2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（陜西卷含解析）

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）理一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)集合，則（ ）A B C D【答案】A【解析】試題分析：，所以，故選A考點(diǎn)：1、一元二次方程；2、對數(shù)不等式；3、集合的并集運(yùn)算2.某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（ ）A167 B137 C123 D93【答案】B考點(diǎn)：扇形圖3.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（ ）A5 B6 C8 D10【答案】

2、C【解析】試題分析：由圖象知：，因?yàn)?，所以，解得：，所以這段時(shí)間水深的最大值是，故選C考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)4.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15，則（ ）A4 B5 C6 D7【答案】C考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：由三視圖知：該幾何體是半個(gè)圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長為，所以該幾何體的表面積是，故選D考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積6.“”是“”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)椋曰?，因?yàn)椤啊薄啊保啊薄啊?，?/p>

3、以“”是“”的充分不必要條件，故選A考點(diǎn)：1、二倍角的余弦公式；2、充分條件與必要條件7.對任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（ ）A BC D【答案】B考點(diǎn)：1、向量的模；2、向量的數(shù)量積8.根據(jù)右邊的圖，當(dāng)輸入x為2006時(shí)，輸出的（ ）A28 B10 C4 D2【答案】B【解析】試題分析：初始條件：；第1次運(yùn)行：；第2次運(yùn)行：；第3次運(yùn)行：；第1003次運(yùn)行：；第1004次運(yùn)行：不滿足條件，停止運(yùn)行，所以輸出的，故選B考點(diǎn)：程序框圖9.設(shè)，若，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）A B C D【答案】C考點(diǎn)：1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性10.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原

4、料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（ ）A12萬元 B16萬元 C17萬元 D18萬元【答案】D【解析】試題分析：設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為、噸，則利潤由題意可列，其表示如圖陰影部分區(qū)域：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以，故選D考點(diǎn)：線性規(guī)劃11.設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率為（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：如圖可求得，陰影面積等于若，則的概率是，故選B考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的模；2、幾何概型12.對二次函數(shù)（a為非零常數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則

5、錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）A-1是的零點(diǎn) B1是的極值點(diǎn)C3是的極值 D. 點(diǎn)在曲線上【答案】A考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)； 2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為 【答案】【解析】試題分析：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，則，所以，故該數(shù)列的首項(xiàng)為，所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：等差中項(xiàng)14.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則p= 【答案】考點(diǎn)：1、拋物線的簡單幾何性質(zhì)；2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)15.設(shè)曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線上點(diǎn)p處的切線垂直，則p的坐標(biāo)為 【答案】【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，所以曲線在

6、點(diǎn)處的切線的斜率，設(shè)的坐標(biāo)為（），則，因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，因?yàn)椋?，即，解得，因?yàn)椋?，所以，即的坐?biāo)是，所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、兩條直線的位置關(guān)系16.如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 【答案】【解析】試題分析：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：原始的最大流量是，設(shè)拋物線的方程為（），因?yàn)樵搾佄锞€過點(diǎn)，所以，解得，所以，即，所以當(dāng)前最大流量是，故原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是，所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義三、解答

7、題（本大題共6小題，共70分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）17（本小題滿分12分）的內(nèi)角，所對的邊分別為，向量與平行（I）求；（II）若，求的面積【答案】（I）；（II）試題解析：（I）因?yàn)?，所以，由正弦定理，得又，從而，由于，所?II)解法一：由余弦定理，得而得，即因?yàn)?，所?故ABC的面積為.考點(diǎn)：1、平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面積公式.18（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)將沿折起到的位置，如圖 （I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值【答案】（I）證明見解析；（II）試題解析：（I）在圖1中，

8、因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn)，BAD=，所以BE AC即在圖2中，BE ，BE OC從而BE平面又CDBE，所以CD平面.(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE ，BE OC所以為二面角的平面角，所以.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)? 所以得 ，.設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取，得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為.考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.19（本小題滿分12分）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：（

