實用文庫匯編之平面幾何在解析幾何中的應(yīng)用

1、*實用文庫匯編之平面幾何在解析幾何中的應(yīng)用南昌大學(xué)附中陳一君一、活用幾何關(guān)系速解圓類問題在解析幾何中，作為二次曲線的圓是研究直線的延續(xù)和學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ)圓既是軸 對稱圖，又是中心對稱圖形，其中蘊藏著諸多位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，對于解析幾何中圓的 某些問題，若能活用題中幾何要素的關(guān)系，解題就會變得簡單而快捷，圓涉及的知識點主 要有：圓中切割線立理.圓幕左理、垂徑泄理.活用圓的幾何性質(zhì)可以快速解決圓類問題，降低運算咼，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真分析圖形的幾 何性質(zhì)，養(yǎng)成綜合應(yīng)用知識的習(xí)慣，提髙解題技巧與能力解題時，若能把握形的幾何特 征，注意挖掘隱蔽條件，靈活利用平而幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運算量，將會

2、起到非常重要的作用，今天我們帶領(lǐng)大家學(xué)習(xí)如何活用幾何關(guān)系速解圓類問題.【例題】已知直線l:y = x + b和圓C:x2 + y2 + 2y = 0相交于不同兩點久B,點p在直線/上，且滿足|FA| -PB = 2,當(dāng)b變化時，求"的軌跡.【常規(guī)解法】設(shè)點P（S ,x = m + 則l:y = x+b的參數(shù)方程為y = n +邑2邑2a為參數(shù)）（1）將(1) RAx2 + r+2y = 0,得nr + 41mt + 丄尸 +n2 + Jlnt + -r + 2n + Q = 0,2 2廣 + 廠 + /廠 + 2n = 0,(2)顯然>().設(shè)方程(2)的兩根為G t2,由網(wǎng).

3、|PB卜2,依題意點"在AB或BA的延長線上，A PA PB = PA PB = 2,即 r,-r2=2nr 4- n2 + 2n = 2 即x2 + / + 2y = 2為的軌跡方程，表示以（0廠1）為圓心，巧為半徑的圓.【點評】由網(wǎng)|P牛2聯(lián)想到直線的參數(shù)方程中7的幾何意義雖然也很自然，但相對 與參數(shù)方程在教材中的地位來說對更多高三學(xué)生來說亦屬不易，還有運算量相比較還是比 較大的，時間成本的控制不如方法一.需要說明的是如果不用直線的參數(shù)方程的方法，純 代數(shù)解幾的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定時間內(nèi)完成【利用圓的幾何性質(zhì)解法】圓C：r+f+2y=0的圓心C（O,-1）“

4、= 1由切割線泄理，如圖1所示，W|PT|2=|PA|-|PB| = 2>1,故點"在圓C外，二P7f+|C7fM點p的軌跡方程為x2 + (y +1)2 = 3【點評】顯然直線AB是圓的割線，運用平而幾何知識中的切割線泄理求軌跡就簡單 明了，結(jié)果是體現(xiàn)在運算量得到極大地減少，時間成本得到控制.通過本節(jié)微專題學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)求解圓的問題時.若能充分揭示問題中的幾何關(guān)系，靈活 運用平而幾何知識，解題則會事半功倍切割線宦理、圓幕立理、垂徑左理是圓的對稱性的 反映，它們在圓中的應(yīng)用程度非常之廣泛.【針對訓(xùn)練】（2013年福建髙考文科試題）如圖，拋物線 E.y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線/與x軸

5、的交點為A.點C在拋物線E 上，以C為圓心，100為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線/交于不同的兩點 M. N.（I）若點C的縱坐標(biāo)為2,求IMNI：（II）若AF'=AM卜| AN 求圓C的半徑.【分析】本題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ) 知識根據(jù)條件圓心c在拋物線上且過原點，解法如下：（I）拋物線£：y2=4x的準(zhǔn)線/的方程為x=-l,由點C的縱坐標(biāo)為2,得點C坐標(biāo)（1,2）,所以點C到準(zhǔn)線/的距離=2,又|C0|=5.所以|MN| = 2CO一/ = 2.2（II）【常規(guī)解法】設(shè)C（¥，兒），則圓C的方程為：+ (y= r + y()2，

