：如圖， 求證：分析：法一法二：由AB/CD證明PAB=APC， 所以EAP=APF 所以AE/FP 所以第七講：平面直角坐標(biāo)系一、知識(shí)要點(diǎn)：1、特殊位置的點(diǎn)的特征（1）各個(gè)象限的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)（2）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)： 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,即縱坐標(biāo)為0;軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即橫坐標(biāo)為0;2、具

45、有特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且;、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且;、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱，且。3、距離（1）點(diǎn)A到軸的距離：點(diǎn)A到軸的距離為|；點(diǎn)A到軸的距離為|；（2）同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)之間的距離：A、B，則；A、B，則；二、典型例題1、已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），如果xy<0 , 則點(diǎn)M的位置( ) (A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限 (C)第二、第四象限 (D)第一、第四象限2點(diǎn)P（m，1）在第二象限內(nèi)，則點(diǎn)Q（-m，0）在（ ） Ax軸正半軸上 Bx軸負(fù)半軸上 Cy軸正半軸上 Dy軸負(fù)半軸上3已知點(diǎn)A（a，b）在第四象限，那么點(diǎn)B（b，a）在（ ） A第一象限 B第二象限

46、 C第三象限 D第四象限4點(diǎn)P（1，-2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A（-1，-2） B（1，2） C（-1，2） D（-2，1）5如果點(diǎn)M（1-x，1-y） 在第二象限，那么點(diǎn)N（1-x，y-1）在第 象限，點(diǎn)Q（x-1，1-y）在第 象限。6如圖是中國(guó)象棋的一盤殘局，如果用(4，o)表示帥的位置，用(3，9)表示將的位置，那么炮的位置應(yīng)表示為A(8，7) B(7，8) C(8，9)D(8，8)7在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（0，0），（5，0），（2，3）則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）A（3，7） B（5，3） C（7，3） D（8，2）8已知點(diǎn)P（x, ），則點(diǎn)P一定 （ ） A在第一象限 B在第一或第四象限 C在x軸上方 D不在x軸下方9已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且ABx軸，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12)_。10三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），將三角形ABC向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（ C ） A（2，2），（3，4），（1，7） B（-2，2），（4