2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題精品解析（山東卷）

1、20152015 年高考山東卷理數(shù)試題解析（精編版）年高考山東卷理數(shù)試題解析（精編版）本試卷分第本試卷分第卷和第卷和第卷兩部分，共卷兩部分，共 4 4 頁頁. .滿分滿分 150150 分分. .考試用時考試用時 120120 分鐘分鐘. .考試結(jié)束后，將將本試卷考試結(jié)束后，將將本試卷和答題卡一并交回和答題卡一并交回. .注意事項：注意事項：1.1.答卷前，考生務(wù)必用答卷前，考生務(wù)必用 0.50.5 毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號縣區(qū)和科類填毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上. .2.2.第第卷每小題選出答案后

2、，用卷每小題選出答案后，用 2B2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號. .答案卸載試卷上無效答案卸載試卷上無效. . 3.3. 第第卷必須用卷必須用 0.50.5 毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶不按以上

3、要求作答的答案無效使用涂改液、膠帶紙、修正帶不按以上要求作答的答案無效. .4.4.填空題直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟填空題直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. .參考公式：參考公式：如果事件如果事件,A B互斥，那么互斥，那么 P ABP AP B. .第第卷（共卷（共 5050 分）分）一、一、選擇題：本大題共選擇題：本大題共 1010 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 5050 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的合要求的（1） 【2015 高考山東，理 1】已知集合243

4、0Ax xx，24Bxx,則AB （ ）（A） （1，3） （B） （1，4） （C） （2，3） （D） （2，4）【答案】C【解析】因為243013Ax xxxx，所以 132423ABxxxxxx.故選：C.【考點定位】1、一元二次不等式；2、集合的運算.【名師點睛】本題考查集合的概念與運算，利用解一元二次不等式的解法化簡集合并求兩集合的交集，本題屬基礎(chǔ)題，要求學(xué)生最基本的算運求解能力.（2） 【2015 高考山東，理 2】若復(fù)數(shù)z滿足1zii，其中i為虛數(shù)為單位，則z=（ ） （A）1 i （B）1 i （C）1 i （D）1 i 【答案】A【考點定位】復(fù)數(shù)的概念與運算.【名師點睛】本

5、題考查復(fù)數(shù)的概念和運算，采用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行化簡求解.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準(zhǔn)確性.（3）【2015 高考山東，理 3】要得到函數(shù)sin 43yx的圖象，只需要將函數(shù)sin4yx的圖象（ ）（A）向左平移12個單位 （B）向右平移12個單位（C）向左平移3個單位 （D）向右平移3個單位 【答案】B【考點定位】三角函數(shù)的圖象變換.【名師點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點考查學(xué)生對三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學(xué)生對所學(xué)知識理解的深度.（4） 【2015 高考山東，理 4】已知菱形ABCD的邊長為a ，60ABC

6、 ,則BD CD （ ）（A）232a （B）234a （C） 234a （D） 232a【答案】D【考點定位】平面向量的線性運算與數(shù)量積.【名師點睛】本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識，重點考查學(xué)生對平面向量的線性運算和數(shù)量積的理解與掌握，屬基礎(chǔ)題，要注意結(jié)合圖形的性質(zhì)，靈活運用向量的運算解決問題.（5） 【2015 高考山東，理 5】不等式152xx的解集是（ ）（A） （-，4） （B） （-，1） （C） （1，4） （D） （1，5）【答案】A【考點定位】含絕對值的不等式的解法.【名師點睛】本題考查了含絕對值的不等式的解法，重點考查學(xué)生利用絕對值的意義將含絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不

7、等式（組）從而求解的能力，本題屬中檔題.（6） 【2015 高考山東，理 6】已知, x y滿足約束條件020 xyxyy，若zaxy的最大值為 4，則a （ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式組020 xyxyy 在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分所示，若zaxy的最大值為 4，則最優(yōu)解可能為1,1xy 或2,0 xy ，經(jīng)檢驗，2,0 xy是最優(yōu)解，此時2a ；1,1xy不是最優(yōu)解.故選 B.【考點定位】簡單的線性規(guī)劃問題.【名師點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，通過確定參數(shù)a的值，考查學(xué)生對線性規(guī)劃的方法理解的深度以及應(yīng)用的靈活性，意在考