6、即才一"兀+一2兒歹=°» 由x=-i»lo2b-2y°y + l+牛=0 . 22/. z、/、A=4 V -4( !-±. )-2 y02 -4>0設(shè)M(-1)、N(-l,兒)得到 ；222由M冃糾岡，得|)j>'2| = 4.牛+ 1 = 4=>兒=±鳥此時>()23 3圓心C的坐標(biāo)為C（亍石）或C（亍一屈,從而得|cof = ¥，|co| =孚 即圓C的半八>/33徑為r =2【利用圓的幾何性質(zhì)解法】抓住圓的幾何特征結(jié)合垂徑立理，從圓幫定理為切入點有下列簡潔解法：設(shè)圓（

7、7與兀軸交于不同的兩點0、G由圓慕左理知:A0iAG =AMilAN由條件尸（1,0）,帖忡；叫陰2 2 2即 4 =IAMIlANI = IA0lL4GI,由條件設(shè) C（h,兒），則 G（衛(wèi)-,0）AG| =也十 1 =4,4 22）叮=6八兒=±血.c弓，屈或c（|,r）, 一 £77=寫【點評】（I）涉及拋物線與圓的位宜關(guān)系問題，關(guān)鍵要抓住圓心在拋物線上、圓過原點這些幾何特 征，結(jié)合垂徑左理和根與系數(shù)關(guān)系解決問題.（II）根拯條件抓住幾何特征通過圓幕定理 解決，顯然比標(biāo)準(zhǔn)答案所給的方法簡單明了，關(guān)鍵就是充分利用了圓的幾何性質(zhì)化難為易 、化繁為簡，收到事半功倍的效果.二

8、. 解析幾何中巧用三角形相似簡化計算解析幾何是建立在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點，用方程表示曲線，用代數(shù)方法解 決幾何問題的一門學(xué)科，它開創(chuàng)了數(shù).形結(jié)合研究方法解決解析幾何問題的最大難度是如 何把握好解題的總體思想策略但在平時的解析幾何教學(xué)中，師生往往偏重于相關(guān)量的數(shù)量 關(guān)系的研究，摒棄了最基本.最直接的解題思路，不重視平面幾何知識，但解析幾何的 “魂”還是“幾何”特征【例題】如圖：橢圓4+4在現(xiàn)代中學(xué)教學(xué)中，解解析幾何時，可以靈活應(yīng)用平而幾何知識，找到簡捷的解題途 徑，簡化解析幾何的解題過程，降低運算量運用平而幾何知識，能培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)貞分析圖形 的幾何性質(zhì)，養(yǎng)成綜合應(yīng)用知識的習(xí)慣，提髙解題技巧

9、與能力解題時，若能把握形的幾何 特征，注意挖掘隱蔽條件，靈活利用平而幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運算捲，將 會起到非常重要的作用，今天我們帶領(lǐng)大家學(xué)習(xí)如何利用平而幾何的三角形相似知識巧妙 解決解析幾何的問題.= （a>b>0）的左右焦點為斤，F(xiàn)“上頂點為兒 離心率0 =丄，點P為第一象限內(nèi)橢圓上的一個點，且S訂創(chuàng)：S,p話=2:1,則直線PF的斜率 2 -為【常規(guī)解法一】P到直線AFi的距離和到x軸的距離的比為2:1,設(shè)岀P點坐標(biāo)，進而求設(shè)P(m9nh由題意知直線人存：加一cy +處=0,P到直線帖的距離心吐也 = 2”， a即bm-cn+bc = 2cin.(點P在直線AF】

10、的右側(cè)，可直接去掉絕對值符號)整理得_巴_ = _2=迺(體現(xiàn)了設(shè)而不求)m + c 2a+ c 5【常規(guī)解法二】A與&到直線的距藹的比為2:1,用點到直線的距離公式直接解出K昭設(shè)直線戶斥方程為/c(-y + ck=0t由A(0,b)與朽(c,0)到直線P片的距離的比為2:1得到等式|0f %艸芝叫即-心4心"2 =迺Jl + 疋y/l + k25c 5(注意點到直線距離公式中絕對值符號是如何去掉的)【利用相似比解法一】連接AF?與PF】交于點B,證明B是線段人竹的三等分點，進而求心 如圖，作AM垂直于P片于點M,作竹N垂直PF】于點N,S的卩:S皿 =AM:F2N = 2:

