三維空間的向量

1、三維空間的向量 平面與直線【內(nèi)容提示】 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法、數(shù)乘向量以及內(nèi)積，并且利用向量研究平面與直線以及它們之間的位置關(guān)系線性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來，因此，了解直觀的三維空間有助于更好地理解抽象的n維空間.本章中三維向量及其運(yùn)算首先作為一個(gè)幾何系統(tǒng)提出，經(jīng)過空間直角坐標(biāo)系建立向量的坐標(biāo)后，轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)這兩個(gè)系統(tǒng)之間保持著完全的一致性，這一過程再現(xiàn)了人類的認(rèn)識(shí)過程 對(duì)一組三維向量位置關(guān)系的討論為下一 步研究n維向量組的線性關(guān)系提供了直觀的背景材料而平面與直線對(duì)研究線性方程組提供了直觀背景第一節(jié)三維向量及其線性運(yùn)算在中學(xué)物理中討論過一

2、種既有大小又有方向的量，稱為矢量，例如力、速度、位移等等在數(shù)學(xué)中這種量稱為 向量.物理學(xué)中的矢量大多除了大小、方向外，還與起點(diǎn)（或作用點(diǎn)等） 有關(guān)，而本書中討論的向量與起點(diǎn)無關(guān)，即：大小相等、方向一致的向量被認(rèn)為是相等的， 而無論它的起點(diǎn)在那里，這種向量稱為 自由向量通常將向量看作一個(gè)有向線段，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，稱為 向量的模（或長(zhǎng)度），有向線段的方向表示向量的方向以點(diǎn)A為起點(diǎn)、點(diǎn)B為終點(diǎn)的向量記作 AB，有時(shí)也用粗斜體字母表示三維向量，例如 a，b，r 等等.向量a的模用|a|表示，|AB |=|AB| （|AB|表示線段AB的長(zhǎng)度）模為1的向量稱為單位向量，模為0的向量稱為 零

3、向量，通常用o表示，零向量的方向被認(rèn)為是任意的如果兩 個(gè)向量的方向相同或相反，則稱這兩個(gè)向量 共線，向量a與b共線記作a/b.零向量方向任 意，因此認(rèn)為零向量與任何向量共線 如果一組向量可以放到同一個(gè)平面上， 則稱這組向量 共面.共線的向量一定共面 .、向量的線性運(yùn)算1、圖a，b是兩個(gè)向量，將向量b的起點(diǎn)放在向量 a的終點(diǎn)，以a的起點(diǎn)為起點(diǎn)，b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量稱為向量a與b的和，記作a+b,(見圖1).例如AB BC二AC .稱這種方法為三角形法.物理學(xué)中力的合成、位移的疊加就是向量加 法的實(shí)際應(yīng)用.用中學(xué)物理學(xué)中定義力的合成的平行四邊形法也可以計(jì)算向量的加法，其結(jié)果是一致的.(見圖2)2、

4、數(shù)乘向量k是個(gè)實(shí)數(shù)，a是個(gè)向量，依照下列方法定義的向量稱為k與a的數(shù)量乘積，記作ka.ka的大小依下列規(guī)定：|ka|=|k|a|;其中|ka|表示ka的模，|k|表示k的絕對(duì)值，|a|表示a 的模.ka的方向遵循下列規(guī)定：若 k>0, ka與a方向相同，若k<0, ka與a方向相反.若 k=0,依照模與零向量的規(guī)定， ka= o.向量加法與數(shù)乘向量合稱 向量的線性運(yùn)算.ai, a?,，as是一組向量，& , k?,，k$是一組實(shí)數(shù)，kia計(jì)k2a2+ksas稱為向量組ai, a?,，as的一個(gè)線性組合.如果存在一組實(shí)數(shù) ki, k?,，k$,使得b=kia計(jì)k2a2+ksa

5、s,則稱b可以被向量組ai, a?,，as線性表示或線性表出，其中ki,ks稱為組合系數(shù)圖3不難驗(yàn)證，向量的線性運(yùn)算滿足下列運(yùn)算法則：(i)向量加法滿足交換律，即a+ b= b+a;(i)這從圖2中即可看出.2)向量加法滿足結(jié)合律，即(a+b)+ c = a+(b+ c);(2)三個(gè)向量的和向量是以這三個(gè)向量為三條棱的平行六面體的體對(duì)角線(對(duì)頂線)，而其中兩個(gè)向量的和是它們所在的側(cè)面的對(duì)角線，再與第三條棱相加即得到體對(duì)角線，這與相加的先后順序無關(guān).(見圖3)零向量o在向量加法中有著特殊的地位，即：(3) 對(duì)于任意向量 a,有a+ o=a;(3)在三維空間全部向量的范圍內(nèi)，對(duì)于每一個(gè)向量，都一定

6、存在一個(gè)和它大小相等，方向相反的向量，用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示，即：(4) 對(duì)于任意向量 a, 一定存在一個(gè)向量 b,使a+b=o;(4) 我們稱這個(gè)向量 b為向量a的負(fù)向量，用-a表示.(5) 對(duì)于任意向量 a, ia= a;(5)(6) k, l是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，(kl) a=k(la)(6)(7) (k+l) a=ka+la;(7)(8) k(a+ b)= ka+kb.(8)這八條運(yùn)算法則是線性運(yùn)算最基本的法則.看起來這些法則都是很顯然的，有些甚至好象沒必要，然而，人們通過長(zhǎng)期實(shí)踐觀察，發(fā)現(xiàn)這八條法則每一條都是獨(dú)立的，即其中任何 一條都不能用邏輯手段通過其它幾條推導(dǎo)出來，但是線性運(yùn)算的全部性

