教學(xué)課題§ 3格林公式—曲線積分與路線的無關(guān)性

1、教學(xué)課題：§ 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性教學(xué)目的：掌握格林公式以及曲線積分與路線的無關(guān)的條件教學(xué)重點(diǎn)：格林公式，曲線積分與路線的無關(guān)性教學(xué)過程：21.3.1格林公式當(dāng)平面上的曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時(shí)，稱曲線為閉曲線。平面的閉曲線圍成的區(qū)域，一個(gè)人沿閉曲線環(huán)行時(shí)，若所圍成的區(qū)域總是位于此人的左側(cè)，稱此人行走方向?yàn)榍€關(guān)于區(qū)域的正方向。具有正方向的閉曲線記做，具有負(fù)方向的閉曲線記做（圖4.1）。沿平面閉曲線的第二型曲線積分，記做             &

2、#160;             所謂格林（ 英國數(shù)學(xué)家）公式給出了平面上沿閉曲線的第二型曲線積分與該曲線所圍成的閉區(qū)域上的二重積分之間的關(guān)系。定理21.11 若函數(shù)，以及、在光滑或逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線所圍成的閉區(qū)域連續(xù)，則           （21.3.1）（這里所說曲線是簡(jiǎn)單的，是指曲線除起點(diǎn)、終點(diǎn)重合外，再無其它重合點(diǎn)）證：根據(jù)區(qū)域的邊界閉曲線的形

3、狀不同，可分三步證明。如圖所示，如果平行于軸（或軸）的直線與閉曲線至多交于兩點(diǎn)。設(shè)區(qū)域的上下邊界曲線分別是，且，于是                                    同理，可得     &

4、#160;            于是                    如圖所示，根據(jù)曲線積分的性質(zhì)，有                 

5、60;                 而                            于是        &

6、#160;                   同理                 于是    如圖所示，用平行于軸和軸的有限直線將區(qū)域分成若干個(gè)圖類型的區(qū)域。，因此     &

7、#160;                           將上述等式左、右兩端分別相加，由重積分與線積分的性質(zhì)，有由于，且與是方向相反的同一條線段，故于是此時(shí)也有格林公式             成立。  

8、0; 格林公式在復(fù)連通域上也成立，見如下推論。    推論：設(shè)區(qū)域是條光滑或逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線，所圍成的閉區(qū)域。函數(shù)、在連續(xù)，則            （21.3.2）這里，見圖。證：為簡(jiǎn)便起見，我們只考慮二連通的情形，即的邊界為兩條簡(jiǎn)單閉曲線，見圖4.6。在復(fù)連通區(qū)域的外邊界與內(nèi)邊界上分別取并引屬于的輔助線和將點(diǎn)、和、分別連接起來。此時(shí)，由閉曲線：及閉曲線：所圍成的區(qū)域和是但連通的。于是由定理，在和上格林公式成立。即有將上式左右兩邊分別相加，得

9、0;                                     這里。對(duì)于的內(nèi)部有條閉曲線情形的格林公式，可用數(shù)學(xué)歸納法證明。在格林公式中，令，即得可見閉曲線所圍成的區(qū)域的面積也可用第二型曲線積分表示為    

10、60;                                                 （21.3.3）

11、例21.3.1 計(jì)算，其中：。解：由于，均在所圍成的閉區(qū)域連續(xù)，由格林公式，有（在極坐標(biāo)系下計(jì)算）        例21.3.2計(jì)算 其中是沿橢圓的上半圓周由到（圖）。解：此題可將積分曲線參數(shù)化，將線積分化為定積分求解，但計(jì)算量很大。另一方面也可利用格林公式，先計(jì)算沿閉曲線：的線積分，再算出沿直線：的線積分，即可求出原線積分。由于   在所圍成的閉區(qū)域上連續(xù)，由格林公式，有          而&

12、#160;   于是根據(jù)線積分的性質(zhì)，有                                       例21.3.3 計(jì)算，其中是由到的上半圓周（）。解：記，且。為了應(yīng)用格林公式，在上

13、補(bǔ)充直線段：，構(gòu)成閉曲線：，所圍成的區(qū)域?yàn)椋▓D），則由格林公式，有               而    于是    例21.3.4計(jì)算 ，其中是光滑的，不通過原點(diǎn)的正向閉曲線。解：因?yàn)樗o閉曲線是平面閉曲線，自然考慮使用格林公式。分兩種情況計(jì)算。 閉曲線內(nèi)部不包含原點(diǎn)。由于函數(shù)           