11、1，連接AF2交P耳于點B ,由相似比知嗣:陰= 2:1,所以B是線段A耳的三等分點,而人(0上)，坊(c,0),求出B點坐標(biāo)是所以g齊2c 、 y(-c)2 =逅5T""T【利用相似比解法二】AO與卩斤交于點瓦證明B是線段AO的五等分點.就能得出B 點坐標(biāo)，進而求K連接 0P9SbPFo : sbPFF =1:2,由 S、PFA : S0芒2 =2:1,得出 SPFA : SbPFQ =4:1,而人(0上)，求出B點的坐標(biāo)是0,-,所以Kpf=Kb% =< 5 >0-(-c)b _y/35cT作AM垂直PF于點M,作ON垂直于于點M 設(shè)PF】與y軸的交點為氏由

12、相似比知AB：BO = 4A.所以B是線段AO的五等分點,【評析】靈活地應(yīng)用平而幾何知識，可以快速化解題目的難點之處.幾何分析是“形”向 “數(shù)”的轉(zhuǎn)化，是特殊性方法，是“數(shù)形結(jié)合”思想應(yīng)用.通過本節(jié)微專題學(xué)習(xí)，對于某些解析幾何問題，我們不一沱都要通過常規(guī)方法入手， 只要我們認(rèn)真分析題目中幾何量之間的關(guān)系，運用平而幾何的觀點來審題，認(rèn)淸題目的本 質(zhì)特征，然后再動筆，往往帶來很多方便.要讓學(xué)生在自然的代數(shù)過程中聯(lián)系幾何轉(zhuǎn)化，不 要刻意分割解析幾何中的“數(shù)”與“形”，讓數(shù)形結(jié)合思想真正融入解題思維里.【針對訓(xùn)練】已知圓x2+y2 =r2,直線/ :x ="(">r),P為/

13、上的一點，射線OP交圓 于點/?,點。在OP上，且滿足|O0|OP| = |OR，當(dāng)P點在/上移動時，求點0的軌跡 方程.【分析】常規(guī)解法相當(dāng)繁瑣，令人頭疼限于篇幅，這里不再展示常規(guī)解法，但是，如果釆 用三角形相似來解決的話，會很簡單.解：如圖所示，過點P作圓的切線PM, M為切點，連接MQ,易證MQ丄OP 由 R仏OHQRf“OTP,得=» OHa=OQOP = OR" =r故OH = 為立值，又MQ丄OP、故點Q的軌跡方程為(一令+宀務(wù)【點評】到目前為此這是我所見到的本題最簡潔的解法，簡煉有力，令人驚嘆!三、平面幾何在求軌跡方程中的應(yīng)用在最近幾年的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)了同學(xué)們

14、學(xué)習(xí)中存在的一個普遍問題：學(xué)哪一段就用哪 一段的方法，這樣做產(chǎn)生的后果是:思路閉塞，運算繁瑣伴隨著年齡的增長，同學(xué)們所掌 握的數(shù)學(xué)方法越來越多，進入髙中以后，特別是接觸到解析幾何后，我們不少同學(xué)就有點 喜新厭舊了，把以前初中的平而幾何知識拋到一邊，認(rèn)為有點過時了其實不然，數(shù)學(xué)方法 并沒有過時的說法，一些簡單地定理往往能帶來令人意想不到的效果，如中線左理、角平 分線肚理、射影泄理等平而幾何中的基本知識，如果運用得當(dāng)?shù)脑挘涂梢詫⒛銖慕馕鰩?何繁復(fù)的運算中解放出來，甚至能讓你拍案叫絕.求軌跡方程是解析幾何中的兩大基本問題之一，也是髙考重點考查的內(nèi)容其方法多種 多樣，但在求軌跡方程中，如果能夠充分利

15、用平而幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運算 量，將會起到非常重要的作用，今天我們帶領(lǐng)大家學(xué)習(xí)應(yīng)用平而幾何求解軌跡方程的問題. 【例題】已知圓0的方程是* + >,2=36,泄點P(4,0),如圖作矩形APBQ (A、B兩點在 圓上)求矩形的頂點Q的軌跡方程.【常規(guī)解法】設(shè)。(上A(xP y,), B(x2, y2),則:av + v =36+=36 乂一_ = 1即西兀2 + 一4(召+兀)+ 16 = 0 x +x2 =x + 4, y + y2 = y x2 + y2 = (x, +x2-4)2 + () + y2)2=Xj2 + x22 +)+ y22 _ 8(冊 + 吃)+ 2)

