《數(shù)值計(jì)算方法》試題集及答案

1、數(shù)值計(jì)算方法試題集及答案（同名6837）數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)試題38、填空題:011、分解為4，則A的LU答案:141511540156152、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)血，則用辛普生（辛卜生）公式計(jì)3f(x)dx算求得1，用三點(diǎn)式求得f答案：2.367,0.253、f（1）1,f（2）2,f1,則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中x2的系朗日插值多1L2(x)二(x2)(x3)2(x1)(x答案：-1,213)1(x1)(x2)4、近似值x*0.231關(guān)于真值x0.229有（2）位有效數(shù)字;5、設(shè)f（x）可微,求方程xf（x）的牛頓迭代格式是（);xnf(xn)xn1xn|1f(xn)

2、6、對(duì)f(x)x3x1,差商f0,1,2,3(1),f0,1,2,3,4);7、計(jì)算方法主要研究（截?cái)啵┱`差和（舍入）誤差;10、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,則二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為(0.15);i11、兩點(diǎn)式高斯型求積公式0f(x)dx-1f(x)dx-f(X3_2)f(3)(022V32v；3)，代數(shù)精度為(5)；12、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)O13、y 10一為了使計(jì)算x 1 (x6口1)3的乘除法次數(shù)盡量地y少，應(yīng)將該表達(dá)式改寫(xiě)為_(kāi)舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式2001110 (3 (4 6t)t)t

3、,t x 1_,為了減少2J1999 改寫(xiě)為J2001。1999。1廠14、計(jì)算積分0.5d改,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為0.4268,用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為0.4309一.梯形公式的代數(shù)精度為辛卜生公式的代數(shù)精度為3。3x15x2115、求解方程組0.2x14x20斯高斯一塞德?tīng)柕袷綖開(kāi)x(k1)(15x2k)/3x2k1)x1)/20一該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑(M)=116、設(shè)f(0)0，f(1)16,f(2)46,則l1(x)l1(x)x(x2)_,f(x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為N2(x)16x7x(x1)17、bf(x)dx求積公式anAkf(xk)k

4、0的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有(2n1)次代數(shù)精度。18、已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求51f(x)dx=(12)o19、設(shè)f(1)=123、1o(x),1i(x),l函數(shù)，則nlk(x)f(2)=2,f(3)=0,用三點(diǎn)式求(x)是以整數(shù)點(diǎn)x0,x1,凡為節(jié)點(diǎn)的f(2.5)。Lagrange插值基k0n(x4k02xk3)lk(x)26、(改變函數(shù)f(x)1,x1x29、nxklj(xk)k0(xj)x231x(x)o1)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確若用復(fù)化梯形公式計(jì)算項(xiàng)公式估計(jì)，至少用1axK0,要求誤差不超過(guò)106,利用余477個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。3

5、0、寫(xiě)生求解方程組x11.6x210.4x1x2的Gauss-Seidel迭代公式k1kx111.6x2k01x2k120.4x1k1,迭代矩陣為1.60.64,此迭代法是否收斂收斂A31、設(shè)32ALU,貝UU2o33、若f(x)3x42x1,則差商f2,4,8,16,323421、數(shù)值積分公式1f(x)dx9f( 1)8f(0) f(1)的代數(shù)精度為35、11線性方程組101121101523乘解為36分解為ALU1、2430110 321 2單項(xiàng)選擇題:Jacobi迭代法解方程組Axb的必要條件是(A . A的各階順序主子式不為零B.(A)C.aii0,i1,2, ,nD. IA2、317

6、 ,則(川為(C )A.B. 5C.D. 34、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是(B)。D.各階順序主子式均不為零5、A.C.6、7、A.舍入誤差是（只取有限位數(shù)觀察與測(cè)量）產(chǎn)生的誤差。3.141580是兀的有（A.6B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值B）位有效數(shù)字的近似值B.5C.4用1+x近似表示所產(chǎn)生的誤差是（C模型B.觀測(cè)C.截?cái)啵┱`差。D.7D.舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是A.C.控制舍入誤差防止計(jì)算時(shí)溢出B.減小方法誤差D.簡(jiǎn)化計(jì)算9、用1+3近似表示所產(chǎn)生的誤差是（D）誤差。舍入B.觀測(cè)模型D.截?cái)?0、-

