三維空間的向量

1、三維空間的向量 平面與直線【內容提示】 本章討論三維空間的向量及其運算 向量加法、數(shù)乘向量以及內積，并且利用向量研究平面與直線以及它們之間的位置關系線性代數(shù)的主要研究對象 n維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來，因此，了解直觀的三維空間有助于更好地理解抽象的n維空間.本章中三維向量及其運算首先作為一個幾何系統(tǒng)提出，經過空間直角坐標系建立向量的坐標后，轉化為一個代數(shù)系統(tǒng)這兩個系統(tǒng)之間保持著完全的一致性，這一過程再現(xiàn)了人類的認識過程 對一組三維向量位置關系的討論為下一 步研究n維向量組的線性關系提供了直觀的背景材料而平面與直線對研究線性方程組提供了直觀背景第一節(jié)三維向量及其線性運算在中學物理中討論過一

2、種既有大小又有方向的量，稱為矢量，例如力、速度、位移等等在數(shù)學中這種量稱為 向量.物理學中的矢量大多除了大小、方向外，還與起點（或作用點等） 有關，而本書中討論的向量與起點無關，即：大小相等、方向一致的向量被認為是相等的， 而無論它的起點在那里，這種向量稱為 自由向量通常將向量看作一個有向線段，有向線段的長度表示向量的大小，稱為 向量的模（或長度），有向線段的方向表示向量的方向以點A為起點、點B為終點的向量記作 AB，有時也用粗斜體字母表示三維向量，例如 a，b，r 等等.向量a的模用|a|表示，|AB |=|AB| （|AB|表示線段AB的長度）模為1的向量稱為單位向量，模為0的向量稱為 零

3、向量，通常用o表示，零向量的方向被認為是任意的如果兩 個向量的方向相同或相反，則稱這兩個向量 共線，向量a與b共線記作a/b.零向量方向任 意，因此認為零向量與任何向量共線 如果一組向量可以放到同一個平面上， 則稱這組向量 共面.共線的向量一定共面 .、向量的線性運算1、圖a，b是兩個向量，將向量b的起點放在向量 a的終點，以a的起點為起點，b的終點為終點的向量稱為向量a與b的和，記作a+b,(見圖1).例如AB BC二AC .稱這種方法為三角形法.物理學中力的合成、位移的疊加就是向量加 法的實際應用.用中學物理學中定義力的合成的平行四邊形法也可以計算向量的加法，其結果是一致的.(見圖2)2、

4、數(shù)乘向量k是個實數(shù)，a是個向量，依照下列方法定義的向量稱為k與a的數(shù)量乘積，記作ka.ka的大小依下列規(guī)定：|ka|=|k|a|;其中|ka|表示ka的模，|k|表示k的絕對值，|a|表示a 的模.ka的方向遵循下列規(guī)定：若 k>0, ka與a方向相同，若k<0, ka與a方向相反.若 k=0,依照模與零向量的規(guī)定， ka= o.向量加法與數(shù)乘向量合稱 向量的線性運算.ai, a?,，as是一組向量，& , k?,，k$是一組實數(shù)，kia計k2a2+ksas稱為向量組ai, a?,，as的一個線性組合.如果存在一組實數(shù) ki, k?,，k$,使得b=kia計k2a2+ksa

5、s,則稱b可以被向量組ai, a?,，as線性表示或線性表出，其中ki,ks稱為組合系數(shù)圖3不難驗證，向量的線性運算滿足下列運算法則：(i)向量加法滿足交換律，即a+ b= b+a;(i)這從圖2中即可看出.2)向量加法滿足結合律，即(a+b)+ c = a+(b+ c);(2)三個向量的和向量是以這三個向量為三條棱的平行六面體的體對角線(對頂線)，而其中兩個向量的和是它們所在的側面的對角線，再與第三條棱相加即得到體對角線，這與相加的先后順序無關.(見圖3)零向量o在向量加法中有著特殊的地位，即：(3) 對于任意向量 a,有a+ o=a;(3)在三維空間全部向量的范圍內，對于每一個向量，都一定

6、存在一個和它大小相等，方向相反的向量，用一個數(shù)學表達式來表示，即：(4) 對于任意向量 a, 一定存在一個向量 b,使a+b=o;(4) 我們稱這個向量 b為向量a的負向量，用-a表示.(5) 對于任意向量 a, ia= a;(5)(6) k, l是任意兩個實數(shù)，(kl) a=k(la)(6)(7) (k+l) a=ka+la;(7)(8) k(a+ b)= ka+kb.(8)這八條運算法則是線性運算最基本的法則.看起來這些法則都是很顯然的，有些甚至好象沒必要，然而，人們通過長期實踐觀察，發(fā)現(xiàn)這八條法則每一條都是獨立的，即其中任何 一條都不能用邏輯手段通過其它幾條推導出來，但是線性運算的全部性