7、質(zhì)都可以利用這八條法則推導(dǎo)出來，而如果缺少其中任何一條則有些性質(zhì)不能通過邏輯推導(dǎo)出來因此，在線性代數(shù)中，這八條法則稱為 線性運(yùn)算公理系統(tǒng)，它是線性代數(shù)的理論基礎(chǔ) 除這八條法則外， 線性運(yùn)算還滿足下列幾條主要性質(zhì)：零向量的唯一性 在全部三維向量中，只存在唯個(gè)零向量負(fù)向量的唯一性任意向量只有唯一一個(gè)負(fù)向量.對(duì)于任意向量 a,0 a=o;(9)對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,k o= o;(10)對(duì)于任意向量 a,(-1)a= -a;(11)如果ka= o,那么,k=0或a= o中至少有一個(gè)成立（稱為 消去律）.(12)規(guī)定a- b=a+（- b），因此，向量的減法不被看作是個(gè)獨(dú)立的運(yùn)算不難看出，a- b是以b的終

8、點(diǎn)為起點(diǎn)，以 a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.例1用向量證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明：如圖，設(shè)四邊形 ABCD的對(duì)角線AC與BD交于0點(diǎn)，因?yàn)?點(diǎn)平分AC、BD ,所以向量又AO=OC, DO=OBAB = AO+OB , DC =DO+OC所以AB = DC （向量相等包括：長(zhǎng)度相等，方向一致）即：四邊形ABCD的一組對(duì)邊平行且相等，ABCD是平行四邊形.從這個(gè)例子可以看出，用向量處理幾何問題往往非常簡(jiǎn)練、向量的共線與共面定理1.1 （數(shù)軸原理）如果向量 a豐o,那么向量b與向量a共線的充分必要條件是： 存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù) 人使b=掃.證明：由數(shù)乘向量的定義.充分性是顯然的.下面證明必要

9、性：設(shè) b/a，取入滿足：|入=，當(dāng)b與a同向時(shí)， 曰開；當(dāng)b與a反向時(shí)，且-|開.a用數(shù)乘向量的定義可以驗(yàn)證，b= ?a.證明 入的唯一性：如果存在入，心，使Na= b,?2a=b,則有入ia-Z2a=o,即卩（入仁a= o（向量線性運(yùn)算的基本性質(zhì) 7）.由消去律，因?yàn)?az o,所以入 1-豪0,即入i=加?這個(gè)定理也可以這樣敘述： 一條直線上的所有向量都可以被這條直線上的一個(gè)非零向量 線性表出，并且，表示方法是唯一的.這個(gè)定理是建立數(shù)軸的理論基礎(chǔ) .推論 向量a, b共線的充分必要條件是：存在不全為零的實(shí)數(shù)汕&，使入ia+ &b= o證明：首先證明充分性：不妨設(shè)入豐0,則

10、a= - b,因此a/b.入證明必要性：若a, b都是零向量，結(jié)論成立.如果a豐o,由定理1.1,b=Za,即-怯+1 b=o?過去我們熟悉的數(shù)軸是： 在一條直線上取定一個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn) 0與單位長(zhǎng)度1，直線上任意一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)實(shí)數(shù) X （稱為P點(diǎn)的坐標(biāo)），x的絕對(duì)值等于線段 0P的長(zhǎng)度（或P點(diǎn)到0點(diǎn)的距離），當(dāng)P點(diǎn)在0點(diǎn)右側(cè)時(shí)x為正，當(dāng)P點(diǎn)在0點(diǎn)左側(cè)時(shí)x為負(fù).下面我們利用定理1.1建立數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)法則：i是個(gè)與直線I平行的單位向量，0是I上一定點(diǎn)，P是直線I上任意一點(diǎn)，做向量0P ,由于0P與i共線并且iM 0,所以存在唯個(gè)實(shí)數(shù)人使0P =為,入即P點(diǎn)的坐標(biāo).（圖4）不難看出,兩種方

11、法建立的直線上點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一致的 將定理1.1推廣到平面，我們有定理1.2平面上所有向量可以被這個(gè)平面上兩個(gè)不共線的向量線性表出，并且表示方法證明：a, b是平面n上兩個(gè)不共線的向量，（因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量共線，所以a、ba、b所在直線.因?yàn)椋篴、b都不會(huì)是零向量），c是平面n上任一向量.設(shè)c的起點(diǎn)為0,終點(diǎn)為P,即c= 0P .將a、b的起點(diǎn)放在0點(diǎn).從P點(diǎn)做兩條直線11, 12分別平行于向量l1 P不共線，并且P點(diǎn)在a、b所在的平面上，所以I2 一定與a所在直邊形0APB是平行四邊形，0P是它的對(duì)角線，線相交，設(shè)交點(diǎn)為 A; h 定與b所在直線相交，設(shè)交點(diǎn)為B.四 c= 0P =

12、0A + 0B .因?yàn)?A/a, 0Bb,并且a, b者E不是零向量.由定理1.1，存在唯一一組實(shí)數(shù)k1, k2，使得c=如+k2b. ?推論1 三向量共面的充分必要條件是：其中一個(gè)向量可以被其余向量線性表出證明：充分性顯然.必要性：設(shè)向量a, b, c共面，如果a, b共線，由定理1.1,結(jié)論 成立.如果a, b不共線，由定理1.2，結(jié)論成立.推論2 三向量a, b, c共面的充分必要條件是：存在不全為零的實(shí)數(shù)入1, b 也使入 1a + ?2b+ ?sc= o.向量的共線與共面統(tǒng)稱為線性相關(guān).一般地，如果存在不全為零的實(shí)數(shù)入 1, d，心使入少+滋2+ has=o,則稱向量a 1, a 2