8、查學(xué)生利用線性規(guī)劃的知識分析解決問題的能力. （7） 【2015 高考山東，理 7】在梯形ABCD中，2ABC，/ /,222ADBC BCADAB .將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）（A）23 （B）43 （C）53 （D）2 【答案】C【考點定位】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積.【名師點睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間幾何體的體積的計算，重點考查了圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積的計算，體現(xiàn)了對學(xué)生空間想象能力以及基本運算能力的考查，此題屬中檔題.（8） 【2015 高考山東，理 8】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正

9、態(tài)分布20,3N，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（ ）（附：若隨機變量 服從正態(tài)分布2,N ，則68.26%P ，2295.44%P。 ）（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%【答案】B【考點定位】正態(tài)分布的概念與正態(tài)密度曲線的性質(zhì). 【名師點睛】本題考查了正態(tài)分布的有關(guān)概念與運算，重點考查了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)以及如何利用正態(tài)密度曲線求概率，意在考查學(xué)生對正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解及基本的運算能力.（9） 【2015 高考山東，理 9】一條光線從點2, 3射出，經(jīng)y軸反射后與圓22321xy相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）（A

10、）53或35 （B）32 或23 （C）54或45 （D）43或34【答案】D【考點定位】1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關(guān)系.【名師點睛】本題考查了圓與直線的方程的基礎(chǔ)知識，重點考查利用對稱性解決直線方程的有關(guān)問題以及直線與圓的位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系的理解與把握以及學(xué)生的運算求解能力.（10） 【2015 高考山東，理 10】設(shè)函數(shù) 31,1,2 ,1xxxf xx則滿足 2f aff a的a取值范圍是（ ）（A）2,13 （B）0,1 （C）2,3 （D）1, 【答案】C【考點定位】1、分段函數(shù)；2、指數(shù)函數(shù).【名師點睛】本題以分段

11、函數(shù)為切入點，深入考查了學(xué)生對函數(shù)概念的理解與掌握，同時也考查了學(xué)生對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解與運用，滲透著對不等式的考查，是一個多知識點的綜合題.第第卷（共卷（共 100100 分）分）二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 5 5 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 2525 分分. .（11） 【2015 高考山東，理 11】觀察下列各式：0014C 011334CC01225554 ;CCC 0123377774CCCC照此規(guī)律，當(dāng) nN 時，012121212121nnnnnCCCC .【答案】14n 【考點定位】1、合情推理；2、組合數(shù). 【名師點睛】本題考查了合情推理與組

12、合數(shù)，重點考查了學(xué)生對歸納推理的理解與運用，意在考查學(xué)生觀察、分析、歸納、推理判斷的能力，關(guān)鍵是能從前三個特殊的等式中觀察、歸納、總結(jié)出一般的規(guī)律，從而得到結(jié)論.此題屬基礎(chǔ)題.(12) 【2015 高考山東，理 12】若“0,tan4xxm ”是真命題，則實數(shù)m的最小值為 .【答案】1【考點定位】1、命題；2、正切函數(shù)的性質(zhì). 【名師點睛】本題涉及到全稱命題、正切函數(shù)的性質(zhì)、不等式恒成立問題等多個知識點，意在考查學(xué)生綜合利用所學(xué)知識解決問題的能力，注意等價轉(zhuǎn)化的思想的應(yīng)用，此題屬中檔題.（13） 【2015 高考山東，理 13】執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T的值為 . 【答案】116 所以答案應(yīng)

13、填：11.6【考點定位】1、程序框圖；2、定積分.【名師點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)與定積分的計算，意在考查學(xué)生對程序框圖的理解和基本的計算能力，以程序框圖為載體，可以展開對數(shù)列、函數(shù)、不等式、定積分等多種知識點的考查，此題是一個范例.解題中要注意運算的準(zhǔn)確性.(14) 【2015 高考山東，理 14】已知函數(shù)( )(0,1)xf xab aa 的定義域和值域都是1,0 ，則ab .【答案】32 【考點定位】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).【名師點睛】本題考查了函數(shù)的有關(guān)概念與性質(zhì)，重點考查學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解與應(yīng)用，利用方程的思想解決參數(shù)的取值問題，注意分類討論思想方法的應(yīng)用.（15） 【2015 高考山