7、質都可以利用這八條法則推導出來，而如果缺少其中任何一條則有些性質不能通過邏輯推導出來因此，在線性代數(shù)中，這八條法則稱為 線性運算公理系統(tǒng)，它是線性代數(shù)的理論基礎 除這八條法則外， 線性運算還滿足下列幾條主要性質：零向量的唯一性 在全部三維向量中，只存在唯個零向量負向量的唯一性任意向量只有唯一一個負向量.對于任意向量 a,0 a=o;(9)對于任意實數(shù)k,k o= o;(10)對于任意向量 a,(-1)a= -a;(11)如果ka= o,那么,k=0或a= o中至少有一個成立（稱為 消去律）.(12)規(guī)定a- b=a+（- b），因此，向量的減法不被看作是個獨立的運算不難看出，a- b是以b的終

8、點為起點，以 a的終點為終點的向量.例1用向量證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明：如圖，設四邊形 ABCD的對角線AC與BD交于0點，因為0點平分AC、BD ,所以向量又AO=OC, DO=OBAB = AO+OB , DC =DO+OC所以AB = DC （向量相等包括：長度相等，方向一致）即：四邊形ABCD的一組對邊平行且相等，ABCD是平行四邊形.從這個例子可以看出，用向量處理幾何問題往往非常簡練、向量的共線與共面定理1.1 （數(shù)軸原理）如果向量 a豐o,那么向量b與向量a共線的充分必要條件是： 存在唯一一個實數(shù) 人使b=掃.證明：由數(shù)乘向量的定義.充分性是顯然的.下面證明必要

9、性：設 b/a，取入滿足：|入=，當b與a同向時， 曰開；當b與a反向時，且-|開.a用數(shù)乘向量的定義可以驗證，b= ?a.證明 入的唯一性：如果存在入，心，使Na= b,?2a=b,則有入ia-Z2a=o,即卩（入仁a= o（向量線性運算的基本性質 7）.由消去律，因為 az o,所以入 1-豪0,即入i=加?這個定理也可以這樣敘述： 一條直線上的所有向量都可以被這條直線上的一個非零向量 線性表出，并且，表示方法是唯一的.這個定理是建立數(shù)軸的理論基礎 .推論 向量a, b共線的充分必要條件是：存在不全為零的實數(shù)汕&，使入ia+ &b= o證明：首先證明充分性：不妨設入豐0,則

10、a= - b,因此a/b.入證明必要性：若a, b都是零向量，結論成立.如果a豐o,由定理1.1,b=Za,即-怯+1 b=o?過去我們熟悉的數(shù)軸是： 在一條直線上取定一個坐標原點 0與單位長度1，直線上任意一點P對應唯一一個實數(shù) X （稱為P點的坐標），x的絕對值等于線段 0P的長度（或P點到0點的距離），當P點在0點右側時x為正，當P點在0點左側時x為負.下面我們利用定理1.1建立數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應法則：i是個與直線I平行的單位向量，0是I上一定點，P是直線I上任意一點，做向量0P ,由于0P與i共線并且iM 0,所以存在唯個實數(shù)人使0P =為,入即P點的坐標.（圖4）不難看出,兩種方

11、法建立的直線上點與實數(shù)的對應關系是一致的 將定理1.1推廣到平面，我們有定理1.2平面上所有向量可以被這個平面上兩個不共線的向量線性表出，并且表示方法證明：a, b是平面n上兩個不共線的向量，（因為零向量與任何向量共線，所以a、ba、b所在直線.因為：a、b都不會是零向量），c是平面n上任一向量.設c的起點為0,終點為P,即c= 0P .將a、b的起點放在0點.從P點做兩條直線11, 12分別平行于向量l1 P不共線，并且P點在a、b所在的平面上，所以I2 一定與a所在直邊形0APB是平行四邊形，0P是它的對角線，線相交，設交點為 A; h 定與b所在直線相交，設交點為B.四 c= 0P =

12、0A + 0B .因為0A/a, 0Bb,并且a, b者E不是零向量.由定理1.1，存在唯一一組實數(shù)k1, k2，使得c=如+k2b. ?推論1 三向量共面的充分必要條件是：其中一個向量可以被其余向量線性表出證明：充分性顯然.必要性：設向量a, b, c共面，如果a, b共線，由定理1.1,結論 成立.如果a, b不共線，由定理1.2，結論成立.推論2 三向量a, b, c共面的充分必要條件是：存在不全為零的實數(shù)入1, b 也使入 1a + ?2b+ ?sc= o.向量的共線與共面統(tǒng)稱為線性相關.一般地，如果存在不全為零的實數(shù)入 1, d，心使入少+滋2+ has=o,則稱向量a 1, a 2

13、,，as線性相關，否則稱為 線性無關.不難得到一組向量線性相關的充分必要條件是：其中一個向量可以被其余向量線性表出請讀者試著證明（參考圖 3 ）：定理1.3三維空間任意向量可以被三個不共面的向量線性表出，并且表示方法是唯一的.推論三維空間任意四個或更多向量線性相關第二節(jié) 向量的坐標空間直角坐標系在空間選定一點0作為坐標原點，以0點為起點做三條相 互垂直的數(shù)軸，分別為 Ox軸、Oy軸、Oz軸（簡稱x軸，y軸, z軸），就構成一個空間直角坐標系，記這個坐標系為0; x, y,z.讓這三條軸的排列順序依照 右手法則，即令右手拇指豎起指 向Oz軸的正向，其余四指伸開指向 Ox軸正向，然后旋轉彎曲-2指