7、324.7500是舍入得到的近似值，它有（）位有效數(shù)字。A.5B.6C.7D.811、設(shè)f(-1)=1,f（0）=3,f（2）=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為(A)。A.05B.0.5D.-213、(D)的3位有效數(shù)字是0.236X102。(A)0.0023549X103(B)2354.82X10-2(C)235.418(D)235.54X10114、用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根,把方程f(x)=0表示成x=(x),則f(x)=0的根是(B(A)y=(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B)y=x與y=(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D)y=x與y=(x)的交點(diǎn)15、用列主

8、元消去法解線性方程組3x1Xi4x1x24x312x29x303x2x31,第1次消元,選擇主元為(A)。(A)-4(B)3(C)4(D)-916、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B，牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(A)f(x,x0,x1,x2,(B)Rn(x)f(x)Pn(x),xn)(X(xx2)(x-xn1)(xxn),f(n1)()(n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xR)(xc0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)(D)Rn(x)f(x)Pn(x)(n1)()(n1)!n1(X)17、等距二點(diǎn)求導(dǎo)公式f(x1)(A)。f(X1)f(Xo)(A)XiXof(X1)f(Xo)f(Xo)

9、f(Xi)f(X1)f(Xo)(B)(C)(D)X0XiXoXiXiX018、用牛頓切線法解方程f(x)=0,選初始值x0滿足(A，則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,定收斂到方程f(x)=0的根。(A)f(X0)f(x)0(B)f(4)f(x)0(C)f(X0)f(x)0(D)f(X0)f(x)019、為求方程x3r2T=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫(xiě)成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A)。2x(A)1,，迭代公式:Xk1X11Xk1X(B)3(C)x口，迭代公式:Xk1Xx2,迭代公式：xk121/3(1xk)3X(D)x2,迭代公式：xk121、解方程組Ax

10、b的簡(jiǎn)單迭代格式x(k1)Bx(k)g收斂的充要條件是()(1)(A)1,(2)(B)1(A)1,(4)(B)1nC(n)Ci22、在牛頓-柯特斯求積公式:f(x)dx(ba)G(n)f(Xi)i0中，當(dāng)系數(shù)X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是(O(1)二次;(2)三次;(4)五次)n10,(4)n6,是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不使用。(1)n8,(2)n7,(3)23、有下列數(shù)表所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)(3)四次；25、取點(diǎn)1.732計(jì)算x陋1)4,下列方法中哪種最好?16()16(A)2816痣；(B)(4

11、2后;(C)(42T3)2；(D)(V31)4。X11.522.533.5“為)-10.52.55.08.011.5(C)(B)4；(D)(A)5；計(jì)算73的Newton迭代格式為(27、由下列數(shù)表進(jìn)行次數(shù)是(3；2。Newton插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高)29、(A)32、9xk3xk1xk12xk；(B)設(shè)li(x)是以xkk(kxk3萬(wàn)雙；(C)xk1)xk-2xk；(D)xkxk1一k13kli(k)k0(A)()(B)33、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓度(A)5；35、已知方程不收斂的是(B)4;2x)0，1，L為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù),xko則(C)i；(D)-柯特斯求積公式，至少

12、具有(C)6；(D)3)次代數(shù)精。在x2附近有根，下列迭代格式中在x02(A)xk13352x35(B)3(C)xk1xkXk(D)x01234f(x)1243-536、由下列數(shù)據(jù))確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為(A)4;(B)2;(C)1;xk1(D)3O四、計(jì)算題：4x12x2x311x14x22x3181、用高斯-塞德?tīng)柗椒ń夥匠探M2x1x25x322(0)Tx(0,0,0),迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計(jì)算)答案：迭代格式1(112x2k)x3k)41(18x1(k1)2x3k)4kx1(k)x2k)(k)x3000012.75003.81252.537520.209383.17893.