14、; 在所圍成的閉區(qū)域內(nèi)連續(xù)，由格林公式          閉區(qū)域內(nèi)部包含原點(diǎn)?？紤]到被積函數(shù)分母是，以原點(diǎn)為圓心，作一長(zhǎng)、短半軸充分小的橢圓                         ：  使落在的內(nèi)部（圖）。記所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，則函數(shù) 

15、60;       及其便導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)域連續(xù)，由多連同域上的格林公式21.3.2有         于是     將曲線參數(shù)化，有                        &#

16、160; ：  則有         例21.3.5證明其中是保衛(wèi)有界區(qū)域的光滑閉曲線，是函數(shù)在曲線上點(diǎn)處外法線的方向?qū)?shù)，如圖所示。證：根據(jù)格林公式        這里、是曲線在處切向量的方向余弦。注意到，于是，而      。我們已經(jīng)知道第二型曲線積分        (21.3.4)   的值.

17、一般不僅與向量函數(shù)及曲線C的起終點(diǎn)A、B有關(guān)，也與由A到B的路徑C有關(guān)。例如，曲線積分                           （1）       沿直線由到積分值為；（2）沿拋物線由到積分值為；（3）沿立方拋物線由到積分值為 。另一方面，也有的第二型曲線積

18、分僅與路徑C的起終點(diǎn)A、B有關(guān)，與路徑C的幾何形狀無關(guān)（簡(jiǎn)稱與路徑無關(guān)）。例如曲線積分取上述（1）（3）的路徑分別進(jìn)行積分，其積分值均為1 。那么在什么樣的條件下，第二型平面曲線積分(21.3.4)只與積分曲線的起、終點(diǎn)有關(guān)，而與積分曲線的路徑無關(guān)。下面我們討論這一問題。定理21.12 若函數(shù)、以及偏導(dǎo)數(shù)、在單連通區(qū)域D連續(xù),則下列命題等價(jià):(1)       曲線積分（21.3.4）與積分曲線的路徑無關(guān),即其只與積分曲線的起、終點(diǎn)有關(guān);(2)       是某一函數(shù)的全微分

19、，即在D存在一個(gè)函數(shù)，使           （3） ，；（4）對(duì)于D內(nèi)的任意光滑或逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線，有                              證  （1）（2）&#

20、160;  取，將其暫時(shí)固定，為D內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)線積分（21.3.4）的值與積分路徑無關(guān),它的值將隨上限的確定而惟一確定.因而可把積分（21.3.4）作變上限積分  它是上限的一個(gè)二元函數(shù),記做,即        (21.3.5)    下面證明 =+ 。為此求和 。由式（21.3.5）可知，在點(diǎn) 處關(guān)于的偏增量           

21、60;   =-                  =+-+                  =+由于式（21.3.5）的積分與路徑無關(guān)，取由點(diǎn)到點(diǎn)沿平行與x軸的直線段，如圖5.1所示。此時(shí)函數(shù)、中的變量保持不變，故 。所以根據(jù)

22、式（21.3.5）和積分學(xué)中值定理，有=   =再由的連續(xù)性,得    =  同理可求                     =  而由，的連續(xù)性知, 在D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),于是在D可微,且            

23、60;       =+故命題(2)成立。此時(shí)稱函數(shù)是+的一個(gè)原函數(shù)。(2)（3）    根據(jù) =+ ，知   =       于是                     ，由假設(shè)、在D連續(xù),知 、

24、在D連續(xù),從而有                =故命題（3）成立。(3)（4）   設(shè)是區(qū)域D內(nèi)任意光滑或逐段光滑的閉曲線。有格林公式,有 =其中是閉曲線所圍成的區(qū)域。命題（4）得證。  （4）（1）    在區(qū)域內(nèi)，任取兩條以點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)為終點(diǎn)的光滑或逐段光滑的曲線與（圖5.2）。作閉曲線=，于是由（4），有     

25、60;      再由線積分性質(zhì)=即線積分與路徑無關(guān)。命題（1）得證。例21.3.6 計(jì)算,其中C是沿圓弧從為始點(diǎn)為終點(diǎn)的一段。    解 此題直接按路徑C計(jì)算很困難，如果設(shè)，注意到= 且、在平面上連續(xù)，由定理5.1知，該積分與路徑無關(guān)，可沿折線計(jì)算積分（圖5.3），于是=（+）  =（+2）+（）=2+例21.3.7計(jì)算   ,其中C是沿拋物線 上為始點(diǎn)、為終點(diǎn)的一段，如圖5.4 。解  注意到     