14、向Oy軸正向.（也可以令右手的拇指、食指、中指相互垂直，它們依次指向Ox軸、Oy軸、Oz軸的正向），這個坐標系稱為 右手系.坐標系中的每兩條軸確定一個平面，分別稱為XOY坐標面、YOZ坐標面、XOZ坐標面.P是空間一點，過 P點分別做與 Ox軸、Oy軸、 Oz軸垂直的平面，每個平面與坐標軸有一個交點，與Ox軸的交點對應實數(shù) a、與Oy軸的交點對應實數(shù)b、與Oz軸的交點對應實數(shù) c,則三元有序數(shù)組（a, b, c）稱為P點的坐標（見 圖6）.空間每一個點都對應一組坐標，不同點的坐標不相同.反之，任給一個三元有序數(shù)組（a, b, c）,在Ox軸上選定實數(shù)a所對應的點，在 Oy軸上選定實數(shù)b所對應的

15、點，在 Oz 軸上選定實數(shù) c所對應的點，分別過這三個點做與Ox軸、Oy軸、Oz軸垂直的平面，這三個平面兩兩垂直，因此，有唯一一個交點，三元有序數(shù)組（a, b, c）就是這個交點的坐標.不同的三元有序數(shù)組對應的交點也不相同.所以，在空間建立一個直角坐標系后，空間的點與它的坐標即三元有序數(shù)組（a, b, c）之間存在一一對應關系.今后我們經常記坐標為（a, b, c）的點 P 為 P（a, b, c）.向量的坐標r是個向量，在空間建立直角坐標系O; x, y, z，將r的起點放到坐標原點O,設r的終點為P,即r= OP，若P點坐標為（a, b, c）,則定義三元有序數(shù)組（a, b, c）為向量r

16、的坐標，記作r=（a, b, c）.（注意：向量OP的坐標與點P的坐標表示方法不同，分別為：點 P(a, b, c)與向量 OP=(a, b, c).)以上是用通常的方法定義向量的坐標.為了進一步研究向量,義向量的坐標.F面用單位向量的觀點定Az 圖7以空間一點 O為起點，做三個相互垂直（兩兩垂直）的單 位向量i, j, k，這三個向量的順序符合右手法則，即構成一個 空間直角坐標系，記作O; i, j,町，（圖7）. i, j, k 稱為這個坐標系的 基向量組，也叫坐標基架，簡稱基.由于它們相互垂直并且都是單位向量，所以 稱為標準正交基.將向量r分解為三個向量 0A, OB , 0C之和，r=

17、 OA+OB+OC其中OA, OB , OC分別與i, j, k共線，由上一節(jié)定理1.3，這個分解式是唯一的.而由 上一節(jié)定理1.1，存在唯一一個三元有序數(shù)組 (a, b, c),使OA=ai, OB =bj, OC =ck即r=a i+bj+ck(1)三元有序數(shù)組(a, b, c)稱為向量r的坐標，記作r=(a, b, c)(2)(1)式稱為向量r的分量表達式，(2)式稱為向量r的坐標表達式，其中a、b、c分別稱為向量r的第一、第二、第三 分量.對照圖6、圖7,顯然對于同一個向量，兩種定義是一致的.而采用第二種定義，下面我們將看到，等式r=(a, b, c)=ai+bj+ck(3)有著非常重

18、要的作用.(注：點的坐標與坐標系的原點有關，而自由向量的坐標與坐標系的原點無關.事實上，用上述方法建立坐標系與定義向量的坐標并不需要坐標原點，今后我們經常記坐標系O; i, j, k為i, j, k).例 1 i= (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k= (0, 0, 1)； o = (0, 0, 0).三、用坐標進行向量運算向量加法：設a的坐標為(a1,a2,a3),b的坐標為(g,b?,b3),貝Ua = (a1, a2, a3)= a1i+a2j+a3k； b= (b1, b2 , b3)= b1i+ b2 j +b3ka + b=(a1i+a2j +a3k)+(b1i

19、+b2 j +b3k)=(a1 + b1)i+(a2+b2)j +(a3+b3)k 由()式，(a1+m , a2+b2 , a3+b3)就是 a + b 的坐標.數(shù)乘向量： 掃=Xa1i+a2j+a3k)= pi+掃2 j + &k ；(七1 , &, 還)就是 掃的坐標.因此，a + b= (a1 ,a2 ,a3)+ (S ,b2 ,b3)=(a 什3 ,a2+b2 ,a3+b3) ；(4)掃=入(a1 ,a2 ,a3)=( &,砂,總3)(5)向量的模(長度)：r=(a , b , c),將向量r的起點放在坐標原點 O ,設終點為P ,則r= OP ,由圖7 ,

20、r的模|r|就是P點到原點的距離.因為線段OP是以OA , OB , OC為三條棱的長方 體的體對角線，所以|r|= a2 b2 c2(6)例2 A點坐標為(a1 , a2 , a3), B點坐標為(B , b2 , b3),求向量AB的坐標解：因為 OA+ AB = OB,即 AB = OB -OA ,而OB = ( b1 ,b2,b3), OA=( a1, a2,a3)所以，AB = (bi,b2,b3)-( a1 ,a2,a3)= ( b1 ai , b22, b333)因為向量Ab的模等于A, B兩點之間的距離，由此得到空間兩點A (ai, 32, a3)、B(bi, b2，b3)之間

21、的距離公式：d (A， B)= J(bi - ai )(b2 - a2 ) (b3 1 a3 )( 7)四、向量的方向角與方向余弦首先定義兩向量之間的 夾角：設a、b都是非零向量，將 a、b的起點放在一起，將a、b看成兩條邊，就形成兩個角，規(guī)定其中不超過n的那個角為向量a、b之間的夾角記作<a, b>.顯然Ow < a, b><兀將向量r的起點放在空間直角坐標系的原點，用角a 3, 丫分別表示r與x軸，y軸，z軸的夾角.即a=<r, i> 3=<r, j > Y=<r, k>，數(shù)組(a, 3, Y稱為向量r的方向角.零向量不確定

22、方向，因此零向量沒有方向角.任何非零向量都有唯一一組方向角.用向量的方向角可以表示向量的方向，但是，任意三個角不一定構成一組方向角，構成一組方向角的三個角之間應該滿足的數(shù)量關系也不是很明顯的，所以用方向角表示向量的方向不很方便.向量的方向通常用方向余弦表示.如果向量勺，稱(cos a, COS 3,cos Y為r的方向余弦，其中a , 3, 丫是向量r的方向角.由于當0 w xw n時，余弦函數(shù)COS X單調，所以方向角與方向余弦'對應.如果r= (xXyz-；cos 3=-,cos y-rrrcos a=y=|r|cos 3 z=|r|cos y,y , z),顯然有(8)或不難看出

23、,x=|r |cos a,(8 '2 2cos a+cos 3+cos Y=1(9)這也是一組數(shù)構成一個向量的方向余弦的充分必要條件.如果將一個向量的方向余弦也看作是一個向量，顯然它是與這個向量方向一致的一個單位向量.如果ro ,用r0表示與r方向致的單位向量：0 1r = r.(10)r一個向量可以用其模與方向余弦表示為：r=|r| (cos a , cos 3 , cos Y .(11)或r=|r|r0(11'例3求與三個坐標軸夾角相等的方向角.解：設此方向角為(a, 3 Y ,因為a= 3= Y COS2 a+COS2 3+COS2y1解得cosa=cos 3=cos y

24、 二滿足這一條件的角有兩個，即(arccos1.3，1arccos 3arccos),(arccos約 0.3 n),(arccos ",3arccosarccos1(arccos，約 0.8 n J3第二節(jié) 向量的內積、內積的定義在物理學中一個質點在力F （矢量）的作用下經過位移s （矢量）所做的功 w （標量）等于這個力在位移方向上的分力乘以位移的距離 w可以用F與s的運算表示為w=| F | s| cos<F, s>定義1.1向量a、b的模| a|、| b|以及a、b之間夾角余弦的乘積稱為向量a與b的內積.記作a b （讀作"a點b”，內積亦稱點積）.即a

25、 b=| a| b| cos<a, b>向量的內積是個數(shù)量，是用兩個向量運算出的一個數(shù)量(1)、內積的性質由內積的定義可以直接看出向量的內積滿足交換率1、a b=b a這一性質稱為向量的內積具有對稱性.2、a （b+ c）=a b+ a c證明：圖8中的兩個平面都與向量a所在直線垂直，終點即c的起點在平面1 上, c的終點在平面2上，因此 的終點也在平面 2 上.兩條虛線分別在兩個平面上，所以都 與a所在直線垂直.因此可以看出：| b+c| cos<a, b+c>=| AC|;| b| cos<a,b>=| AB| c| cos<a, c>=|

26、BC| .所以，| b+c| cos<a, b+c>=| b| cos<a, b>+| c| cos<a, c> b的 b+c由此得到向量的內積與加法滿足分配律 ？(注：內積運算優(yōu)先于加法運算，所以( 加括號)3、( ?a) b=入(a b) = a (血)式稱為準結合律.我們只證明前一個等式，(掃) b=| 掃|b|cos< 掃,3）式右端沒有由定義 當入0時, 所以 當X0時， 所以由交換律即可得到第二個等式:b> ；內 FIZai,|掃|=開a|, < Za, b>=<a, b>.(掃) b=| 掃|b|cos<

27、; 掃,b>= Za|b|cos<a, b>= Z (a b); |?a|=-入|a|, <掃，b>=n-a,b>,cos<a,b>=- cos<a,b>.(掃) b=| Z |b|cos< 掃,b>=-入|a |b| (- cos< a, b>) = Z a - b). ?注意上式等號左邊 掃是數(shù)量與向量的數(shù)乘運算，入（a b）是數(shù)量 入與數(shù)量a b的普通乘法.性質2、3合稱為向量的內積具有 線性性.4、a a > 0;當且僅當a=o時，a a=0（稱為向量的內積具有 正定性）今后我們記 a a為a2.

