2016年10月24圓錐曲線(xiàn)解答題

1、2. （ 2016?天津）設(shè)橢圓2 2 +J =12 3a "（a>；）的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A，已知一+-= ，其中0為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率.|0F| |0A| |FA|（1 ）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)I與橢圓交于B （B不在x軸上），垂直于I的直線(xiàn)與I交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn) H，若BF丄HF，且/ MOA= / MAO，求直線(xiàn)I的斜率.【解答】丄+】=|of| |oa| |fa|解:(1)由f _ 3 a b-Qq2 _ 3即 - 一：一 =_ 餐/ 7/J _ 3 a(a- /a2 - 3)2 2 2a a -( a - 3) =3a (a - 3),解得 a

2、=2.2 2二橢圓方程為(2)由已知設(shè)直線(xiàn)I的方程為y=k (x-2), (k豐0), 設(shè) B (X1, y) M (xo, k ( xo - 2),/ MOA= / MAO ,二xo=1 ,再設(shè) H (0, yH),'y=k(x- 2)聯(lián)立"/ ，得(3+4k2) x2- 16k2x+16k2- 12=0.I宀丄2 2 2 2 = (- 16k )- 4 (3+4k ) (16k - 12) =144> 0.由根與系數(shù)的關(guān)系得16k2 - 12二23+41/-12k3+4k2_8k2- 6-3+4k2MH所在直線(xiàn)方程為 y- k (xo- 2)=-丄(x- xo),令

3、 x=O ,得 yH= (k+ ) xo - 2k,/ BF 丄 HF,即 1 - Xi+yiyH = 1 -81? 63+4k212k 5"3+4k 2整理得：9二=1，即 8k2-3° 12(kZ+l):k= 或.3. （ 2016?浙江）如圖，設(shè)橢圓C: ' '+y2=1 (a> 1)a（I）求直線(xiàn)y=kx +1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)（用 a, k表示）（H）若任意以點(diǎn) A（ 0，1 ）為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值得 X1=0 或 X2= 一 -：，：2 2、 2 2，可得：(1+a k)x +2ka x=0， =192 ?

4、l+k a2直線(xiàn)y=kx+1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)為:I 2a2 |k | /5=,；-（H）假設(shè)圓A與橢圓由4個(gè)公共點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè) y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,滿(mǎn)足 | AP| =| AQ| ,記直線(xiàn)AP, AQ的斜率分別為：k1, k2;且k1, k2>0,劉工k2,由(1)可知2/ |k2|Ji+k|AQ| =2a2 Ik】 Ijl+k J |AP|='2 a2故：2h . 2i 2'1+ a k 2，所以，(k12- k22) 1+k12+k22+a2 (2-l+a2k/a2)22k1 k2 =0，由工 k2,k1, k2> 0,可得:1+k12+k

5、22+a2 (2 a2) k12k22=0,因此1)2 21 i_1 |a (a - 2)，2 21+a (a - 2 )> 1,因?yàn)槭疥P(guān)于k1, k2；的方程有解的充要條件是： 所以a> .因此，任意點(diǎn)A (0, 1)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為:1V av 匚,e= =得，所求離心率的取值范圍是：a a4.2 2(2016?天津)設(shè)橢圓.+J1 (a> 的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A .已知+ = _|0F| |0A| |FA| ?(1 )求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率.I與橢圓交于點(diǎn)B ( B不在x軸上)，垂直于I的直線(xiàn)與I交

6、于點(diǎn)M ,與y軸于點(diǎn)H，若BF丄HF，且/ MOA <Z MAO，求直線(xiàn)I的斜率的取值范圍.【解答】解：(“由丁+十=匸，得'Rn +Va2 - 3 臥？ - 3 即,a2 - 3 a(a -寸 J - 3) a a ( a 3) =3a (a 3),解得 a=2.2橢圓方程為''4I的方程為y=k (x-2), (k豐0), (xo, k (xo- 2),(2)由已知設(shè)直線(xiàn)設(shè) B (xi, yi), M/ MOA <Z MAO , xo> 1,再設(shè) H (0, yH),ry=k(x- 2)/ v2 ，得(3+4k2) x2- 16k2x+16k2-

7、12=0 .聯(lián)立I 4312 2 = (- 16k2) 2 - 4由根與系數(shù)的關(guān)系得2 2(3+4k2) (16k2 12) =144> 0. c 16 八-122 X | -9 53+4/8k2- 69>3+4kz彳-12k珀二k(x 1 - 2)=13+4kMH所在直線(xiàn)方程為.丄.，_':,Uk u令 x=o，得 r，- I .： - ': |(:./ BF 丄 HF,一 I工，.：,2即 1 - Xi+yiyH,3+4k3+4k拋物線(xiàn)E: x =2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn). (I)求橢圓C的方程； (H)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線(xiàn)I與C