13、680530.240432.59973.183940.504202.48203.70191(222x1(k1)x2k1)51.1.1f(x)dxAf(1)f(1)Bf(-)f(-)求A、B使求積公式122的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求1 x (保留四位小數(shù))。2答案：f(x)1,x,x是精確成立，即2A2B2122A-B-23求積公式為11f(x)dx19f(1).8.1.1f(1)8ft)%)34當(dāng)f(x)x時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)f(x)x時(shí)，左=5,右=3。所以代數(shù)精度為3已知1dx2x 397140dt0.69286'g1 391/2 3 1 2 3分別用拉格朗

14、日插值法和牛頓插值法求xi1345f(xi)2654f(x)式P3(x),并求f的近似值(保留四位小數(shù))(x3)(x4)(x5)(x1)(x4)(x5)L3(x)26答案：(13)(14)(15)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-1014P3（X）f(2)P3(2) 5.55、已知Xi-2-1012f (Xi)421351N3(x)22(x1)(x1)(x3)-(x1)(x3)(x4)4正規(guī)方程組為15341求f（x）的二次擬合曲線P2（

15、X）,并求f的近似值。:解:iXiyi2Xi3Xi4XiXiyi2Xiyi0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415%10a210&a。10,a1P2(x) x71011 2-x14P2（X）3色10311111410f (0)P2(0)-x73106、已知sinx區(qū)間0.4,0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.710a034a20.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求加0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最??？并求該近似值。答案：解：

16、應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差M3|R(X)|三|3(X)|盡量小，即應(yīng)使3(X)I盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)0.5，0.6，0.7最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果Sin0.638910.596274且sin0.638910.5962741.(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7)3!140.55032107、構(gòu)造求解方程ex10X20的根的迭代格式xn1(Xn)，n0，1,2,討論其收斂性，并將根求由來(lái),I Xn 1Xn I10 4答案：解：令f(x)ex10x2,f(0)20,f(1)10e0.Mf(x)ex100對(duì)x(，)，故f0在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)

17、根將方程f(x)0變形為1X.x(2e)10則當(dāng)x(0,1)時(shí)xeee(x)10(2ex)|(x)|10101故迭代格式xn1：10(2exn)收斂。取X00.5,計(jì)算結(jié)果列表如下：n01230.0351270.0964240.089877xn0.5872785325n45670.0905950.0905170.0905250.090525xn9933409500086且滿足|x7x6|0.0000009510.所以x0.090525008、利用矩陣的LU分解法解方程組xi2xi3xi2x25x2x23x32x35x3141820o答案：解:11 2A LU 21135 13424令 Ly b

18、得 y (14, 10, 72)T Ux y得 x(1,2,3)T3x1 2x2 10x3 1510Xi 4x2 x3 59、對(duì)方程組 2x1 10x2 4x3 8(1)試建立一種收斂的 Seidel迭代公式，說(shuō)明理由;(2)取初值 x(0)(0，0，0)要求 IIx(k 1) x(k) |10T,利用(1)中建立的迭代公式求解,3O解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)10x1 4x22x1 10x2 3x1 2x2x354x3 810x3 15故對(duì)應(yīng)的高斯一塞德?tīng)柕ㄊ諗?迭代格式為(k x11)(k x21)(kx31)1101101102x(k3x(k1)1)4x2k)x3k)

19、 5)4x3k) 8)2x2k 1)15)取x(0)(0,0,0)T,經(jīng)7步迭代可得:x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T11、用列主元素消元法求解方程組X1X2X341211o解:14312111r112411154312543121-r150282r30131792555555-r11317912850一05555551r2131213155513795513回代得x31,x26,Xix在區(qū)間0,1上的二次插12、取節(jié)點(diǎn)x00，x10.5，x21,求函數(shù)f(x)e值多項(xiàng)式P2(x),并估計(jì)誤差。解:P2(x)e0(x0.5)(x1)(00.5)