28、當a、b中有一個是零向量時，顯然 a b=0.因為零向量不確定方向，可以認為零向量 垂直于任意向量.從向量內積的定義可以看出，定理1.4 a b=0的充分必要條件是 a丄b.設r=(a, b, c)=ai+bj+ckr i=(ai+bj+ck) i=a;或r i=|r|cos<r, i>=a;r j=(ai+bj+ck) j = b;或r j=|r|cos<r, j>=b;r k=(ai+bj+ck) k=c.或r k=|r|cos<r, k>=c.向量的坐標就是這個向量與基向量組的內積.從右邊三個式子也可以看出用向量方法建立坐標系與定義向量的坐標并不需要坐

29、標原點，用基本單位向量組i, j, k就可以建立坐標系.因為空間任意向量都可以被三個不共面的向量唯一分解，即使i, j, k不相互垂直，只要它們不共面，就可以作為坐標系的基來建立坐標系.這種不需要基本單位向量相互垂直的坐標系稱為仿射坐標系.三、用坐標計算向量的內積設a的坐標為(ai, a2, a3), b的坐標為(bi, b?, b3),即 a= (ai, a2, a3)=aii+a2j+a3k, b= (bi, b2, b3) = bii+ b2j+b3k a b= (aii+a2j+a3k) (bii+b2j+b3k) =aibi+a2b2+a3b，所以3(5)a b= ' ai

30、bii A例1用內積表示向量的模與兩個向量之間的夾角由內積定義得到：|a|= a 2 =此處a2表示a a.如果a、b都不是零向量，則cos< a, b>=3x -2aii d3、bi2i=i零向量不確定方向，因而也不存在與其它向量的夾角由|cos< a ,b>|w i，得到一個代數(shù)中很重要的不等式,等號成立的充分必要條件是3r aibil wi壬ai, a2, a3與bi, b2, b3成比例，在幾何中就是a /b.這個不等式可以推廣到n項.例2 設 c=a b,貝U c c= (a b) (a b) = a a+ b b 2a b圖9ABC即Ch a |2+|b|2

31、 2| a |b| cos< a, b>.圖 9 中，a =CB , b=CA , c= AB , |a|=|CB|=a, |b|=|CA|=b, C|=|AB|=c.以上等式就是余弦定理：c2=a2+b22abcosZ C例3證明平行四邊形對角線的平方和等于各邊的平方和(廣 義勾股定理).如圖10, AC與BD是平行四邊形 ABCD的對角線.AC = AB BC ； BD=BC CD ； CD = - AB22圖 10AC BD = (AB BC)2 + (BC CD)2 = (AB BC)2 +(BC - AB)22 2 2 22 2=AB BC 2AB?BC+ AB BC -

32、2AB?BC=2 ( AB BC )即| AC|2 |BD|2 = |AB|2 |BC|2 + |CD|2| AD |2第四節(jié)三維空間的平面與直線、平面及其方程經過空間一點可以且只能做一個平面與已知直線垂直.設n是一個非零向量，如果它與平面n垂直，則稱n為n的法向量.給定平面n上一個定點M。與n的法向量n,這個平面就完全確定了.下面討論在空間直角坐標系O;x,y,z下過定點Mo(Xo,yo,z°),以非零向量n = (a, b, c)為法向量的平面方程(見圖 11).(1)設M (x, y, z)為空間一動點，M點在n上的充分必要條件是：向量 M0M與n垂直，而兩向量垂直的充分必要條

33、件是內積為0，即n M 0M =0.將n與M0M的坐標代入,得到a(x -c°)+b(y 丁0)+ c(z 0)=0稱為平面的點法式方程任何平面上都存在點，都有法向量，所以，任何平面的方程都是一次方程，今后我們稱次方程為線性方程.那么，是否任何一個線性方程都表示一個平面呢？三個變量的線性方 程的一般形式為ax+by+cz+d=0其中a, b, c不全為0.這個方程顯然一定有解.設(X。，y°,勺)是方程(2)的一組解，貝Uax0+by0+cz0+d=0(3)式減式，得到 a(x-<o)+b(y -0)+c(zo)=O這是一個經過點(xo, yo,勾)，以n=(a, b

34、, c)為法向量的平面方程方程(2)稱為平面的一般方程.綜上所述，任何平面的方程都是線 性方程，任何線性方程都表示平面例1方程x+2y -5z+3=0表示一個平面，(1 , 2, -5)是它的一個法向量.將它化為點法式 方程：解：(0,1,1)是方程的一組解，所以這個平面的點法式方程為：x+2(y-1) -5(z-)=0例2方程x+2y-5z=0表示一個平面，(1, 2, -5)是它的一個法向量，方程常數(shù)項為 0,故(0 , 0, 0)是方程的解，這個平面經過坐標原點例3方程x+2y-仁0表示一個平面，n =(1 , 2, 0)是它的 一個法向量，因為n垂直于z軸，所以這個平面平行于 z軸.注