8、交于不同的兩點(diǎn) A , B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為D，直線(xiàn)0D與過(guò)P且垂直于x軸的直線(xiàn)交于點(diǎn) M . (i)求證：點(diǎn) M在定直線(xiàn)上； k u5. ( 2016?山東)平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓2 2+ '=1 (a> b > 0)的離心率是/ b2Vs整理得：9即8&3":或(ii)直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)G,記厶PFG的面積為S1,A PDM的面積為S2,求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).y +【解答】解：(I)由題意可得e=：拋物線(xiàn)e： xy的焦點(diǎn)F為(0,石),即有 b=JL, a2- c2=JL2 4解得 a=1, c= _2可得橢圓的方程為 x2+4y

9、2=i ；(H) (i )證明：設(shè) P (xo, yo),可得 xo2=2yo,由y=JLx2的導(dǎo)數(shù)為y'=x，即有切線(xiàn)的斜率為 xo,2則切線(xiàn)的方程為y-yo=xo (x - xo),可化為y=xox - yo,代入橢圓方程，2 2 2可得(1+4xo ) x - 8xoyox+4yo - 1=0,2 2 2 2 2 2 =64x° yo - 4 (1 +4x° ) (4yo - 1) > o,可得 1 +4x° > 4yo .設(shè) A (X1, y1), B (X2, y2),8xnyn4xnynyn可得X1+X2=，即有中點(diǎn)D (，-),l

10、+4x0Jl+4x02l+4x02直線(xiàn)OD的方程為y= - x,可令x=xo,可得y=-%4即有點(diǎn)M在定直線(xiàn)y=- 上；4(ii)直線(xiàn)I的方程為y=xox- yo,令x=o，可得G (o,- yo),1 2= xo (1 +xo )；-1 4xn7 n 11S2=| PM| ?| xo-|=(yo+) ?2 24則 sia+q吒+4-xoyo i (1+2 k/) 2一 =x0?1皿/ 8 1+%2 ,S仁'| FG| ?| xo| =丄xo?(丄+yo)+ 1人2Si 哄 1+丁)(1+珀2)(z(2t-l)令 1+2xo =t (t> 1),貝y石一=s2t則當(dāng)t=2，即 g

11、時(shí),=一取得最大值'',此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為6. （ 2016?寧波校級(jí)模擬）已知拋物線(xiàn)2x =4y的焦點(diǎn)為F, A、B是拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且-| ： -.過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)其交點(diǎn)為M .(I)證明為定值；()設(shè)厶ABM的面積為S,寫(xiě)出S=f ( X)的表達(dá)式，并求 S的最小值.【解答】解：(1)設(shè)A (xi, yi), B (X2, y2), M (xo, y。)，焦點(diǎn)F (0, 1)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為 y= - i,顯然AB斜率存在且過(guò)F ( 0, 1)2 2設(shè)其直線(xiàn)方程為 y=kx + 1，聯(lián)立4y=x消去y得：x - 4kx - 4=0,判別式 =16 (k +1

12、 )> 0.X1+X2=4k, xw 4于是曲線(xiàn)4y=x2上任意一點(diǎn)斜率為 y'='，則易得切線(xiàn) AM , BM方程分別為y= ( ) X1 (x2 2-X1)+y1, y=(二)x2 (x - X2)+y2，其中 4y1=x12, 4y2=x22，聯(lián)立方程易解得交點(diǎn) M 坐標(biāo)，K i + Xxo= =2k, yo= = - 1,即卩 M從而， f'= ( , - 2),l-|. (X2- X1, y2 -y1)2T?：l，= ( X1+X2)(X2 - X1)- 2 (y2 - y) J (x?2-x/)- 2(x?2-x/) =0,(定值)224命題得證.這就

13、說(shuō)明AB丄FM .(H)由知在厶ABM中，F(xiàn)M丄AB，因而SAB|FM| .疋-丨；-:, (- X1 , 1 - y1) =X( X2, y2- 1 ),即"Tr r Hl，| FM而 4y1=x12, 4y2=x22, 則 X22= ： , X12=4 人因?yàn)閨 AF |、| BF|分別等于A、B到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)y= - 1的距離，所以 |AB| =| AF|+| BF|=y1+y2+2=Zgf= X-+2=)于是 S|AB| FM| = 十)3,由2知S> 4，且當(dāng) X1時(shí)，S取得最小值4.7. ( 2016?四川)已知橢圓 E +' =1 (a> b>