14、東，理 15】平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線22122:10,0 xyCabab的漸近線與拋物線22:20Cxpy p交于點, ,O A B，若OAB的垂心為2C的焦點，則1C的離心率為 .【答案】32 【考點定位】1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【名師點睛】本題考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對圓錐曲線基本問題的把握以及分析問題解決問題的能力以及基本的運算求解能力，三角形的垂心的概念以及兩直線垂直的條件是突破此題的關(guān)鍵.三、解答題：本答題共 6 小題，共 75 分.（16） （本小題滿分 12 分） 【2015 高考山東，理 16】設(shè)

15、2sin coscos4f xxxx.（）求 f x的單調(diào)區(qū)間；（）在銳角ABC中，角, ,A B C的對邊分別為, ,a b c,若0,12Afa,求ABC面積的最大值.【答案】 （I）單調(diào)遞增區(qū)間是,44kkkZ；單調(diào)遞減區(qū)間是3,44kkkZ（II）ABC 面積的最大值為234【考點定位】1、誘導(dǎo)公式；2、三角函數(shù)的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.【名師點睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式與解三角形的基本知識和基本不等式，意在考查學(xué)生綜合利用所學(xué)知識分析解決問題的能力，余弦定理結(jié)合基本不等式解決三角形的面積問題是一種成熟的思路.(17) (本小題滿分 12 分)【20

16、15 高考山東，理 17】如圖，在三棱臺DEFABC中，2,ABDE G H分別為,AC BC的中點.（）求證：/ /BD平面FGH；（）若CF 平面ABC，,ABBC CFDE ，45BAC ,求平面FGH與平面ACFD 所成的角（銳角）的大小.【答案】 （I）詳見解析；（II）60 又OH 平面,FGH BD 平面,FGH所以/ /BD平面FGH 由FC 平面ABC ，得HMFC 又FCACC 所以HM 平面ACFD 因此GFNH所以MNH 即為所求的角【考點定位】1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、二面角的求法；3、空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用.【名師點睛】本題涉及到了立體幾何中的線

17、面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運 算的準(zhǔn)確性. （18） （本小題滿分 12 分） 【2015 高考山東，理 18】設(shè)數(shù)列 na的前 n 項和為nS.已知233nnS . （I）求 na的通項公式； （II）若數(shù)列 nb滿足3lognnna ba，求 nb的前 n 項和nT.【答案】 （I）13,1,3,1,nnnan; （II）1363124 3nnnT.【考點定位】1、數(shù)列前n 項和nS 與通項na 的關(guān)系；2、特殊數(shù)列的求和問 題.【名師點睛

18、】本題考查了數(shù)列的基本概念與運算，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力與運算求解能力，思維的嚴(yán)密性和運算的準(zhǔn)確性，在利用nS與通項na的關(guān)系求na的過程中，一定要注意1n 的情況，錯位相減不法雖然思路成熟但也對學(xué)生的運算能力提出了較高的要求.（19） （本小題滿分 12 分） 【2015 高考山東，理 19】若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)” （如 137,359,567 等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取 1 個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被 5 整除，參加者

19、得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1分；若能被 10 整除，得 1 分.（I）寫出所有個位數(shù)字是 5 的“三位遞增數(shù)” ；（II）若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.【答案】 （I）有：125，135，145，235，245，345；（II）X 的分布列為X0-11P231141142421EX 【考點定位】1、新定義；2、古典概型；3、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；4、組合的應(yīng)用.【名師點睛】本題在一個新概念的背景下，考查了學(xué)生對組合、概率、離散型隨機變量的分布列等知識，意在考查學(xué)生對新知識的理解與應(yīng)用能力，以及利用所學(xué)知識解決遇到了的問題的能力，解決此類問題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.（20） （本小題滿分 13 分）【2015 高考山東，理 20】平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓2222:10 xyCabab的離心率為32，左、右焦點分別是12,F F，以1F為圓心以 3 為半徑的圓與以2F為圓心以 1 為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.()求橢圓C的方程；（）設(shè)橢圓2222: