-多項(xiàng)式的因式分解定理

1、多項(xiàng)式X4 4在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、引入課題Qx初等數(shù)學(xué)中Rx的因式分解何為不能再Cx分？§ 1-5多項(xiàng)式的因式分解定理x4 -4= (x2 -2)(x22)(不能再分)x4 -4=(x- ：2)(x: 2)(x22) (不能再分)x4 -4 =(x - 2)(x、2)(x - .2i)(x、2i)在不同的系數(shù)域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分?平凡因式:零次多項(xiàng)式(不等于零的常數(shù))、多項(xiàng)式自身、八刖兩個(gè)的乘積Definition8 :(不可約多項(xiàng)式)令f(x)是Px的一個(gè)次數(shù)大于 零的多項(xiàng)式，如果f(x)在Px中只有平凡因式，就稱(chēng)f(x)為 數(shù)域P上(或在Px中)的不可約多項(xiàng)

2、式.(p(x)在數(shù)域P 上不能表示成兩個(gè)次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積)若f(x)除平凡因式外，在Px中還有其它因式，f(x)就說(shuō)是在數(shù)域P上 (或在Px中)是可約的.如果f (x) =g(x)h(x), g(x)不是平凡因式，則g(x)和h(x)的次數(shù)顯然 都小于f (x)的次數(shù).反之，若f(x)能寫(xiě)成兩個(gè)這樣多項(xiàng)式的乘積，那么f(x)有非平凡因式；如果Px的一個(gè)n次多項(xiàng)式能夠分解成Px中兩個(gè)次數(shù)都 小于n的多項(xiàng)式g(x)和h(x)的乘積即 f (x) =g(x)h(x)那么f(x)在P上可約.由不可約多項(xiàng)式的定義可知：任何一次多項(xiàng)式都是不可約多項(xiàng)式的不可約多項(xiàng)式的重要性質(zhì)：一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約是依賴(lài)

3、于系數(shù)域；1如果多項(xiàng)式f(x)不可約，那么P中任意不為零的元素 C 與f (x)的乘積c f (x)都不可約.2設(shè)f(x)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式而P(x)是一個(gè)任意多項(xiàng)式，那么或者f(x)與P(x)互素，或者f(x)整除P(x).3如果多項(xiàng)式f (x)與g(x)的乘積能被不可約多項(xiàng)式P(x)整除，那么至少有一個(gè)因式被 P(x)整除.Theorem5.如果p(x)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式,P(x)整除一些多 項(xiàng)式fi(x), f2(X), , fs(x)的乘積，那么p(x) 一定整除這些多項(xiàng) 式之中的一個(gè).證明:對(duì)被除多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)s用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)s=1時(shí)顯然成立；假設(shè)s=n-1時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng) s=n 時(shí)

4、，令 gi(x) = fi(x),g2(x) = f2(x)f3(x)fn(x),如果 p(x)|gi(x),則p(x) | fi(x)命題成立,如 果 p(x) | gi(x),則(p(x),gi(x) =1 ,從 而 p(x) | g2(x),即p(x)整除f2(x), f3(X),fn(x) n-1多項(xiàng)式的乘積，由歸納法假設(shè) p(x)整除其中一個(gè)多項(xiàng)式，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，命題得證.因式分解及唯一性定理：多項(xiàng)式環(huán)Px的每一個(gè)n(n 7)次多項(xiàng)證 明 因 式 分 解 疋 理式f(x)都可以唯一分解成Px的不可約多項(xiàng)式的乘積;f(x)二 Pi(X)2 p(x) Ps(x)所謂唯一性是說(shuō)，如果

5、有兩個(gè)分解式f(X)二 pi(x)2 p(x)Ps(x)二 qi(x)q2(x) qt(x)那么，必有s=t，并且適當(dāng)?shù)嘏帕幸蚴降捻樞蚝笥蠵i(x) =cq (x) (i =1,2, s)標(biāo)準(zhǔn)分解式(典型分解式)：f(X)二c» (x) p；2(X)P；s(x)其中c是f(x)的首項(xiàng)系數(shù)，P(X)，P2(X)，Ps(x)是不同的、首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，而ri ,2rs正整數(shù)例1 :在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式，f (x) = x3 x2 - 2x - 2 .f (x) = x3 x2 -2x -2 = (x 1)(x2 x2) = (x 1)(x -1)(x 2)例2:求 f(x)-

6、 x° - 2x3 2x2 x-1在Qx內(nèi)的典型分解.式f (x) =x5 -x4 -2x3 2x2x -仁(x -1)(x2x2 1) = (x -1)3(x 1)2例 3.求f (x) = 2x510x4 16x316x2 14x6 在Rx內(nèi)的典型分解式.f(x) =2(x2 1)(x-1)2(x-3)=(x-1) 口 (x-coskT突出不 同數(shù)域 上不同 多項(xiàng)式(x6 - 1)=(x3- 1)(x31)=(x -1)(x2 x 1)(x 1)(x2-x 1)；在Rx上(x6 -1)=(x3-1)(x31)2 2=(x -1)(x x 1)(x 1)(x-x 1)；布置作業(yè)P45-15例4:分別在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上分解多項(xiàng)式x5 -1和x6 -1為不可約多項(xiàng)式的乘積.解：(x5 -1) = (x - 1)(x4 x3 x2x 1) Qx(x5 -1) =(x -1)(x4 x3 x2 x 1)22兀24兀= (x1)(x -2cos 1)(x -2cos 1) Rx55(x