14、0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三a2 b2角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn) P( 7，)在橢圓E 上.2(I) 求橢圓E的方程；(n)設(shè)不過(guò)原點(diǎn) O且斜率為丄的直線(xiàn)I與橢圓E交于不同的兩點(diǎn) A , B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，直線(xiàn)OM與橢圓E交于C, D，證明：丨MA| ?| MB | =| MC| ? MD| 【解答】(I)解：如圖，fa=2b由題意可得橢圓E的方程為 &-_-;，解得 a =4, b =1,(n)證明：設(shè)AB所在直線(xiàn)方程為,口古宀r/口且b + C"/口22尸知+m也22聯(lián)立聯(lián)立 *2，得 x +2 mx+2 m - 2=0 . =4m2- 4 (2m2- 2) =8

15、- 4m2>0,即 :""- 設(shè) A (百，yj, B (X2, y2), M (X0, y°),則：.! I ,：. i, ：，：.-_-.-：，|AB|= +!1 _ i '：x0= - m,則OM所在直線(xiàn)方程為y= - 聯(lián)立).)而 MA| ? MB| =(寺 |樁|(1)直線(xiàn)I的傾斜角為(10-5m2) =_1.424& ( 2016?上海)雙曲線(xiàn) x2-二=1 (b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi, F2，直線(xiàn)I過(guò)F2且與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)., F1AB是等邊三角形，求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程;(2)設(shè)b=rj匸，若I的斜率存在，且(

16、卜；+ j) ?f =0，求I的斜率.【解答】 解：(1)雙曲線(xiàn)X2-上丁=1 ( b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2, a=1, c2=1+b2, b2直線(xiàn)I過(guò)F2且與雙曲線(xiàn)交于 A, B兩點(diǎn)，直線(xiàn)I的傾斜角為 , F1AB是等邊三角形，2可得：A (c, b2),可得：-2b2=2c422、3b =4 (a +b ), 即 3b4- 4b2- 4=0 ,2b> 0，解得 b =2 .所求雙曲線(xiàn)方程為：x2-?=1,其漸近線(xiàn)方程為y= ±2x.(2) b=二，雙曲線(xiàn) x2-=1,可得 F1 (- 2, 0), F2 (2, 0).設(shè)A (刈,y1), B (X2

17、, y2),直線(xiàn)的斜率為：k= 七*直線(xiàn)I的方程為：y=k (x - 2),fy=kx - 2k由題意可得:i工 / ，消去y可得：(3- k2) x2+4k2x-4k2-3=0,2 =36 (1+k2)> 0,可得 Xi+X2= i ,k2 - 32貝H yi+y2=k (xi+X2- 4) =k ( 4)=；-.= (xi+2, yi),-.；=(X2+2,y2),? ：|，=0 可得:(X1+X2+4, yi+y2) ? (xi - X2, yi - y2)=0 ,可得 xi+X2+4+ (yi+y2) k=0 ,1.2k?k=0可得：k2=,k= ±5解得l的斜率為:2

18、 29. ( 20i6?山東)已知橢圓 C:二一 +' =i (a>b> 0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為 2 Ia2 b2(I)求橢圓C的方程；(H)過(guò)動(dòng)點(diǎn) M (0, m) (m> 0)的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A , P (P在第一象限)， 且M是線(xiàn)段PN的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交C于另一點(diǎn)Q,延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B.(i) 設(shè)直線(xiàn)PM , QM的斜率分別為k, k',證明蘭為定值；k(ii) 求直線(xiàn) AB的斜率的最小值.B【解答】解：(I)橢圓C:=1 (a> b> 0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2 '.可得a=2,/ b2C=“寸:， b= ：

19、，2 2可得橢圓C的方程：42丄(H)過(guò)動(dòng)點(diǎn) M (0, m) (m> 0)的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A , P (P在第一象限)， 設(shè)N (- t, 0) t> 0, M是線(xiàn)段PN的中點(diǎn)，貝U P (t, 2m),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交C于另 一點(diǎn) Q, Q (t, - 2m),(i)證明：設(shè)直線(xiàn) PM , QM的斜率分別為k , k',2m_ m m , _ 2m - in k=, k'=t - 0 tt - 0-3mF-=-3.為定值;.2 2(ii)由題意可得 -42PN的方程為：y=kx +m,(2 2x y _42,可得：y=kx+m2 2 2即：(1+

20、2k ) x +4mkx+2m - 4=0m2=4- t2, QM 的方程為：y= 3kx+m,2x2+2(kx+m) 2=4,十曰2(iu2- 2)2(iu2- 2)可得 xa=, yA=+m ,(2k+l)xQ(2k+l)xQ2 f 腫 _ 2)同理解得XB='yB=(18kz+l)x-6k(ni2-2)亠丄，(18k z+l)p2(m2- 2)2(m2- 2)-32k£(m3-2)k -=(2k2+l)xQ(18k2+l)xQ (18k2+l)(2kE+l)KQ2(id2-2)-6k(m3-2)、-8k(6k2+l)(ir2-2)yA- yB=k+m-(亠:.)=,.(

21、2k2+l)xQ(18k'+l) %(18k>l) C2kz+l)xQ= 2kAB= =_ = . ，由 m>0, xo>0,可知 k>0,咗藍(lán)A 4k 4k所以6k+： 二當(dāng)且僅當(dāng)k='時(shí)取等號(hào).k6此時(shí)”，即m= 1 1 ,符合題意.7876丁所以，直線(xiàn)AB的斜率的最小值為：丄10. (2016?上海)雙曲線(xiàn)x2 =1 ( b> 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,直線(xiàn)I過(guò)F2且與 b2雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn).1T(1 )若I的傾斜角為二， FiAB是等邊三角形，求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；_ 2(2) 設(shè)b=，若I的斜率存在，且| AB | =4，求

22、I的斜率.【解答】解：(1)若I的傾斜角為, F1AB是等邊三角形，把x=c=代入雙曲線(xiàn)的方程可得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為b2,由 tan/ AFF2=tan =一，求得 b2=2, b=-,63 N1+護(hù)故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 y= ± bx= 土或lx, 即雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 y= ±二x.(2)設(shè)b=二，則雙曲線(xiàn)為x20),若I的斜率存在，設(shè)I的斜率為k，則I的方程為y- 0=k (x - 2),即y=kx - 2k,2 2 2 2，可得（3 - k ） x +4k x- 4k - 3=0,由直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則3- k20，即k 二.2 =36 (1+k )>

23、0.求得k=，5I的斜率為 L-511. (2016?天津一模)已知橢圓2 2C:二一+=1 （a>b> 0）的離心率為/ b2, 2 2圓R: x + (y - 2) =4的直徑，過(guò)點(diǎn)P (0, 1)的直線(xiàn)I與橢圓C交于兩點(diǎn) 交于兩點(diǎn)M , N(I)求橢圓C的方程；(H)求證：直線(xiàn) RA , RB的斜率之和等于零；(川)求|AB | ?| MN |的取值范圍.【解答】解：(I)因?yàn)闄E圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓R: x2+ (y-2) 2=4的直徑， 所以2a=4, a=2;(1分)由離心率為，得e2=,2a 2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為等于A, B，與圓R2 2所以一=，得 b?=2 ； - （2 分）2

24、 2所以橢圓C的方程為二一+=1； - (3 分)(n)當(dāng)直線(xiàn)I的斜率存在時(shí)，設(shè)2I的方程為y=kx+1，與一42 2消去 丫，得（1+2k ） x +4kx - 2=0;設(shè) A （xi, yi）, B （X2, y2）,則 X1+X2= -' , X1X2= -, - （5 分）l+2k2l+2kz由 R （ 0, 2），得71 - 2 y2 - 2kRA + kRB=+ "X14k=2k -" J =0 （7 分）l+2k2所以直線(xiàn)RA , RB的斜率之和等于零；- （8分）（川）當(dāng)直線(xiàn) I 的斜率不存在時(shí)，|AB|=2 _, | MN| =4, |AB|?|M

25、N|=8； - （ 9 分） 當(dāng)直線(xiàn)I的斜率存在時(shí)，|AB|=二y =.1-r?|Xi- X21t_-J?：'：.，=廿？，:' -' | V 1+21/l+2kH2k2I MN | =2=2/ , （ 11 分）V Vl+k2 V 1+k2所以 |AB|?|MN|=？2l+2k2 V 1+k2=4 匚? ；1+21?因?yàn)橹本€(xiàn)I過(guò)點(diǎn)P （0, 1）,所以直線(xiàn)I與橢圓C和圓R均交于兩點(diǎn)，2令 1+2k =t，則 t> 1,所以 | AB |?|MN | =4 匚？ V - ： - ' =4 =、？ ：._ _< 8 匚,又y=4一在t > 1時(shí)單

26、調(diào)遞增，所以 |AB|?|MN | =4 一 4 :,當(dāng)且僅當(dāng)t=1 , k=0等號(hào)成立；（13分）綜上，|AB|?|MN|的取值范圍是48刁.（14分）2 212. （2016?衡陽(yáng)三模）已知橢圓：亠-：. 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，短軸b 2 2 2a=2, b=c, a =b +c ，二 b =2；兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形.（1 ）求橢圓的方程；（2）若C、D分別是橢圓長(zhǎng)的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M滿(mǎn)足MD丄CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)（3）在（2）的條件下，試問(wèn) x軸上是否存異于點(diǎn) C的定點(diǎn)Q,使得以MP為直徑的圓恒 過(guò)直線(xiàn)DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)

27、 Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.r【解答】解：（1）2橢圓方程為:-I (4 分)(2) C (- 2, 0), D則 0P = (xr ¥小0M二 yQ)(2, 0),設(shè) M (2, yo), P (X1, y1),直線(xiàn) CM :，代入橢圓方程 x2+2y2=4,x4yo2（y - 8）8y0，一，4僉8)8y0:（8分）疳8202，2 -9y0+8y0+8y0+8（3）設(shè)存在 Q （m, 0）滿(mǎn)足條件，則 MQ丄DP （11分）-x1=-藍(lán)+8.(定值)(10 分)一、一 f 4yn 8yn（12 分）坯+8 y0+s一 一4Xn則由.一1 - .1,從而得m=0%+8y0+8

28、存在Q （ 0, 0）滿(mǎn)足條件（14分）13. (2016?河?xùn)|區(qū)一模)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為丄，且經(jīng)過(guò)二點(diǎn)1. ，過(guò)點(diǎn)P (2，1)的直線(xiàn)I與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn) A，B .2(I)求橢圓C的方程；(n)是否存直線(xiàn)I，滿(mǎn)足， J ?若存在，求出直線(xiàn)I的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明 理由._c 12 2【解答】解：(I)設(shè)橢圓c的方程為''.i.'.-，由題意得a2 b2 2解得a2=4， b2=3，故橢圓C的方程為 -'i(n)若存在直線(xiàn)I滿(mǎn)足條件，由題意可設(shè)直線(xiàn)I的方程為y=k (x- 2) +1，(2 22 2 2由出 43得(3+4k

29、 ) x - 8k (2k- 1) x+16k - 16k - 8=0.y=k(x-2)+lL一因?yàn)橹本€(xiàn)I與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn) A , B,設(shè)A , B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X1, yi), (X2, y2),所以 = - 8k (2k - 1) 2- 4? (3+4k2) ? (16k2- 16k- 8)> 0.整理得 32 (6k+3)> 0.解得 i-:-16k2-16k- 33+4以2匸8k(2k - 1)乂丁，+,1£3+4k2且-.J 一"，即 丫 . I '1，所以- I'："：，.即： ； I.所以J解得.3+4 k23

30、+4kz3+4k2 42所以：-亠.于是存在直線(xiàn)I滿(mǎn)足條件，其的方程為亠-2 214. (2016?南昌校級(jí)二模)已知直線(xiàn)I: y=kx +1 (k豐0)與橢圓3x +y =a相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，記I與y軸的交點(diǎn)為C.(I) 若k=1，且| AB| =-，求實(shí)數(shù)a的值；2(n)若L：=2 |'.,求厶AOB面積的最大值，及此時(shí)橢圓的方程.【解答】解：設(shè) A (X1, y1), B (X2, y2),fy=x+l2(I) 由 *得 4x +2x+1 - a=0, 3, + y11 a則 X1+X2=, X1X2=,- _則 I AB I =_：, |, .=-：-.-，解得 a=2

31、.y=kx+l99(n)由，得(3+k ) x +2kx +1 - a=0,L3x2+y貝 y X1+X2=-2k3+k2X1X2=3+k由匚=2 二得(-X1, 1 - y1)=2 ( X2, y2 - 1),解得X1= - 2X2，代入上式得：2k 2kX1+X2= - X2=-.，則 X2=3+/3+“l(fā)oc卜丨衍亠=2 血侖陰當(dāng)且僅當(dāng)k2=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí) X2= , X1X2= - 2x22= - 2X3+評(píng)(3+kU3又 X1X2= ,3+k25貝U-='，解得a=5.63所以， AOB面積的最大值為丄上，此時(shí)橢圓的方程為 3x2+y2=5 .216. (2016?陜西校級(jí)

32、模擬)已知 F1、F2分別是橢圓C : / +y2=1的左、右焦點(diǎn).4(1 )若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，I ?；上-',求點(diǎn)P的坐標(biāo)；1 2 4(2 )設(shè)過(guò)定點(diǎn) M ( 0, 2)的直線(xiàn)I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A , B,且/ AOB為銳角(其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線(xiàn)I的斜率k的取值范圍.【解答】解：(1)因?yàn)闄E圓方程為知 a=2, b=1，：.二' ；,可得：，1 -、訂7!設(shè) P ( x, y) ( x> 0, y > 0),則一 工，八一-:. - V -''，= 帀，即為P(l，又一；.，聯(lián)立(2)顯然x=0不滿(mǎn)足題意，可設(shè)I的方程為