16、、比 + 2x2 + 6=72 4- 2xlx2 + y, y2 - 4(x( + x,) +16= 72-16 = 56即所求矩形的頂點0的軌跡方程為：X +),2=56.【點評】以上解法很常規(guī)，但苴消元的過程是在太巧妙了！不易想到.除此之外，還可利用 PA斜率K為參數(shù)，建立0的參數(shù)方程來解決，但其運算過程相當(dāng)復(fù)雜，不易求解.【利用中線定理幾何性質(zhì)解法】如上圖，連接OP,OQ,O,OB,OM (M為矩形APBQ的對角 線的交點)由平而幾何的中線泄理知識可知：在OPQ 中，+|OQf =2(|0M|： +|PM門 在厶 AOB 中，“f + OB =2(|OM|? + AM |2) -PM =

17、 AMy:.OP+OQ =|OA|2 +OB從而可得：|OQ|2 =56,故r + y2=56為所求方程.【點評】在求軌跡方程中，充分利用平而幾何知識，結(jié)合圓錐曲線的左義，在解題中，特 別是在考試的客觀題解答中，將使解題過程簡單，迅速得岀正確答案.通過本節(jié)微專題學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)求解解析幾何的軌跡方程問題時，若能充分靈活運用平面 幾何知識(中線左理)快速地給岀了解答，方法之妙令人叫絕，解題則會事半功倍平時教 學(xué)中，教師應(yīng)注意這方面的指導(dǎo).【針對訓(xùn)練】點A, B, C依次在直線/上，且AB=4BC,過C作/的垂線，M是這條垂線 上的動點，以A為圓心，為半徑作圓，M7；與M7；是這個圓的切線，求A/W7；

18、7；垂心 的軌跡.【分析】如圖，以A為原點，直線AB為兀軸建立坐標(biāo)系，H為'MT&的垂心，N為77?與AM的交點，記BCT以A為圓心的圓方程為x2 + y2 =16,連結(jié)AT.AT2,:.AT2/TH 9 同理:.AT/HT2.又VAT=AT2, :.ATHT2是菱形.A 2AN = AH.又I AM 丄T.TAT,丄 M7；, AT；? = AN AM (16、2 2 (16)15丿+>, =It)設(shè)點H坐標(biāo)為 y),點M坐標(biāo)為(5, b),則點N坐標(biāo)為(抻,將坐標(biāo)代入A72b y=AN AM ,再由一=丄，得5 x4在AB上取點K,使AK=-AB,所求軌跡是以K為圓心

19、，AK為半徑的圓.【點評】本題解法的可取之處在于嫻熟的運用了平幾知識，得出otht2是菱形后，依據(jù) 菱形對角線互相垂直得出直角三角形，利用直角三角形射影沱理= ON-OM 得出結(jié) 論.整個解法'平幾味”甚濃，扣“形”不放，堪稱數(shù)形結(jié)合的典范，事半功倍.四、巧用投影優(yōu)化計算髙考的解析幾何題，似曾相見曾相識，看似平淡需真功。很多時候，解析幾何綜合題 的復(fù)雜性讓許多學(xué)生望而卻步，成為學(xué)生髙考成敗的關(guān)鍵。單純地依賴代數(shù)方法解決幾何 問題，不光導(dǎo)致運算十分復(fù)雜，也有可能導(dǎo)致思路無法展開，能不能有效避開一些繁難計 算，有時關(guān)注試題中的幾何特征是解決解析幾何問題的關(guān)鍵.今天我們帶領(lǐng)大家探討是平而上兩

20、點間距離的轉(zhuǎn)化問題，平而上兩點間距離公式是先 求平方和再開方，運算十分雜，但利用一條直線上兩線段長度比值與它們在同一坐標(biāo)軸上 的投影比值相等性質(zhì)，可將苴轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點間距離，將二維運算簡化為一維運算，能夠化繁為簡，打開“柳暗花明又一村”的新局而.【例題】在平而直角坐標(biāo)xOy中，點A（-1J）與點3關(guān)于原點。對稱，P是動點.且直線AP與的斜率之積為一丄3（I ）求動點P的軌跡方程（疋+3）,2 =4 （XH±l）:（II）設(shè)直線AP和分別與直線x = 3交于點M、N , 問是否存在點P,使得如與zXPMN的面積相等?若存 在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【過程分析】試題中是兩