13、,，as線性相關(guān)，否則稱為 線性無關(guān).不難得到一組向量線性相關(guān)的充分必要條件是：其中一個(gè)向量可以被其余向量線性表出請(qǐng)讀者試著證明（參考圖 3 ）：定理1.3三維空間任意向量可以被三個(gè)不共面的向量線性表出，并且表示方法是唯一的.推論三維空間任意四個(gè)或更多向量線性相關(guān)第二節(jié) 向量的坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)0作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以0點(diǎn)為起點(diǎn)做三條相 互垂直的數(shù)軸，分別為 Ox軸、Oy軸、Oz軸（簡(jiǎn)稱x軸，y軸, z軸），就構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，記這個(gè)坐標(biāo)系為0; x, y,z.讓這三條軸的排列順序依照 右手法則，即令右手拇指豎起指 向Oz軸的正向，其余四指伸開指向 Ox軸正向，然后旋轉(zhuǎn)彎曲-2指

14、向Oy軸正向.（也可以令右手的拇指、食指、中指相互垂直，它們依次指向Ox軸、Oy軸、Oz軸的正向），這個(gè)坐標(biāo)系稱為 右手系.坐標(biāo)系中的每?jī)蓷l軸確定一個(gè)平面，分別稱為XOY坐標(biāo)面、YOZ坐標(biāo)面、XOZ坐標(biāo)面.P是空間一點(diǎn)，過 P點(diǎn)分別做與 Ox軸、Oy軸、 Oz軸垂直的平面，每個(gè)平面與坐標(biāo)軸有一個(gè)交點(diǎn)，與Ox軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù) a、與Oy軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)b、與Oz軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù) c,則三元有序數(shù)組（a, b, c）稱為P點(diǎn)的坐標(biāo)（見 圖6）.空間每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一組坐標(biāo)，不同點(diǎn)的坐標(biāo)不相同.反之，任給一個(gè)三元有序數(shù)組（a, b, c）,在Ox軸上選定實(shí)數(shù)a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在 Oy軸上選定實(shí)數(shù)b所對(duì)應(yīng)的

15、點(diǎn)，在 Oz 軸上選定實(shí)數(shù) c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，分別過這三個(gè)點(diǎn)做與Ox軸、Oy軸、Oz軸垂直的平面，這三個(gè)平面兩兩垂直，因此，有唯一一個(gè)交點(diǎn)，三元有序數(shù)組（a, b, c）就是這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).不同的三元有序數(shù)組對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)也不相同.所以，在空間建立一個(gè)直角坐標(biāo)系后，空間的點(diǎn)與它的坐標(biāo)即三元有序數(shù)組（a, b, c）之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.今后我們經(jīng)常記坐標(biāo)為（a, b, c）的點(diǎn) P 為 P（a, b, c）.向量的坐標(biāo)r是個(gè)向量，在空間建立直角坐標(biāo)系O; x, y, z，將r的起點(diǎn)放到坐標(biāo)原點(diǎn)O,設(shè)r的終點(diǎn)為P,即r= OP，若P點(diǎn)坐標(biāo)為（a, b, c）,則定義三元有序數(shù)組（a, b, c）為向量r

16、的坐標(biāo)，記作r=（a, b, c）.（注意：向量OP的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)表示方法不同，分別為：點(diǎn) P(a, b, c)與向量 OP=(a, b, c).)以上是用通常的方法定義向量的坐標(biāo).為了進(jìn)一步研究向量,義向量的坐標(biāo).F面用單位向量的觀點(diǎn)定Az 圖7以空間一點(diǎn) O為起點(diǎn)，做三個(gè)相互垂直（兩兩垂直）的單 位向量i, j, k，這三個(gè)向量的順序符合右手法則，即構(gòu)成一個(gè) 空間直角坐標(biāo)系，記作O; i, j,町，（圖7）. i, j, k 稱為這個(gè)坐標(biāo)系的 基向量組，也叫坐標(biāo)基架，簡(jiǎn)稱基.由于它們相互垂直并且都是單位向量，所以 稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.將向量r分解為三個(gè)向量 0A, OB , 0C之和，r=

17、 OA+OB+OC其中OA, OB , OC分別與i, j, k共線，由上一節(jié)定理1.3，這個(gè)分解式是唯一的.而由 上一節(jié)定理1.1，存在唯一一個(gè)三元有序數(shù)組 (a, b, c),使OA=ai, OB =bj, OC =ck即r=a i+bj+ck(1)三元有序數(shù)組(a, b, c)稱為向量r的坐標(biāo)，記作r=(a, b, c)(2)(1)式稱為向量r的分量表達(dá)式，(2)式稱為向量r的坐標(biāo)表達(dá)式，其中a、b、c分別稱為向量r的第一、第二、第三 分量.對(duì)照?qǐng)D6、圖7,顯然對(duì)于同一個(gè)向量，兩種定義是一致的.而采用第二種定義，下面我們將看到，等式r=(a, b, c)=ai+bj+ck(3)有著非常重

18、要的作用.(注：點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)系的原點(diǎn)有關(guān)，而自由向量的坐標(biāo)與坐標(biāo)系的原點(diǎn)無關(guān).事實(shí)上，用上述方法建立坐標(biāo)系與定義向量的坐標(biāo)并不需要坐標(biāo)原點(diǎn)，今后我們經(jīng)常記坐標(biāo)系O; i, j, k為i, j, k).例 1 i= (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k= (0, 0, 1)； o = (0, 0, 0).三、用坐標(biāo)進(jìn)行向量運(yùn)算向量加法：設(shè)a的坐標(biāo)為(a1,a2,a3),b的坐標(biāo)為(g,b?,b3),貝Ua = (a1, a2, a3)= a1i+a2j+a3k； b= (b1, b2 , b3)= b1i+ b2 j +b3ka + b=(a1i+a2j +a3k)+(b1i