33、y=kx +2,設(shè) A (X1, y1), B (X2, y2),聯(lián)立,-r+y =1=>d+4k2)x2+i6ki+i2=o,y=kx+2由厶=(16k) 2- 4 (1+4k2) ?12> 0，得.16k121£ l+4kz 1 ' lHk2又/ AOB為銳角，即為t. .' : i,即 Xix2+yiy2>0, xix2+ (kxi+2) (kx2+2)> 0,又匚L+4k2LHkz可得4又m，即為.-.,解得-:ii .2 217. （2016?威海一模）已知橢圓C : '+厶/ b2=1 （a> b > 0）的離心

34、率為丄,且過(guò)點(diǎn)（1,'）.V0（1）求橢圓C的方程；2 2 2（2）設(shè)與圓O: x +y =相切的直線(xiàn)I交橢圓C與A，B兩點(diǎn)，求 OAB面積的最大值,4及取得最大值時(shí)直線(xiàn)I的方程.【解答】解：（1）由題意可得，e=.，a2- b2=c2,點(diǎn)（i,代入橢圓方程，可得6kmX1+X2=-,1+3/由直線(xiàn)I與圓O: x-=1，解得 a=d, b=1 ,2 2即有橢圓的方程為一+y2=1 ；3；(2) 當(dāng)k不存在時(shí)，x= ±-時(shí)，可得y= 土，2 2OABX=；224 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)為 y=kx +m, A (x1, y1), B (X2, y2),2 2 2將直線(xiàn)y=kx+m代

35、入橢圓方程可得(1 +3k ) x +6kmx+3m - 3=0,3 m2 - 3x1x2=l+3k22'J：ii ?|AB|=|汕2F拠盞）"7l+3k2F J相切，可得=， 即有 4m2=3 (1 +k2),當(dāng)且僅當(dāng)即k=土 時(shí)等號(hào)成立,可得 Ss=|AB|?2y=±2 218. (2016?河北區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓：.I _' I ' 的焦距為2, 一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形.(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F點(diǎn)的兩條互相垂直的直線(xiàn)11, 12,直線(xiàn)11與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)12與直線(xiàn)x=

36、4交于T點(diǎn).(i) 求證：線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在直線(xiàn) OT 上;(ii) 求：的取值范圍.|PQl【解答】解：(I)由橢圓得w n 2 ,解得a=2, c=1 ,依二22 2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 一.-'.5x v2 2(H) (i)設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為:2 2x=my +1，代入橢圓方程'-'得(3m +4) y +6my -9=0,則判別式厶=36m2+4X 9 (3m2+4)> 0,設(shè) P (X1, y1), Q (X2, y2), PQ 的中點(diǎn) G (xo, yo),則 yi+y2=' , yiy2= J ,3 異+43m'+4貝卩 yo= (y

37、i+y2)=:_, xo=myo+仁 r 23異+43m2+4即 G (£,),；.-；.:3m-3 mkoG=3mZ+4設(shè)直線(xiàn)FT的方程為：y= - m （x - 1）,得T點(diǎn)坐標(biāo)為（4，- 3m）, koT=-，4二 koG=kOT,即線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在直線(xiàn) OT上；（ii）當(dāng) m=0 時(shí)，PQ 的中點(diǎn)為 F, T（ 4，0），則 | TF| =3, |PQ| = 二， J -j，當(dāng) 20 時(shí)，|TF|=_：_：1 -< .j|PQ|4*-93tn2+4=12則-JI:-'I 二設(shè) t=，則 t> 1,則 y=3 宀一 +=3t+ =3Vip +1 t則 y&g

38、t;3+1=4,異+13ui2+4（t+ ）在（1, +s）為增函數(shù),則»3十綜上詈A 1,故求|TF|IPQI的取值范圍是1, +8）.19. (2016?石家莊二模)已知橢圓C:(a> b> 0)的離心率為V20)的直線(xiàn)1交橢圓C于A, B兩點(diǎn)，I MA I = A| MB I ,且當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí),(1) 求橢圓C的方程；(2) 若入 丄,2，求弦長(zhǎng)|AB |的取值范圍.2【解答】解：(1)由題意可得，.-：，即厶-a 222 _ k2 12 2，貝V a =2b，過(guò)點(diǎn)M ( 1,IAB|= _.2 2把 x=1 代入 J- . '_ j ,得 y= +