21、條動弦與橢圓相交，不再是一條直線與橢圓相交的位置關(guān)系，避 開了常規(guī)的聯(lián)立方程模式套路.試題中涉及A . B、P、M、N五個點，而且點M、N是由點P生成的，所以先要通過設(shè)點P（x（pyo）坐標(biāo)為參變量，然后計算點M、N的坐標(biāo)，再利用五個點坐標(biāo)分別表示APAB與APMN的而積，將它們用引入?yún)⒆兞勘硎荆?利用它們相等的關(guān)系，進而求出P的坐標(biāo).【解析】思路一：計算43長與點P到A3的距離，P到A/N的距離，分別計算與 APA/N兩個而積，思路雖自然，運算有一龍困難.依題意:設(shè)P（心兒）、M（3,加）、N（3,珈） 則直線 AP 方程：，一1 =川二1（/+1）,直線 3P 方程：y + = -L（x-

22、l）A） +1不）一 1分別令x = 3,得加=4'2_冷_3,= Y3 （多個字母參數(shù)的運算是學(xué)生死兀+1仏一1穴，這種計算比較復(fù)雜，學(xué)生在心理上就已經(jīng)發(fā)抖、害怕）于是S沁N = -1 yjW -加I（3-兀）=I也+賀（3_衛(wèi)-（M、N點坐標(biāo)復(fù)雜導(dǎo)致三角形2I xj -11面積代數(shù)轉(zhuǎn)化有困難）又直線A3的方程為x + y = O,且P（%兒）到直線A3的距離=罕丄,y/2且IABI=2>/2,所以SSPAli=ABdX（） + y02由題設(shè)條件他=Sw 得1無+九 屮）+曽：嚴(yán)又1心+兒1工0,所以需一1 = （3-兀）2,得x0 =-代入橢圓方程，得兒=±牛，故存

23、在點（律,土乎），使得APAB與2MN的而積相等.【評析】解析幾何的代數(shù)特征經(jīng)常體現(xiàn)在“設(shè)而不求”技巧上，上述解法中困難是計算 M . N點坐標(biāo).是不是一泄要求出M、N點坐標(biāo)呢?這就讓我們進一步思考，三角形而 積一定要表示成“底乘以髙”的形式么？思路二：我們發(fā)現(xiàn)要求的兩個三角形有共同的頂角，利用S = -sin這個三角形而積 2公式更容易表示PAB與APMN的而積并可回避M. N點坐標(biāo)計算.解決問題需要理論支撐：在解析幾何中很少直接用平而上兩點間距離公式計算距離， 多采用同一條直線上兩線段長度比值化歸轉(zhuǎn)化為兩線段在數(shù)軸上投影的線段比值，回避距 離公式中的先平方再開方運算，將平而上二維的運算化歸

24、到數(shù)軸上一維的運算，極大地簡 化計算.而是利用這四條線段在坐標(biāo)軸上的投影也成相應(yīng)比例關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，如此二維的平而兩點距離運算轉(zhuǎn)化為一維的數(shù)軸上兩點距離運算，使運算簡潔明了，正確率必然大大提髙）即出=土衛(wèi)，化簡得需_1=（3-心）2.得X（）=-（后而同解法一）.13-勺1 I 心-11°3【評析】共同的頂角兩三角形而積關(guān)系，利用S丄宓in0這個三角形而積是關(guān)鍵，如果把 2與APMN的而積關(guān)系調(diào)整成比例關(guān)系，也同樣適用：幾何分析是“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，是特殊性方法，是“數(shù)形結(jié)合”思想應(yīng)用，用好 它的前提是掌握好基本幾何圖形（三角形、四邊形、圓等）的幾何性質(zhì)及基本幾何關(guān)系 （平行.垂直、相交、相切等）應(yīng)用主要體現(xiàn)在用比較簡潔的“形”的性質(zhì)去轉(zhuǎn)化 “數(shù)”的運算和推理論證，最后又反饋到“形”的問題完美解決.通過本節(jié)微專題學(xué)習(xí)，幾何分析實現(xiàn)了解析幾何問題巧算，提示我們在求解解析幾何 問題時，不能僅僅關(guān)注代數(shù)方程和方程組的