9、分鐘）25303540頻數(shù)（次）20304010（I）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（II）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率【答案】（I）分布列見解析，；（II）【解析】試題分析：（I）先算出的頻率分布，進(jìn)而可得的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望公式可得數(shù)學(xué)期望；（II）先設(shè)事件表示“劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過分鐘”，再算出的概率試題解析：（I）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分步為（分鐘）25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計(jì)概率得T的分布列為253035400.20.30.40

10、.1從而 （分鐘）(II)設(shè)分別表示往、返所需時(shí)間，的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，所以事件A對應(yīng)于“劉教授在途中的時(shí)間不超過70分鐘”.解法一：.解法二：故.考點(diǎn)：1、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；2、獨(dú)立事件的概率.20（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先寫過點(diǎn)，的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知橢

11、圓的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進(jìn)而可得，再利用可得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程試題解析：（I）過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為，則原點(diǎn)O到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓E的方程為. (1)依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且.易知，AB不與x軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓E的方程為.解法二：由（I）知，橢圓E的方程為. (2)依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(-2,1)對稱，且.設(shè)則，兩式相減并結(jié)合得.易知，AB不與x軸垂直，則，所以AB的斜率因此AB直線方程為，代入(2)得所以，.于是

12、.由，得，解得.故橢圓E的方程為.考點(diǎn)：1、直線方程；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置.21（本小題滿分12分）設(shè)是等比數(shù)列，的各項(xiàng)和，其中，（I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且；（II）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并加以證明【答案】（I）證明見解析；（II）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，證明見解析【解析】試題分析：（I）先利用零點(diǎn)定理可證在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，再利用函數(shù)的單調(diào)性可證在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而利用是的零點(diǎn)可證；（II）先設(shè)，再對的

13、取值范圍進(jìn)行討論來判斷與的大小，進(jìn)而可得和的大小試題解析：（I）則所以在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，即，故.(II)解法一：由題設(shè)，設(shè)當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 若,若,所以在上遞增，在上遞減，所以，即.綜上所述，當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)解法二 由題設(shè)，當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.當(dāng)時(shí), 所以成立.假設(shè)時(shí)，不等式成立，即.那么，當(dāng)時(shí)，.又令，則所以當(dāng),在上遞減；當(dāng),在上遞增.所以，從而故.即，不等式也成立.所以，對于一切的整數(shù)，都有.解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，所以,令當(dāng)時(shí), ,所以.當(dāng)時(shí), 而，所以，.若, ,當(dāng),從而在上遞減,

14、在上遞增.所以，所以當(dāng)又,，故綜上所述，當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)考點(diǎn)：1、零點(diǎn)定理；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.請?jiān)?2、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑22（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，切于點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，垂足為（I）證明：；（II）若，求的直徑【答案】（I）證明見解析；（II）【解析】試題分析：（I）先證，再證，進(jìn)而可證；（II）先由（I）知平分，進(jìn)而可得的值，再利用切割線定理可得的值，進(jìn)而可得的直徑試題解析：（I）因?yàn)镈E為圓O的直徑，則，又BCDE，所以CBD+EDB=90°，從

15、而CBD=BED.又AB切圓O于點(diǎn)B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.（II）由（I）知BD平分CBA，則,又，從而，所以，所以.由切割線定理得，即=6，故DE=AE-AD=3，即圓O的直徑為3.考點(diǎn)：1、直徑所對的圓周角；2、弦切角定理；3、切割線定理.23（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為（I）寫出的直角坐標(biāo)方程；（II）為直線上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時(shí)，求的直角坐標(biāo)【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先將兩邊同乘以可得，再利用，可得的直角坐標(biāo)方程；（II）先設(shè)的坐標(biāo)，則，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最小值，進(jìn)而可得的直角坐標(biāo)試題解析：（I）由，從而有.(II)設(shè),則，故當(dāng)t=0時(shí)，|PC|取最小