26、     =設(shè)，且=根據(jù)定理21.12，曲線積分與積分路徑無關(guān)，可取折線為積分曲線（見圖5.4）,有=(+)=(+=+=128而   =于是原積分=(128)+=。例21.3.8 設(shè)在平面上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),曲線積分   與路徑無關(guān),并對(duì)任意的實(shí)數(shù),恒有=求函數(shù)。解  由曲線積分與路徑無關(guān)，知=可得=，而=(+)+=+=而     =+=+=+由假設(shè)，有 +=+兩端對(duì)求導(dǎo)，得=1+ ，=從而所求的函數(shù)=  關(guān)于復(fù)連通區(qū)域上的第二型曲

27、線積分與路徑的問題我們有如下定理。定理21.13設(shè)函數(shù)、，、在復(fù)連通區(qū)域D連續(xù)（圖5.6）,則沿著D的曲線C的線積分與路徑無關(guān)的充要條件是:(1) ,    =(2) 沿包圍區(qū)域的且落在區(qū)域D的任意閉曲線的積分                  =證   “”     反證法, 若 D, 使。不妨設(shè) 。 根據(jù)函數(shù)的連續(xù)

28、性，,當(dāng)時(shí),有    ,且,這里是的邊界。由格林公式，有      =   顯然在上任取兩點(diǎn)A ，B，則可見由點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線積分與路徑有關(guān)，此與假設(shè)矛盾。  若存在沿包圍的某一閉曲線，曲線積分則在上取兩個(gè)不同的點(diǎn)、，記沿不同路徑由點(diǎn)到點(diǎn)的曲線分別為：和：，則=即     可見由點(diǎn)到點(diǎn)的線積分與路徑無關(guān)，此與假設(shè)矛盾。綜上所述，定理的必要性得證?！啊?A,BD.作D內(nèi)連結(jié)A、B兩點(diǎn)的曲線：與：，如圖5.7（a）、（b）。 即=，所圍成的

29、閉區(qū)域?yàn)椤Ｈ?，又=，。根據(jù)單連域上的格林公式，有 = 0 ，從而=        （21.3.6）         若= ，即包含在曲線內(nèi)，由假設(shè)（2），得= 0從而由線積分的性質(zhì)，得=                  （21.3.7）例21.3.9 證明曲線積分&

30、#160;                       =在去掉閉單位圓盤的平面上與路徑無關(guān),并求由點(diǎn)到的積分值。證  設(shè)= ，= ，則=且、在內(nèi)均連續(xù)。對(duì)于任意包圍的閉曲線，在內(nèi)作圍繞的圓周：如圖5.8所示。由復(fù)連通域上的格林公式= 0這里是由和所圍成的閉區(qū)域。于是=將曲線參數(shù)化，有  ：= ， = ，于是

31、，有 = =根據(jù)定理5.2，可知曲線積分與路徑無關(guān)。  取折線，則  =。 在定理21.12的(1)(2)的證明中,我們?cè)o出原函數(shù)的概念,即=,稱是的一個(gè)原函數(shù).這里我們求第二型平面曲線積分有類似于一元函數(shù)定積分的牛頓-萊布尼茲公式.定理21.14若在單連通區(qū)域D內(nèi)函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù),而與是D 內(nèi)的任意兩點(diǎn),C是D內(nèi)任意的以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的光滑曲線，則        =證 設(shè)曲線C的參數(shù)方程為且點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，于是曲線積分=根據(jù)已知是的一個(gè)原函數(shù)，則，從而=   =

32、由定理可知在單連通域上計(jì)算第二型曲線積分。若被積表達(dá)式有原函數(shù)，則歸結(jié)為求其原函數(shù)的問題，那么怎樣求原函數(shù)呢？根據(jù)定理5.3，將在內(nèi)固定，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則=即  =         （21.3.8）  特別若區(qū)域如圖5.9所示，注意到式（21.3.8）中曲線積分與路徑無關(guān)，積分曲線可取折線，于是有       =+或沿，有   = +   +C   例21.3.10計(jì)算，其中是任一條以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的光滑曲線。     解  令=，=，則