19、+b2 j +b3k)=(a1 + b1)i+(a2+b2)j +(a3+b3)k 由()式，(a1+m , a2+b2 , a3+b3)就是 a + b 的坐標(biāo).數(shù)乘向量： 掃=Xa1i+a2j+a3k)= pi+掃2 j + &k ；(七1 , &, 還)就是 掃的坐標(biāo).因此，a + b= (a1 ,a2 ,a3)+ (S ,b2 ,b3)=(a 什3 ,a2+b2 ,a3+b3) ；(4)掃=入(a1 ,a2 ,a3)=( &,砂,總3)(5)向量的模(長(zhǎng)度)：r=(a , b , c),將向量r的起點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn) O ,設(shè)終點(diǎn)為P ,則r= OP ,由圖7 ,

20、r的模|r|就是P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.因?yàn)榫€段OP是以O(shè)A , OB , OC為三條棱的長(zhǎng)方 體的體對(duì)角線，所以|r|= a2 b2 c2(6)例2 A點(diǎn)坐標(biāo)為(a1 , a2 , a3), B點(diǎn)坐標(biāo)為(B , b2 , b3),求向量AB的坐標(biāo)解：因?yàn)?OA+ AB = OB,即 AB = OB -OA ,而OB = ( b1 ,b2,b3), OA=( a1, a2,a3)所以，AB = (bi,b2,b3)-( a1 ,a2,a3)= ( b1 ai , b22, b333)因?yàn)橄蛄緼b的模等于A, B兩點(diǎn)之間的距離，由此得到空間兩點(diǎn)A (ai, 32, a3)、B(bi, b2，b3)之間

21、的距離公式：d (A， B)= J(bi - ai )(b2 - a2 ) (b3 1 a3 )( 7)四、向量的方向角與方向余弦首先定義兩向量之間的 夾角：設(shè)a、b都是非零向量，將 a、b的起點(diǎn)放在一起，將a、b看成兩條邊，就形成兩個(gè)角，規(guī)定其中不超過n的那個(gè)角為向量a、b之間的夾角記作<a, b>.顯然Ow < a, b><兀將向量r的起點(diǎn)放在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，用角a 3, 丫分別表示r與x軸，y軸，z軸的夾角.即a=<r, i> 3=<r, j > Y=<r, k>，數(shù)組(a, 3, Y稱為向量r的方向角.零向量不確定

22、方向，因此零向量沒有方向角.任何非零向量都有唯一一組方向角.用向量的方向角可以表示向量的方向，但是，任意三個(gè)角不一定構(gòu)成一組方向角，構(gòu)成一組方向角的三個(gè)角之間應(yīng)該滿足的數(shù)量關(guān)系也不是很明顯的，所以用方向角表示向量的方向不很方便.向量的方向通常用方向余弦表示.如果向量勺，稱(cos a, COS 3,cos Y為r的方向余弦，其中a , 3, 丫是向量r的方向角.由于當(dāng)0 w xw n時(shí)，余弦函數(shù)COS X單調(diào)，所以方向角與方向余弦'對(duì)應(yīng).如果r= (xXyz-；cos 3=-,cos y-rrrcos a=y=|r|cos 3 z=|r|cos y,y , z),顯然有(8)或不難看出

23、,x=|r |cos a,(8 '2 2cos a+cos 3+cos Y=1(9)這也是一組數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量的方向余弦的充分必要條件.如果將一個(gè)向量的方向余弦也看作是一個(gè)向量，顯然它是與這個(gè)向量方向一致的一個(gè)單位向量.如果ro ,用r0表示與r方向致的單位向量：0 1r = r.(10)r一個(gè)向量可以用其模與方向余弦表示為：r=|r| (cos a , cos 3 , cos Y .(11)或r=|r|r0(11'例3求與三個(gè)坐標(biāo)軸夾角相等的方向角.解：設(shè)此方向角為(a, 3 Y ,因?yàn)閍= 3= Y COS2 a+COS2 3+COS2y1解得cosa=cos 3=cos y

24、 二滿足這一條件的角有兩個(gè)，即(arccos1.3，1arccos 3arccos),(arccos約 0.3 n),(arccos ",3arccosarccos1(arccos，約 0.8 n J3第二節(jié) 向量的內(nèi)積、內(nèi)積的定義在物理學(xué)中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力F （矢量）的作用下經(jīng)過位移s （矢量）所做的功 w （標(biāo)量）等于這個(gè)力在位移方向上的分力乘以位移的距離 w可以用F與s的運(yùn)算表示為w=| F | s| cos<F, s>定義1.1向量a、b的模| a|、| b|以及a、b之間夾角余弦的乘積稱為向量a與b的內(nèi)積.記作a b （讀作"a點(diǎn)b”，內(nèi)積亦稱點(diǎn)積）.即a

25、 b=| a| b| cos<a, b>向量的內(nèi)積是個(gè)數(shù)量，是用兩個(gè)向量運(yùn)算出的一個(gè)數(shù)量(1)、內(nèi)積的性質(zhì)由內(nèi)積的定義可以直接看出向量的內(nèi)積滿足交換率1、a b=b a這一性質(zhì)稱為向量的內(nèi)積具有對(duì)稱性.2、a （b+ c）=a b+ a c證明：圖8中的兩個(gè)平面都與向量a所在直線垂直，終點(diǎn)即c的起點(diǎn)在平面1 上, c的終點(diǎn)在平面2上，因此 的終點(diǎn)也在平面 2 上.兩條虛線分別在兩個(gè)平面上，所以都 與a所在直線垂直.因此可以看出：| b+c| cos<a, b+c>=| AC|;| b| cos<a,b>=| AB| c| cos<a, c>=|

26、BC| .所以，| b+c| cos<a, b+c>=| b| cos<a, b>+| c| cos<a, c> b的 b+c由此得到向量的內(nèi)積與加法滿足分配律 ？(注：內(nèi)積運(yùn)算優(yōu)先于加法運(yùn)算，所以( 加括號(hào))3、( ?a) b=入(a b) = a (血)式稱為準(zhǔn)結(jié)合律.我們只證明前一個(gè)等式，(掃) b=| 掃|b|cos< 掃,3）式右端沒有由定義 當(dāng)入0時(shí), 所以 當(dāng)X0時(shí)， 所以由交換律即可得到第二個(gè)等式:b> ；內(nèi) FIZai,|掃|=開a|, < Za, b>=<a, b>.(掃) b=| 掃|b|cos<

27、; 掃,b>= Za|b|cos<a, b>= Z (a b); |?a|=-入|a|, <掃，b>=n-a,b>,cos<a,b>=- cos<a,b>.(掃) b=| Z |b|cos< 掃,b>=-入|a |b| (- cos< a, b>) = Z a - b). ?注意上式等號(hào)左邊 掃是數(shù)量與向量的數(shù)乘運(yùn)算，入（a b）是數(shù)量 入與數(shù)量a b的普通乘法.性質(zhì)2、3合稱為向量的內(nèi)積具有 線性性.4、a a > 0;當(dāng)且僅當(dāng)a=o時(shí)，a a=0（稱為向量的內(nèi)積具有 正定性）今后我們記 a a為a2.

28、當(dāng)a、b中有一個(gè)是零向量時(shí)，顯然 a b=0.因?yàn)榱阆蛄坎淮_定方向，可以認(rèn)為零向量 垂直于任意向量.從向量?jī)?nèi)積的定義可以看出，定理1.4 a b=0的充分必要條件是 a丄b.設(shè)r=(a, b, c)=ai+bj+ckr i=(ai+bj+ck) i=a;或r i=|r|cos<r, i>=a;r j=(ai+bj+ck) j = b;或r j=|r|cos<r, j>=b;r k=(ai+bj+ck) k=c.或r k=|r|cos<r, k>=c.向量的坐標(biāo)就是這個(gè)向量與基向量組的內(nèi)積.從右邊三個(gè)式子也可以看出用向量方法建立坐標(biāo)系與定義向量的坐標(biāo)并不需要坐

29、標(biāo)原點(diǎn)，用基本單位向量組i, j, k就可以建立坐標(biāo)系.因?yàn)榭臻g任意向量都可以被三個(gè)不共面的向量唯一分解，即使i, j, k不相互垂直，只要它們不共面，就可以作為坐標(biāo)系的基來建立坐標(biāo)系.這種不需要基本單位向量相互垂直的坐標(biāo)系稱為仿射坐標(biāo)系.三、用坐標(biāo)計(jì)算向量的內(nèi)積設(shè)a的坐標(biāo)為(ai, a2, a3), b的坐標(biāo)為(bi, b?, b3),即 a= (ai, a2, a3)=aii+a2j+a3k, b= (bi, b2, b3) = bii+ b2j+b3k a b= (aii+a2j+a3k) (bii+b2j+b3k) =aibi+a2b2+a3b，所以3(5)a b= ' ai

30、bii A例1用內(nèi)積表示向量的模與兩個(gè)向量之間的夾角由內(nèi)積定義得到：|a|= a 2 =此處a2表示a a.如果a、b都不是零向量，則cos< a, b>=3x -2aii d3、bi2i=i零向量不確定方向，因而也不存在與其它向量的夾角由|cos< a ,b>|w i，得到一個(gè)代數(shù)中很重要的不等式,等號(hào)成立的充分必要條件是3r aibil wi壬ai, a2, a3與bi, b2, b3成比例，在幾何中就是a /b.這個(gè)不等式可以推廣到n項(xiàng).例2 設(shè) c=a b,貝U c c= (a b) (a b) = a a+ b b 2a b圖9ABC即Ch a |2+|b|2

31、 2| a |b| cos< a, b>.圖 9 中，a =CB , b=CA , c= AB , |a|=|CB|=a, |b|=|CA|=b, C|=|AB|=c.以上等式就是余弦定理：c2=a2+b22abcosZ C例3證明平行四邊形對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和(廣 義勾股定理).如圖10, AC與BD是平行四邊形 ABCD的對(duì)角線.AC = AB BC ； BD=BC CD ； CD = - AB22圖 10AC BD = (AB BC)2 + (BC CD)2 = (AB BC)2 +(BC - AB)22 2 2 22 2=AB BC 2AB?BC+ AB BC -

32、2AB?BC=2 ( AB BC )即| AC|2 |BD|2 = |AB|2 |BC|2 + |CD|2| AD |2第四節(jié)三維空間的平面與直線、平面及其方程經(jīng)過空間一點(diǎn)可以且只能做一個(gè)平面與已知直線垂直.設(shè)n是一個(gè)非零向量，如果它與平面n垂直，則稱n為n的法向量.給定平面n上一個(gè)定點(diǎn)M。與n的法向量n,這個(gè)平面就完全確定了.下面討論在空間直角坐標(biāo)系O;x,y,z下過定點(diǎn)Mo(Xo,yo,z°),以非零向量n = (a, b, c)為法向量的平面方程(見圖 11).(1)設(shè)M (x, y, z)為空間一動(dòng)點(diǎn)，M點(diǎn)在n上的充分必要條件是：向量 M0M與n垂直，而兩向量垂直的充分必要條

33、件是內(nèi)積為0，即n M 0M =0.將n與M0M的坐標(biāo)代入,得到a(x -c°)+b(y 丁0)+ c(z 0)=0稱為平面的點(diǎn)法式方程任何平面上都存在點(diǎn)，都有法向量，所以，任何平面的方程都是一次方程，今后我們稱次方程為線性方程.那么，是否任何一個(gè)線性方程都表示一個(gè)平面呢？三個(gè)變量的線性方 程的一般形式為ax+by+cz+d=0其中a, b, c不全為0.這個(gè)方程顯然一定有解.設(shè)(X。，y°,勺)是方程(2)的一組解，貝Uax0+by0+cz0+d=0(3)式減式，得到 a(x-<o)+b(y -0)+c(zo)=O這是一個(gè)經(jīng)過點(diǎn)(xo, yo,勾)，以n=(a, b

34、, c)為法向量的平面方程方程(2)稱為平面的一般方程.綜上所述，任何平面的方程都是線 性方程，任何線性方程都表示平面例1方程x+2y -5z+3=0表示一個(gè)平面，(1 , 2, -5)是它的一個(gè)法向量.將它化為點(diǎn)法式 方程：解：(0,1,1)是方程的一組解，所以這個(gè)平面的點(diǎn)法式方程為：x+2(y-1) -5(z-)=0例2方程x+2y-5z=0表示一個(gè)平面，(1, 2, -5)是它的一個(gè)法向量，方程常數(shù)項(xiàng)為 0,故(0 , 0, 0)是方程的解，這個(gè)平面經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)例3方程x+2y-仁0表示一個(gè)平面，n =(1 , 2, 0)是它的 一個(gè)法向量，因?yàn)閚垂直于z軸，所以這個(gè)平面平行于 z軸.注

35、 意方程x+2y - 1=0在平面直角坐標(biāo)系中表示一條直線，而在空 間直角坐標(biāo)系中表示一個(gè)平面，它可以看作是XOY平面上的直線x+2y- 1=0沿著平行于z軸方向延伸而成.(見圖12)例4 求經(jīng)過點(diǎn)(1 , 2, 3),法向量平行于y軸的平面方程.解：j=(0 , 1, 0)平行于y軸，取j為這個(gè)平面的法向量.所求平面方程為y - 2=0,或?qū)懽鱵=2 .這個(gè)平面垂直于y軸.例5求經(jīng)過點(diǎn)(1, 2,- 3)與x軸的平面方程解：經(jīng)過點(diǎn)(1 , 2, -3)的平面方程為a(x- 1)+b(y- 2)+c(z+3)=0因?yàn)閤軸在平面上，所以它的法向量垂直于i, (a, b, c)與i= (1, 0,

36、 0)的內(nèi)積為0,得到a=0 .由于平面經(jīng)過x軸，所以坐標(biāo)原點(diǎn)在平面上，將(0, 0, 0)代入b(y - 2)+c(z+3)=0得到取c=2, b=3.所求方程為-2b+3c=03(y- 2)+2(z+3)=0、平面與平面的位置關(guān)系比、n2是空間兩個(gè)平面，它們的方程分別為 a1X+b1y+C1Z+d1=0;a2x+b2y+ C2Z+d2=0m=(a1,b1,cj,n2=( a2,b?,c?)分別為巧、n2的法向量.兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系可以通過它們的法向量之間關(guān)系反映出來當(dāng)n 1 n 2時(shí)，顯然有 口1口2.根據(jù)向量共線的充分必要條件，因?yàn)?m、n 2都不是零向 量，所以存在 入旳，使n 1

37、=冶2.若同時(shí)d1=壯，則兩平面重合.若d1?d2，則兩平面平行 而不重合，此時(shí)兩平面沒有公共點(diǎn)，與此相對(duì)應(yīng)的是方程組a1X+b1y+C1Z+d1=0 a2x+b2y+C2Z+d2=0(4)無解.(兩個(gè)方程不相容).若n 1、n 2不共線，即(a1, 3, C1)與(a2, b2, C2)不成比例， 則兩平面相交，它們的公共部分是一條直線，方程組(4)有無窮多組解.兩平面之間的夾角(平面角)：當(dāng)0 w < n 1, n 2> w 時(shí)就是n 1與n 2的夾角< n 1,23Tn 2>，當(dāng) < < n 1, n 2>w二時(shí)是二-< n i, n 2&

38、gt; .所以兩平面之間的夾角2<ni, n2>=arccosE “21ni n2例6求過點(diǎn)P (xo, yo,勺)且與平面ax+by+cz+d=O平行的平面方程.解：過一點(diǎn)與一已知平面平行的平面是唯一確定的.因?yàn)樗笃矫媾c平面ax+by+cz+d=o平行，所以，可以取 n = ( a, b, c)為它的法向量，所求平面方程為a(xo)+b(y-yo)+ c(zo)=0例7求過點(diǎn)P (i, 3, -2)且與平面2x-+3z-=0和x+2y+2zZ=0都垂直的平面方程. 解：當(dāng)兩個(gè)平面不平行時(shí)，過一點(diǎn)且與這兩個(gè)平面都垂直的平面是唯一確定的n = (a, b, c),由 n 與設(shè)所求平

39、面 n的方程為a(x-)+b(y£)+ c(z+2)=o，其法向量是兩個(gè)平面都垂直可知，n±( 2, -i, 3), n丄(i, 2, 2)，即2a- b+3c=0a+2b+2c=08(x-1)+(y£)-5(z+2)=0按照以上方法求解平解此方程組，取其一組解 a=8, b=1,c=-5.所求平面n的方程為請(qǐng)讀者考慮：若兩個(gè)已知平面平行，此時(shí)所給條件不能確定平面,面方程會(huì)遇到什么問題？三、空間直線及其方程平面口、n?的方程分別為a1X+b1y+C1Z+d1=O;n i= ( ai, bi, ci)與 n 2= (a2, b2, c2) 兩平面的公共部分是一條直線

40、，所以方程組a2x+b2y+c2z+d2=o分別為ni、口2的法向量當(dāng)n i、n 2不共線時(shí),aix+biy+ciz+di=O(6)a2X+b2y+C2Z+d2=0(ai, bi, ci與a2, b2,勺不成比例)表示一條直線，稱為直線的一般方程.Mo (Xo, yo, Zo)是空間一定點(diǎn)， r= 的直線是唯一確定的，下面推導(dǎo)它的方程：過Mo做一條直線I與r平行，M (x, y, z) 是空間一動(dòng)點(diǎn).M點(diǎn)在直線(m, n,P)是個(gè)非零向量，經(jīng)過Mo且平行于rl上的充分必要條件Mo是：向量M0Mr.因?yàn)閞不是零向量，根據(jù)向圖13量共線的充分必要條件，存在入，使M 0M =廿即(x- xo, y-

41、yo, z-zo)=入(m,令入取遍全體實(shí)數(shù)，得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是直線I.將這個(gè)向量方程展開，得到x=xo+ 加y=yo+ 冶 z=zo+ Ap稱為直線的參數(shù)方程參看圖13.它的向量形式是(x, y, z) = (xo, 請(qǐng)讀者根據(jù)圖i3中的虛線給出向量解釋.將直線的參數(shù)方程改寫為yo, z) + 入(m, n, p).(8)X -Xo(9)稱為直線的點(diǎn)向式方程 或?qū)ΨQ式方程 或標(biāo)準(zhǔn)方程注意當(dāng)分母中含有 0時(shí),例如m=0,而n, p均不為0時(shí)，這個(gè)式子表示X=Xoy y。Z-Zo直線與直線的夾角直線Ii與I2的方程分別為y 一 yiX -x2y 一 y2z - Z2miniPim2n2P2Ii

42、與I2的夾角(o)2的夾角或其補(bǔ)角所以：就是它們方向向量(mi,ni, Pi)與 r2= (m2,n2, P2)之間直線與平面的夾角cos<li, l2>=l cos< ri, r2>|設(shè)直線I的方程為平面n的方程為直線的方向向量 r= (m,ri Ir2(io)n,x Xo y-yo z-zopax+by+cz+d=o,.p)與平面的法向量 n = (a, b, c)ji之間夾角為<r, n >，直線與平面的夾角就是|一-< r, n>|，所以2sin<l, n>=|cos<r, n>| =r nr|n例8將下列直線I的

43、一般方程化為對(duì)稱式方程與參數(shù)方程(I)2x +3z -=oX+2y+2z -4=oI，因?yàn)镮同時(shí)在解：直線I的一般方程是用兩個(gè)平面方程聯(lián)立來表示兩個(gè)平面的交線 兩個(gè)平面上，所以與兩個(gè)平面的法向量都垂直設(shè)直線I的方向向量為r = ( m, n, p),方程組2m-n+3p=0m+2n+2p=0的解即為直線I的方向向量.取方程組的一組非零解r=(8 ,1,-5). 再求出直線I上的任意一個(gè)點(diǎn)：取方程組(I)的一組解(-2, 1, 2),得到直線I的對(duì)稱式方程為x 2 y -1 z -28一 5參數(shù)方程為x=-2+8 入y=1+ 入z=2-5 入?yún)?shù)方程的向量形式為(x, y, z)=(-2, 1,

44、 2)+ A(8, 1, -5)例9求過點(diǎn)(xo, yo, %)與平面ax+by+cz+d=O垂直的直線方程以及垂足坐標(biāo).解：設(shè)所求直線 I的方程為 _=z .因?yàn)閨與平面 ax+ by+cz+d=0垂mnp直，所以I的方向向量與平面的法向量平行，所求直線I的方程為x _ X。_ y _ y° _ z _ z°a b c將直線方程與平面方程聯(lián)立，即可求出交點(diǎn)即垂足的坐標(biāo)(注意直線的對(duì)稱式方程實(shí)際上是兩個(gè)方程聯(lián)立).例10M°(xo, yo, z°)是空間一點(diǎn)，平面n的方程為ax+ by+cz+d=0.求點(diǎn)Mo到平面n的距離.解:這個(gè)問題可以利用例 9的方

45、法求出垂足坐標(biāo)，然后求出兩點(diǎn)距離即點(diǎn)到平面距離但是這個(gè)方法比較麻煩，下面我們探討用其它方法求解參看圖14,在平面n上任取一點(diǎn)M1，設(shè)其坐標(biāo)為(X1, y1, Z1),做向量M1Mo=(xo-X1, yo-y1, zo-z”則Mo到n的距離就等于 MNo的模乘以M1Mo與n的法向量n =(a, b, c)的余弦的絕對(duì)值，即：d(Mo, n)=| M1M o |cos< M1Mo , n>|其中d(Mo,得到n)表示Mo到n的距離.禾U用向量的內(nèi)積,d(Mo,n)=將M1M o與n的坐標(biāo)代入，得到M1M o nn圖15d(Mo,n)=1a2 b2 c2a(xo xj b(y°

46、 yj a(z° -zjn的一般方程 ax+by+cz+d=0可以寫注意到(Xi, yi, Zi)為平面上一點(diǎn) Mi的坐標(biāo)，所以,成點(diǎn)法式方程 a(x-<i)+b(y-i)+ c(zi)=O .因此，a(xo _xj b(yo _yj a(zg - Zi) = ax° byo czo d方程(ax by cz d)=0 a2 b2 c2(12)是以單位向量(a,b'c)-為法向量的平面方程，稱為平面的法式方程.a2b2c2.點(diǎn)Mo到平面n的距離就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入平面的法式方程的左邊，然后取絕對(duì)值d(Mo, n)=ax0 by0 CZ) da2 b2 c2過空間

47、一點(diǎn)P向一個(gè)平面 n引垂線，垂足稱為點(diǎn) P在這個(gè)平面上的投影, 投影面.一條曲線上各點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影所形成的曲線稱為這條曲線在這個(gè)平面 影.一條直線I在一個(gè)平面 n上的投影是一條直線.例11求直線I在平面n上的投影.其中I和n的方程分別為：(13)平面 n稱為 上的投x+y -=0x-y+z+1=0與x+y+z=0直線I在平面n上的投影是過直線I做一個(gè)與投影面與n的交線.因此，只要求出 m的方程與n聯(lián)立即可.方法一、設(shè)m的方程為ax+by+cz+d=0(l)(n)n垂直的平面巧(稱為投影平面)n的法向量與I的3).將此三個(gè)條件因?yàn)?巧過直線I，所以直線I上任意一點(diǎn)滿足 口的方程(1),并且