20、(01)0.5e(x0)(x1)(0.50)(0.51)0)(x0.5)(10)(10.5)一一05一1一2(x0.5)(x1)4e.x(x1)2ex(x0.5)f(x) e x, f又(x)e x,M3max | f (x) | 1x 0,1故截?cái)嗾`差|R2(x)| |e1P2(x)| |x(x 0.5)(x 1)|oy(1.5)y3 1.07334,y(2.0) y4 1.1260414、給定方程f(x) (x 1)ex 1 01)分析該方程存在幾個(gè)根;2)用迭代法求生這些根，精確到5位有效數(shù)字;3)說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的。解：1)將方程(x 1)ex 1 0(1)改寫(xiě)為(2)作函數(shù)L

21、(x) x 1x*一_一.f2(x)e的圖形(略)知(2)有唯一根x(1,2)o2）將方程（2）改寫(xiě)為構(gòu)造迭代格式xk 11 e xkx0 1.5(k 0,12 )k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.27846計(jì)算結(jié)果列表如下:當(dāng)x1,2時(shí),(x)(2),(1)10,且3)(x)1ex(x)ex(x)|e所以迭代格式Xk 1(xk) (k0,1,2,）對(duì)任意x0 1,2均收斂。15、用牛頓（切線）法求。3的近似值。取X0=1.7,計(jì)算三次，保留五位小數(shù)。解:2<3是f(x) x 3 0

22、的正根,f (x)2x,牛頓迭代公式為x2 3xn 1xnxnx031 (n 0,1,2,)22 xnn123xn1.732351.732051.73205取xo=1.7,列表如下:2 xn16、已知 f (-1)=2, f (1)=3, f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2（x）及f （1, 5）的近似值，取五位小數(shù)。解:(x 1)(x 2)(x 1)(x 2)L2 (x) 23(1 1)( 1 2)(1 1)(1 2)4 (x 1)(x 1) (2 1)(2 1)234-(x1)(x2)-(x1)(x2)-(x1)(x1)3231f(1.5)L2(1.5)0.041672417、n

23、=3,用復(fù)合梯形公式求1 xd0e的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計(jì)o解:1 x0edx10 r 01 3T3 e2(e2 31-)e 1.7342f(x) ex,f (x) exx 1時(shí),I f (x)| e|R| |exT3Ie12 32e1080.0250.05x1x2x3解：Gauss-Seidel迭代格式為:(k x11)(k x21)(k x31)3(1 3(4(k) x35)x(k 1)(k x11)(k x21)1)8)至少有兩位有效數(shù)字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組取x(0)=(0,0,0)T,列表計(jì)算三次，保留三位小數(shù)。31嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),故 Gau

24、ss-Seidel迭代收斂.系數(shù)矩陣1取x(0)=(0,0,0)T,列表計(jì)算如下：kxik)x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、據(jù):解:（8分）用最小二乘法求形如yabx2的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)AT1192解方程組11252 312AT AC1382ATy19.0 32.3 49.0 73.3其中ATA4339133913529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577 ,21、(15 分)1用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化b 0.0501025S

25、impson公式)計(jì)-x0e dx 時(shí),Simpson試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。用 n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù) 公式）計(jì)算由該積分的近似值。解：RTfT(8)b a 2 h2f1272f(xk)k 1f(b)11 2 (0.88249690.535261411210-e8210.001302 7680.77880080.472366550.606530660.41686207) 0.36787947xi19253038*19.032.349.073.32、span1,x0.632943422、（15分）方程x3x 1 0在x 1.5附近有根，把方程寫(xiě)成三種不同的等價(jià)形式（1） x對(duì)應(yīng)迭代格式xn 1

26、 3rQI ； x X 對(duì)xn 1應(yīng)迭代格式迭代格式在x01 k ； (3) x x3 1對(duì)應(yīng)迭彳t格式xn1.5的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算x31 xn 1 o判斷1.5附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位解：(1)(x)1、(x)y1)1。5)0.181,故收斂;(3)(x)選擇(1)：2x23x2x01.511x,(1.5)(1.5)31.520.171,故收斂;X11.3572X2,故發(fā)散1.3309ox31.3259x41.324923、(8分)x51.32476已知方程組x61.32472AXf,其中341 f14列由Jacobi求由Jacobi(1)(2)243024迭代法和Gauss

27、-Seidel迭代法的分量形式迭代矩陣的譜半徑。x1(k1)-(243x2k)4解：Jacobi迭代法:x2k1)-(303x，x3k)4x3k1)I24x2k)4k0,1,2,3,x3k1)Gauss-Seidel 迭代法:0BjD1(L U)34034 0340340(Bj).外似/) 0.790569x1(k1)1(243x2k)4k1)1(303x1(k1)x3k)41(24x2k1)40,1,2,3,27、（10分）已知數(shù)值積分公式為:hh2.0f(x)dx5f(0)f(h)hf(0)f(h),試確定積分公式中的參數(shù),使其代數(shù)精確度盡量高,并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解:f（x） 1顯

28、然精確成立;f(x)f (x) x 時(shí),h 2 .x dx0hxdx0f(x)hx3dx0f(x)hx4dx0h33h24h55h2h3h4所以，其代數(shù)精確度為28、（8分）已知求n（a3。h2-0 h h 1 1.2 ,2h3h20 2h2 h2h20 3h212 ；h20 4h3126 ;0）的迭代公式為:1 , xk 12(xk0 k 0,1,2證明：對(duì)一切k1，2,xk 七 ,且序列xk是單調(diào)遞減的,從而迭代過(guò)程收斂。證明:xk11(xk之)2xkxk/akxk0,1,2故對(duì)一切k1,2,xkxk1又xk2(1-4)1(11)1xk2所以xk1xk,即序列xk是單調(diào)遞減有下界，從而迭代

29、過(guò)程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式3f(x)dx 2f(1)f（2）是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少?解：是。因?yàn)閤 2 一 p(x)f(1)1 2f(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為"f(2)2 13p(x)dx 3 ff(2)。其代數(shù)精度為130、(6分)寫(xiě)由求方程4x 8sx 1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6 分)xn1Xn1一 1 cos xn4, n=0,1,2, 1人-sin x41 一 .1 對(duì)任意的初值x°0,“迭代公式都收斂。31、(12 分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算寸115的近似值，并利用余

30、項(xiàng)估計(jì)誤差。用Newton插值方法：差分表:100100.047619012111-0.00009411360.04347831214411510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755535f'''x-x2f'''81151001151211151443135-1002156290.001636832、（10分）用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分I1 sin x。丁 的近似Si6 f00.94614588S22f0.94608693S2115S2S10.39310-5

31、或利用余項(xiàng):sin xxI2 x3!S24 x5!0.946086936 x7!8 x9!(4)1 x2f x 5 7 2!4x9 4!f(4) xb a 52880n42880 5n40.5 10 52, IS236、（6分）構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式,并求出其代數(shù)精度:10 xf x dx A0 fA1f 1取 f(x)=1,x,令公式準(zhǔn)確成立，得:1A0A172 ,1Aa12A0A13A0f(x)=x 2 時(shí)，公式左右 =1/4; f(x)=x3時(shí)，公式左= 1/5,公式右=5/24公式的代數(shù)精度=2值，要求誤差限為0.5105037、1 2 2A 1 1 1b(15分)已知方程組Ax b,其中 2 2 1,（1）寫(xiě)由該方程組的 Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel123迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說(shuō)明哪一種 方法收斂更快；解：（1） Jacobi迭代法的分量形式(k i)(k)x11 2x2(k 1)(k)x22 x1x3k 1)3 2x1(k)Gauss-Seidel(k 1)Xi(k 1) x2(k 1)1 2 x2k)2x；k 1)2x3k)x3k) ;k 0,1,2,L2x2k)迭代法的分量形式2x3k)x3k) ;k 0,1,2,L