35、 意方程x+2y - 1=0在平面直角坐標系中表示一條直線，而在空 間直角坐標系中表示一個平面，它可以看作是XOY平面上的直線x+2y- 1=0沿著平行于z軸方向延伸而成.(見圖12)例4 求經過點(1 , 2, 3),法向量平行于y軸的平面方程.解：j=(0 , 1, 0)平行于y軸，取j為這個平面的法向量.所求平面方程為y - 2=0,或寫作y=2 .這個平面垂直于y軸.例5求經過點(1, 2,- 3)與x軸的平面方程解：經過點(1 , 2, -3)的平面方程為a(x- 1)+b(y- 2)+c(z+3)=0因為x軸在平面上，所以它的法向量垂直于i, (a, b, c)與i= (1, 0,

36、 0)的內積為0,得到a=0 .由于平面經過x軸，所以坐標原點在平面上，將(0, 0, 0)代入b(y - 2)+c(z+3)=0得到取c=2, b=3.所求方程為-2b+3c=03(y- 2)+2(z+3)=0、平面與平面的位置關系比、n2是空間兩個平面，它們的方程分別為 a1X+b1y+C1Z+d1=0;a2x+b2y+ C2Z+d2=0m=(a1,b1,cj,n2=( a2,b?,c?)分別為巧、n2的法向量.兩個平面之間的位置關系可以通過它們的法向量之間關系反映出來當n 1 n 2時，顯然有 口1口2.根據向量共線的充分必要條件，因為 m、n 2都不是零向 量，所以存在 入旳，使n 1

37、=冶2.若同時d1=壯，則兩平面重合.若d1?d2，則兩平面平行 而不重合，此時兩平面沒有公共點，與此相對應的是方程組a1X+b1y+C1Z+d1=0 a2x+b2y+C2Z+d2=0(4)無解.(兩個方程不相容).若n 1、n 2不共線，即(a1, 3, C1)與(a2, b2, C2)不成比例， 則兩平面相交，它們的公共部分是一條直線，方程組(4)有無窮多組解.兩平面之間的夾角(平面角)：當0 w < n 1, n 2> w 時就是n 1與n 2的夾角< n 1,23Tn 2>，當 < < n 1, n 2>w二時是二-< n i, n 2&

38、gt; .所以兩平面之間的夾角2<ni, n2>=arccosE “21ni n2例6求過點P (xo, yo,勺)且與平面ax+by+cz+d=O平行的平面方程.解：過一點與一已知平面平行的平面是唯一確定的.因為所求平面與平面ax+by+cz+d=o平行，所以，可以取 n = ( a, b, c)為它的法向量，所求平面方程為a(xo)+b(y-yo)+ c(zo)=0例7求過點P (i, 3, -2)且與平面2x-+3z-=0和x+2y+2zZ=0都垂直的平面方程. 解：當兩個平面不平行時，過一點且與這兩個平面都垂直的平面是唯一確定的n = (a, b, c),由 n 與設所求平

39、面 n的方程為a(x-)+b(y£)+ c(z+2)=o，其法向量是兩個平面都垂直可知，n±( 2, -i, 3), n丄(i, 2, 2)，即2a- b+3c=0a+2b+2c=08(x-1)+(y£)-5(z+2)=0按照以上方法求解平解此方程組，取其一組解 a=8, b=1,c=-5.所求平面n的方程為請讀者考慮：若兩個已知平面平行，此時所給條件不能確定平面,面方程會遇到什么問題？三、空間直線及其方程平面口、n?的方程分別為a1X+b1y+C1Z+d1=O;n i= ( ai, bi, ci)與 n 2= (a2, b2, c2) 兩平面的公共部分是一條直線

40、，所以方程組a2x+b2y+c2z+d2=o分別為ni、口2的法向量當n i、n 2不共線時,aix+biy+ciz+di=O(6)a2X+b2y+C2Z+d2=0(ai, bi, ci與a2, b2,勺不成比例)表示一條直線，稱為直線的一般方程.Mo (Xo, yo, Zo)是空間一定點， r= 的直線是唯一確定的，下面推導它的方程：過Mo做一條直線I與r平行，M (x, y, z) 是空間一動點.M點在直線(m, n,P)是個非零向量，經過Mo且平行于rl上的充分必要條件Mo是：向量M0Mr.因為r不是零向量，根據向圖13量共線的充分必要條件，存在入，使M 0M =廿即(x- xo, y-