48、方向向量垂直(2).又 巧與n垂直，所以 巧與n的法向量相互垂直( 聯(lián)立即可求出a、b、c、d之間的關(guān)系，從而求出比的方程.但是此題直線用一般方程給出，所以上述方法比較麻煩，要求解兩個(gè)方程組.下面我們利用平面束方程求解.是直線的一般方程，方程(l)aix+biy+ciz+di=0a2X+b2y+C2Z+d2=0入(aix+biy+ciz+di)+ ?2(a2X+b2y+C2Z+d2)=0 表示一個(gè)平面，顯然滿足直線方程(I)的點(diǎn)都滿足此方程，所以，此方程代表所有經(jīng)過I的平面，稱為過I的平面束方程.設(shè) n1 的方程為x+y -+ Xx -y+z+1)=0即(1+ Xx+(1 - X+(入-)z+

49、 入-=0(這個(gè)平面束方程中不包括后一個(gè)平面x-y+z+1=0 ,由于這個(gè)平面顯然不是所求平面旺，這個(gè)假設(shè)是合理的).因?yàn)?口丄口，所以1(1+力+1(1 - )X1(入-)=0解得-1 .所求投影方程為四、直線之間的位置關(guān)系x+y+z=O y -=0直線與直線之間的關(guān)系有：重合、平行而不重合、相交、異面前三種均為共面設(shè)直線11與12的方程分別為miy -yiniz -乙Pix -卷m2y 一 y2 z - Z2ri=（mi， ni, pi）、r2=（m2，門2，P2） 分別為li與12的方向向量M i(xi， yi， Zi)、M2(X2,y2，Z2）分別為li與12上的點(diǎn)作向量MiM2兩條直

50、線共面的充分必要條件是三向量共面兩條直線平行即ri/r2，其充分必要條件是（mi, ni, pi）與（m2, n?, P2）成比例.考察向量方程入 ri + hr 2= M iM 21、如果ri/r2且方程有解，則兩直線重合；2、如果rir2且方程無解，則兩直線平行而不重合;3、如果ri、r2不共線且方程有解，則兩直線相交；4、如果ri、r2不共線且方程無解，則兩直線異面；五、直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有：直線與平面相交；直線在平面上；直線在平面外 設(shè)直線I的參數(shù)方程為平面n的方程為x=xo+ Amy=yo+ Anz=zo+ Apax+ by+cz+d=O(I)(n)將（I）代入

51、（n）: a（x°+ hm）+b（yo+ A）+c（zo+初+d=0.得到一個(gè)關(guān)于 入的方程(am+bn+cp) A(axo+byo+czo+d)=O直線與平面相交：方程（ 直線在平面上：方程（ 直線在平面外：方程（請(qǐng)讀者分析 am+bn+cp豐0；1、2、3、A有唯一解,A無窮多解，A無解， am+b n+cp=O ；(A)即：am+bn+cpz0；即：am + bn+cp=0 ,并且 axo+byo+cz0+d=O ； 即：am+bn+cp=0,并且 ax0+by0+cz0+d 0. ax°+by0+cz0+d=0 ； ax0+by0+cz0+d 豐0分別代表什么，可以

52、看出這三個(gè)條件的幾何意義如果直線方程以一般方程給出，直線與平面的位置關(guān)系應(yīng)該如何討論?第五節(jié)坐標(biāo)變換、坐標(biāo)系的平移將空間直角坐標(biāo)系O; i, j, k（為方便計(jì)暫且稱其為“舊”坐標(biāo)系）平行移動(dòng)到新的坐標(biāo)原點(diǎn)O' （X0, y。，z），得到直角坐標(biāo)系O' i, j, k（暫稱為“新”坐標(biāo)系），i, j, k為坐標(biāo)軸上的單位向量，即一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.P是空間一點(diǎn)，k1k "； PP點(diǎn)在舊坐標(biāo)系和新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為（x, y,乙）與（x',y', z').做向量 OP ,'-j圖18iOP=OO' + O'P(1)OP =x

53、i+yj +zk, OO' = xoi+yoj+z0k,O' P =x'i+y'j+z'k(2)將（2）式代入（1 ）式，比較系數(shù)，由于i, j, k是一組基，而向量在基下的分解是唯一的，得到坐標(biāo)平移公式：x=x'+ X0y=y'+ y 0( 3)z=z'+ Zo請(qǐng)讀者考慮：向量的坐標(biāo)在坐標(biāo)系的平移下有無變化、坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換將空間直角坐標(biāo)系 O; i, j,町（“舊”坐標(biāo)系）繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)系0; i'.k與i', j',k'分別為新舊坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)正交基.它們之間j'，k'

54、（“新”坐標(biāo)系），i, j, 的夾角余弦如下表：i'j'k'iCOS aicos acos ajcos 3cos 3cos 3kcos Ycos ycosy顯然，新坐標(biāo)系的基向量組在舊坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(4)i'= ( cos al, cos 31, COSy), j'= (cos a, cos 3, cosy), k'= (cos a, cos 3, cosy)P是空間一點(diǎn)，P點(diǎn)在坐標(biāo)系0; i, j, k下的坐標(biāo)為（x, y, z）,在坐標(biāo)系0; i', j', k' 下的坐標(biāo)為（x', y', z'）.因此，向量(5)OP =xi+yj+zk= x' i'+ y'j'+z'k',將（4）式代入（5）式右邊，重新集項(xiàng)，由于i, j, k是坐標(biāo)系的基向量組，任何向量在一組基下的分解式是唯一的，所以等式兩邊i, j, k的系數(shù)相等，得到坐標(biāo)變換公式x=x'cos ai+y'cos a+z'cos ay=x'cos 3+y'cos 3+z'cos3（6）z=x'cos