39、2 T, 2 丄_a b則空75Sl 聯(lián)立得：a2=2, b2=1.橢圓C的方程為廠 .J_-；(2)如圖，當(dāng)直線(xiàn)I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)I方程為y=k (x - 1),y=k(x _ 1) 聯(lián)立"文2o ，得(1 +2k2) y2+2ky - k2=0.存+y 二 1設(shè) A (X1, y1), B (X2, y2),_2kl+2k2yi由 | MA |= A| MB | ,l+2k2得.TJ,( 1 - X1，- y1)=入(X2 - 1, y2),則-y1= “2,把代入消去y2得：一-亠l+2k A當(dāng)疋',2時(shí)，'-一.廠 衰0,.21+2/X 2解得:_：.&g

40、t;-弦長(zhǎng)| AB |的取值范圍為 口2 220. (2016?漳州二模)已知橢圓一+=1 (a> b> 0)的左、右焦點(diǎn)分別是點(diǎn)Fl, F2,其a 2橢圓的方程為；(n)由(I)知 F1 (- 2, 0); AC 丄BD；(1)當(dāng)直線(xiàn)AC , BD中一條直線(xiàn)斜率不存在時(shí)， *丨1 -'-； b2離心率e=,點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， PF1F2面積的最大值為4二.2(I)求橢圓的方程；(n)若A , B, C, D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)Fi,1=0，求 |二|+|的取值范圍.【解答】 解：(I)由題意知，當(dāng) P是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí) PFiF2的面積取最大值

41、;J丨一;；即八廠；由離心率為得:一聯(lián)立2解得 a=4, c=2, b =12 ；(2)當(dāng)直線(xiàn)AC斜率為k, k豐0時(shí)，其方程為y=k (x+2),將該方程帶入橢圓方程并整理 得：2 2 2 2(3+4k2) x2+16k2x+16k2 48=0;若設(shè) A (xi, yi), B (X2, y2),貝V：16k2-3+4k2_16k2 - 43 ,= 2 ；3+4 k 2-2八2 ；3+4kzI AC1+lBD |_168t2- 1) (3t+l)16卅12t2+t - 1168t - 112-rr-_ 1 ' ： .：.- '4 ：.：-=；2 直線(xiàn)BD的方程為y= - -

42、| .一| ,同理可得 p | - 21 -'k4+3k2- 亍=：； (3+4 k)(4+3k2)令 k2+1=t, t> 1 ；t = 1 t+2設(shè)f (t) =f-, (t> 1), f' (t);tt t ( 1 , 2)時(shí),f' (t)> 0, t( 2, +s)時(shí),f' (t)v 0; t=2 時(shí)，f (t)取最大值，又 f (t)> 0;4綜上得.丨卜/ 的取值范圍為亠. I2 221. (2016?大慶校級(jí)模擬)如圖，曲線(xiàn)r由兩個(gè)橢圓T仁' .-： -：-.和橢圓T2：a2 b2'-"-：| J

43、組成，當(dāng)a, b, c成等比數(shù)列時(shí)，稱(chēng)曲線(xiàn)r為貓眼曲線(xiàn)”.b2 c2(1)若貓眼曲線(xiàn) r過(guò)點(diǎn)" ，且a, b, c的公比為.，求貓眼曲線(xiàn) r的方程；(2)對(duì)于題(1)中的求貓眼曲線(xiàn)r任作斜率為k (k豐0)且不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與該曲線(xiàn)相 交，交橢圓Ti所得弦的中點(diǎn)為 M，交橢圓T2所得弦的中點(diǎn)為 N，求證：二丄為與k無(wú)關(guān)的定值；(3) 若斜率為 匚的直線(xiàn)I為橢圓T2的切線(xiàn)，且交橢圓T1于點(diǎn)A，B，N為橢圓Ti上的任 意一點(diǎn)(點(diǎn)N與點(diǎn)A，B不重合)，求 ABN面積的最大值.XXj切-2f 22/I41 2<22J1 41 2由0M-:; a_2, c_1 ,2 2 , 2 TKy T

44、y 丄 (2)證明：設(shè)斜率為 k的直線(xiàn)交橢圓Ti于點(diǎn)C (xi, yi), D (X2, y2),線(xiàn)段CD中點(diǎn)M(xo, yo),=1ii,得：一：，:丁 :丁1得4=1-k存在且k工0, Xi 工 X2,且 X0工 0,同理，k?k°N_- 2;(3) 設(shè)直線(xiàn)I的方程為/ :,尸廠直+in化簡(jiǎn)得，-二二'.' 一2 2 2由厶=0化簡(jiǎn)得m =b +2c ,工 _汁:-，聯(lián)立方程得2 22.2丄a b化簡(jiǎn)得. +_ _. -J .二二_'.J- 一由厶=0 得 m2=b2+2a2,，兩平行線(xiàn)間距離:、Vb2+2c2+7b2+2a2赤73|AB| =2逅蝸2 a