41、yo, z-zo)=入(m,令入取遍全體實數(shù)，得到動點M的軌跡就是直線I.將這個向量方程展開，得到x=xo+ 加y=yo+ 冶 z=zo+ Ap稱為直線的參數(shù)方程參看圖13.它的向量形式是(x, y, z) = (xo, 請讀者根據圖i3中的虛線給出向量解釋.將直線的參數(shù)方程改寫為yo, z) + 入(m, n, p).(8)X -Xo(9)稱為直線的點向式方程 或對稱式方程 或標準方程注意當分母中含有 0時,例如m=0,而n, p均不為0時，這個式子表示X=Xoy y。Z-Zo直線與直線的夾角直線Ii與I2的方程分別為y 一 yiX -x2y 一 y2z - Z2miniPim2n2P2Ii

42、與I2的夾角(o)2的夾角或其補角所以：就是它們方向向量(mi,ni, Pi)與 r2= (m2,n2, P2)之間直線與平面的夾角cos<li, l2>=l cos< ri, r2>|設直線I的方程為平面n的方程為直線的方向向量 r= (m,ri Ir2(io)n,x Xo y-yo z-zopax+by+cz+d=o,.p)與平面的法向量 n = (a, b, c)ji之間夾角為<r, n >，直線與平面的夾角就是|一-< r, n>|，所以2sin<l, n>=|cos<r, n>| =r nr|n例8將下列直線I的

43、一般方程化為對稱式方程與參數(shù)方程(I)2x +3z -=oX+2y+2z -4=oI，因為I同時在解：直線I的一般方程是用兩個平面方程聯(lián)立來表示兩個平面的交線 兩個平面上，所以與兩個平面的法向量都垂直設直線I的方向向量為r = ( m, n, p),方程組2m-n+3p=0m+2n+2p=0的解即為直線I的方向向量.取方程組的一組非零解r=(8 ,1,-5). 再求出直線I上的任意一個點：取方程組(I)的一組解(-2, 1, 2),得到直線I的對稱式方程為x 2 y -1 z -28一 5參數(shù)方程為x=-2+8 入y=1+ 入z=2-5 入參數(shù)方程的向量形式為(x, y, z)=(-2, 1,

44、 2)+ A(8, 1, -5)例9求過點(xo, yo, %)與平面ax+by+cz+d=O垂直的直線方程以及垂足坐標.解：設所求直線 I的方程為 _=z .因為|與平面 ax+ by+cz+d=0垂mnp直，所以I的方向向量與平面的法向量平行，所求直線I的方程為x _ X。_ y _ y° _ z _ z°a b c將直線方程與平面方程聯(lián)立，即可求出交點即垂足的坐標(注意直線的對稱式方程實際上是兩個方程聯(lián)立).例10M°(xo, yo, z°)是空間一點，平面n的方程為ax+ by+cz+d=0.求點Mo到平面n的距離.解:這個問題可以利用例 9的方

45、法求出垂足坐標，然后求出兩點距離即點到平面距離但是這個方法比較麻煩，下面我們探討用其它方法求解參看圖14,在平面n上任取一點M1，設其坐標為(X1, y1, Z1),做向量M1Mo=(xo-X1, yo-y1, zo-z”則Mo到n的距離就等于 MNo的模乘以M1Mo與n的法向量n =(a, b, c)的余弦的絕對值，即：d(Mo, n)=| M1M o |cos< M1Mo , n>|其中d(Mo,得到n)表示Mo到n的距離.禾U用向量的內積,d(Mo,n)=將M1M o與n的坐標代入，得到M1M o nn圖15d(Mo,n)=1a2 b2 c2a(xo xj b(y°

46、 yj a(z° -zjn的一般方程 ax+by+cz+d=0可以寫注意到(Xi, yi, Zi)為平面上一點 Mi的坐標，所以,成點法式方程 a(x-<i)+b(y-i)+ c(zi)=O .因此，a(xo _xj b(yo _yj a(zg - Zi) = ax° byo czo d方程(ax by cz d)=0 a2 b2 c2(12)是以單位向量(a,b'c)-為法向量的平面方程，稱為平面的法式方程.a2b2c2.點Mo到平面n的距離就是將點的坐標代入平面的法式方程的左邊，然后取絕對值d(Mo, n)=ax0 by0 CZ) da2 b2 c2過空間

47、一點P向一個平面 n引垂線，垂足稱為點 P在這個平面上的投影, 投影面.一條曲線上各點在一個平面上的投影所形成的曲線稱為這條曲線在這個平面 影.一條直線I在一個平面 n上的投影是一條直線.例11求直線I在平面n上的投影.其中I和n的方程分別為：(13)平面 n稱為 上的投x+y -=0x-y+z+1=0與x+y+z=0直線I在平面n上的投影是過直線I做一個與投影面與n的交線.因此，只要求出 m的方程與n聯(lián)立即可.方法一、設m的方程為ax+by+cz+d=0(l)(n)n垂直的平面巧(稱為投影平面)n的法向量與I的3).將此三個條件因為 巧過直線I，所以直線I上任意一點滿足 口的方程(1),并且