45、? _心b2+2a2 ABN的面積最大值為2 222. (2016?撫順一模)已知橢圓''- - 的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,過(guò)點(diǎn)a2 b2F2作垂直于x軸的直線(xiàn)交該橢圓于M、N兩點(diǎn)，直線(xiàn)A1M的斜率為丄2(I)求橢圓的離心率；()若厶AiMN的外接圓在 M處的切線(xiàn)與橢圓相交所得弦長(zhǎng)為 ，求橢圓方程.【解答】 解：（I）由題意 “，:（1分）ab3因?yàn)锳i （- a, 0）,所以亠二?。?分）a+c 23分）將b2=a2 - c2代入上式并整理得“ 二1.二.（或a=2c）且2所以一一（4分）4 2（n）由（I）得a=2c,、=,汪、，（或丄可4c 3c5分）所以 Ai （-

46、 2c, 0）".i,外接圓圓心設(shè)為2P （X0, 0）（6分）解得：（7 分）3c（8 分）4所以一,£所以 AiMN外接圓在 M處切線(xiàn)斜率為1，設(shè)該切線(xiàn)與橢圓另一交點(diǎn)為C則切線(xiàn)MC方程為工 二，即/-244分）與橢圓方程 3x2+4y2=12c2 聯(lián)立得 7x2- 18cx+11c2=0 解得一.，1 .（10 分）由弦長(zhǎng)公式| _ ;'，:.（11 分）11cT（12 分）解得c=1（13分）2 2所以橢圓方程為-（14分）4323. (2016?萊蕪一模)設(shè)橢圓 C: +藝亍=1 (a> b> 0),定義橢圓C的相關(guān)圓”方程為/ b 2 2即(1

47、+2k2) x2+4kmx+2m2- 2=0,2 2x2+y2=.若拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓c的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形(I)求橢圓C的方程和 相關(guān)圓”E的方程；(H)過(guò) 相關(guān)圓” E上任意一點(diǎn)P作相關(guān)圓” E的切線(xiàn)與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo) 原點(diǎn)(i) 證明：/ AOB為定值；(ii) 連接PO并延長(zhǎng)交 相關(guān)圓”E于點(diǎn)0,求厶ABQ面積的取值范圍.【解答】解：(I)：拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合， 且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，2 b=c=1 a =1 +1=2 ,2 “橢圓c的方程為丄.相關(guān)圓”E的方程為x2

48、+y2='.3證明：(n) (i)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線(xiàn)AB方程為x= 二3則A，爭(zhēng)，B當(dāng)直線(xiàn)I的斜率存在時(shí),(，_設(shè)其方程為，-二y=kx+m,設(shè) A (X1, y1), B (X2, y2),尸kx+m聯(lián)立方程組-，得 x2+22(kx+m)=2,垃+梵2二4kml+2k22m2 -22廠 i+2k2(l+k')(2m'二 2)1+2 k 24k3 Im22+lDl+2k2痔 fl.。,l+2k2二；為定值解：(ii) pq是 相關(guān)圓”的直徑，-f7， - -; 11 ' I，要求 ABQ的面積的取值范圍，只需求弦長(zhǎng) |AB|的范圍, 當(dāng)直線(xiàn)AB

49、的斜率不存在時(shí)，由(i)知|AB|=_3|AB|=宀=1 (l+2k2)284k4+5k2+l=呂一"k4+4k2+l F 4k4+4k3+l當(dāng)k豐0時(shí)，| AB| =2 - r -!.£, Ov4k 七+4 8_ 14k2v|AB| 一.二,當(dāng)且僅當(dāng)k= I '時(shí)， 取=”號(hào).< |AB| ；,_ 2當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=丄.|AB|的取值范圍為 ABQ面積的取值范圍是丄，訂:.324. (2016?邯鄲模擬)已知橢圓x2+y2=42 2G:二一+一 . =1 (a>b>0)的焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)在圓 / b2上.(1 )求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)P

50、(- 3, 2),若斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，試探討以 AB 為底邊的等腰三角形 ABP是否存在？若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，說(shuō)明理由.【解答】解：(I)設(shè)橢圓G的右焦點(diǎn)為F( c, 0),2 2 2 2由題意可得： b=c，且 b +c =8 ,. b =c =4,o o o故 a =b +c =8，2 2橢圓G的方程為，-(4分)84(H)以AB為底的等腰三角形 ABP存在.理由如下2 2 設(shè)斜率為1的直線(xiàn)I的方程為y=x+m，代入中，84化簡(jiǎn)得：3x +4mx+2 m - 8=0 , (6 分)因?yàn)橹本€(xiàn)I與橢圓G相交于A , B兩點(diǎn)， =16m2 - 12 (2m2- 8)> 0, 解得-2 W -:,(8 分)