48、方向向量垂直(2).又 巧與n垂直，所以 巧與n的法向量相互垂直( 聯(lián)立即可求出a、b、c、d之間的關系，從而求出比的方程.但是此題直線用一般方程給出，所以上述方法比較麻煩，要求解兩個方程組.下面我們利用平面束方程求解.是直線的一般方程，方程(l)aix+biy+ciz+di=0a2X+b2y+C2Z+d2=0入(aix+biy+ciz+di)+ ?2(a2X+b2y+C2Z+d2)=0 表示一個平面，顯然滿足直線方程(I)的點都滿足此方程，所以，此方程代表所有經過I的平面，稱為過I的平面束方程.設 n1 的方程為x+y -+ Xx -y+z+1)=0即(1+ Xx+(1 - X+(入-)z+

49、 入-=0(這個平面束方程中不包括后一個平面x-y+z+1=0 ,由于這個平面顯然不是所求平面旺，這個假設是合理的).因為 口丄口，所以1(1+力+1(1 - )X1(入-)=0解得-1 .所求投影方程為四、直線之間的位置關系x+y+z=O y -=0直線與直線之間的關系有：重合、平行而不重合、相交、異面前三種均為共面設直線11與12的方程分別為miy -yiniz -乙Pix -卷m2y 一 y2 z - Z2ri=（mi， ni, pi）、r2=（m2，門2，P2） 分別為li與12的方向向量M i(xi， yi， Zi)、M2(X2,y2，Z2）分別為li與12上的點作向量MiM2兩條直

50、線共面的充分必要條件是三向量共面兩條直線平行即ri/r2，其充分必要條件是（mi, ni, pi）與（m2, n?, P2）成比例.考察向量方程入 ri + hr 2= M iM 21、如果ri/r2且方程有解，則兩直線重合；2、如果rir2且方程無解，則兩直線平行而不重合;3、如果ri、r2不共線且方程有解，則兩直線相交；4、如果ri、r2不共線且方程無解，則兩直線異面；五、直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系有：直線與平面相交；直線在平面上；直線在平面外 設直線I的參數(shù)方程為平面n的方程為x=xo+ Amy=yo+ Anz=zo+ Apax+ by+cz+d=O(I)(n)將（I）代入

51、（n）: a（x°+ hm）+b（yo+ A）+c（zo+初+d=0.得到一個關于 入的方程(am+bn+cp) A(axo+byo+czo+d)=O直線與平面相交：方程（ 直線在平面上：方程（ 直線在平面外：方程（請讀者分析 am+bn+cp豐0；1、2、3、A有唯一解,A無窮多解，A無解， am+b n+cp=O ；(A)即：am+bn+cpz0；即：am + bn+cp=0 ,并且 axo+byo+cz0+d=O ； 即：am+bn+cp=0,并且 ax0+by0+cz0+d 0. ax°+by0+cz0+d=0 ； ax0+by0+cz0+d 豐0分別代表什么，可以

52、看出這三個條件的幾何意義如果直線方程以一般方程給出，直線與平面的位置關系應該如何討論?第五節(jié)坐標變換、坐標系的平移將空間直角坐標系O; i, j, k（為方便計暫且稱其為“舊”坐標系）平行移動到新的坐標原點O' （X0, y。，z），得到直角坐標系O' i, j, k（暫稱為“新”坐標系），i, j, k為坐標軸上的單位向量，即一個標準正交基.P是空間一點，k1k "； PP點在舊坐標系和新坐標系下的坐標分別為（x, y,乙）與（x',y', z').做向量 OP ,'-j圖18iOP=OO' + O'P(1)OP =x

53、i+yj +zk, OO' = xoi+yoj+z0k,O' P =x'i+y'j+z'k(2)將（2）式代入（1 ）式，比較系數(shù)，由于i, j, k是一組基，而向量在基下的分解是唯一的，得到坐標平移公式：x=x'+ X0y=y'+ y 0( 3)z=z'+ Zo請讀者考慮：向量的坐標在坐標系的平移下有無變化、坐標系的旋轉變換將空間直角坐標系 O; i, j,町（“舊”坐標系）繞坐標原點旋轉為直角坐標系0; i'.k與i', j',k'分別為新舊坐標系的標準正交基.它們之間j'，k'

54、（“新”坐標系），i, j, 的夾角余弦如下表：i'j'k'iCOS aicos acos ajcos 3cos 3cos 3kcos Ycos ycosy顯然，新坐標系的基向量組在舊坐標系下的坐標為(4)i'= ( cos al, cos 31, COSy), j'= (cos a, cos 3, cosy), k'= (cos a, cos 3, cosy)P是空間一點，P點在坐標系0; i, j, k下的坐標為（x, y, z）,在坐標系0; i', j', k' 下的坐標為（x', y', z'）.因此，向量(5)OP =xi+yj+zk= x' i'+ y'j'+z'k',將（4）式代入（5）式右邊，重新集項，由于i, j, k是坐標系的基向量組，任何向量在一組基下的分解式是唯一的，所以等式兩邊i, j, k的系數(shù)相等，得到坐標變換公式x=x'cos ai+y'cos a+z'cos ay=x'cos 3+y'cos 3+z'cos3（6）z=x'cos