貴州省貴陽市普通高中2015屆高三8月摸底考試數(shù)學(xué)理試題

1、貴陽市普通高中2015屆高三年級8月摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)【試卷綜析】總體上看，整份試卷的閱讀量、運算量和思維量都比較大，難度適中，區(qū)分度明顯?？陀^地說試題的設(shè)計、考查的要求和復(fù)習(xí)的導(dǎo)向都比較好，對高中數(shù)學(xué)知識、方法和思想的整體把握，綜合訓(xùn)練使得相當(dāng)一部學(xué)生的數(shù)學(xué)教與學(xué)的成效得到應(yīng)有的體現(xiàn)，對教師和學(xué)生的教與學(xué)的積極性有一定的提高.使學(xué)生不僅學(xué)好概念、定理、法則等內(nèi)容，而且能領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，并通過不斷積累，逐漸內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，并自覺地應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決的過程之中，不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效益.一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.【

2、題文】1.復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則z的虛部是A.2i B.-2i C.2 D.-2【知識點】復(fù)數(shù)的概念.L4【答案解析】D 解析：解：根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知虛數(shù)的虛部為-2，所以D選項正確.【思路點撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念直接求出結(jié)果.【題文】2、若集合，則集合A、 B、 C、 D、R【知識點】函數(shù)的定義域；集合.A1,B1【答案解析】C 解析：解：由題意可知，所以C選項正確. 【思路點撥】先根據(jù)集合的概念求出集合中元素的范圍，再求出交集.【題文】3已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時的圖像如圖所示，則 A.-3 B.-2 C.-1 D.2【知識點】奇函數(shù)的性質(zhì).B4【答案解析】D 解析：解：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可

3、知，所以正確選項為D. 【思路點撥】根據(jù)奇函數(shù)的定義可直接求出結(jié)果.【題文】4、在中，角A、B、C的對邊分別為a,b,c,則等于A、 B、 C、 D、【知識點】正弦定理，解三角形.C8【答案解析】B 解析：解：根據(jù)正弦定理可得 【思路點撥】根據(jù)正弦定理可求出角B的正弦值，再根據(jù)邊的關(guān)系可求出角的大小.【題文】5下列判斷錯誤的是 A. 是的充分不必要條件 B.命題的否定是 C.命題“若，則tan=1”的逆否命題是“若則” D.若為假命題，則均為假命題【知識點】充要條件；命題的真假.A2【答案解析】D 解析：解：因為若成立，只需p與q中有一個假命題，即為假命題，所以D選項的判斷是錯誤的，其它選項都

4、正確.【思路點撥】根據(jù)命題的邏輯關(guān)系直接求解判定即可.【題文】6某程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是 A. B. C. D. 【知識點】程序框圖；函數(shù)性質(zhì).B4,L1【答案解析】B 解析：解：由題可知能輸出的函數(shù)是偶函數(shù)且存在零點，所以只有正確，是偶函數(shù)但不存在零點，所以A不正確， 不是偶函數(shù)也不存在零點，所以C不正確，不是偶函數(shù)也不存在零點，所以D不正解，綜合可知只有B正確.【思路點撥】本題根據(jù)程序框圖可推出函數(shù)為偶函數(shù)且存在零點，然后找出正確選項.【題文】7、已知，且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是A、 B、 4 C、 D、2【知識點】線性規(guī)劃.E5【答案解析】D

5、 解析：解：由題意可得，B（1，1）a1，不等式組表示的 平面區(qū)域如圖所示的ABC由z=2x+y可得y=-2x+z，則z表示直線y=-2x+z在y軸上的截距，截距越大，z越大作直線L：y=-2x，把直線向可行域平移，當(dāng)直線經(jīng)過C時z最小，當(dāng)直線經(jīng)過點B時，z最大由可得C（a，a），此時Z=3a由可得B（1，1），此時z=33=4×3aa故答案：【思路點撥】根據(jù)題意作出圖形，可找出最值，再根據(jù)最值之間的關(guān)系求出a的值.【題文】8設(shè)滿足約束條件，則的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.6 【知識點】線性規(guī)劃.E5【答案解析】C 解析：解：由題意可知目標(biāo)函數(shù)Z，在點取得最大值，代入可得，

6、所以C選項正確. 【思路點撥】由題意求出最大值點，代入目標(biāo)函數(shù)求出最大值.【題文】9、現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)有A、12 B、6 C、 8 D、16【知識點】排列組合.J2【答案解析】D 解析：解：若第一門安排在開頭或結(jié)尾，則第二門有3種安排方法，這時，共有種方法若第一門安排在中間的3天中，則第二門有2種安排方法，這時，共有3×2=6種方法綜上可得，所有的不同的考試安排方案種數(shù)有 6+6=12種，故選C【思路點撥】若第一門安排在開頭或結(jié)尾，則第二門有3種安排方法若第一門安排在中間的3天中，則第二門有

7、2種安排方法，根據(jù)分步計數(shù)原理分別求出安排方案種數(shù)，相加即得所求【題文】10、函數(shù)的圖像如圖所示，為了得到的圖像，則只要將函數(shù)的圖像A、向右平移個單位B、向右平移個單位C、向左平移個單位D、向左平移個單位【知識點】三角函數(shù)的圖像.C3【答案解析】D 解析：解：由圖知，為了得到的圖像，則只要將的圖像向左平移個單位長度.所以正確選項為C 【思路點撥】根據(jù)三角函數(shù)的圖像求出三角函數(shù)，再由三角圖像的移動求出最后結(jié)果.【題文】11、直線L過拋物線的焦點F且與C相交于A、B兩點，且AB的中點M的坐標(biāo)為，則拋物線C的方程為A、 B、 C、 D、【知識點】直線與拋物線.H8【答案解析】B 解析：解：由題可得直

8、線方程為與拋物線方程聯(lián)立可得，所以拋物線方程為【思路點撥】根據(jù)所給條件列出方程，利用條件求出p的值.【題文】12、設(shè)函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，若直線與函數(shù)的圖像恰有三個不同的交點，則k的取值范圍是A、 B、 C、 D、【知識點】新定義問題.B10【答案解析】D 解析：解：函數(shù)，函數(shù)的圖象如下圖所示： y=kx+k=k（x+1），故函數(shù)圖象一定過（-1，0）點若f（x）=kx+k有三個不同的根，則y=kx+k與y=f（x）的圖象有三個交點當(dāng)y=kx+k過（2，1）點時，當(dāng)y=kx+k過（3，1）點時，故f（x）=kx+k有三個不同的根，則實數(shù)k的取值范圍是 故選D【思路點撥】根據(jù)所給

9、函數(shù)與函數(shù)的定義，作出圖像可求出正確結(jié)果.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.【題文】13、設(shè)，則的值 .【知識點】二倍角公式.C6【答案解析】 解析：解：由題可知 【思路點撥】根據(jù)正切的二倍角公式直接可求出結(jié)果.【題文】14、的展開式中，的系數(shù)等于40，則等于 .【知識點】二項式定理.J3【答案解析】1 解析：解：因為展開式中的項為【思路點撥】根據(jù)題意寫出特定項，直接求出a的值.【題文】15、某幾何體的三視圖如右圖（其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓），則該幾何體的體積為 【知識點】三視圖.G2【答案解析】 解析：解：由三視圖知：幾何體是一半圓柱與長方體的組合體，長方體的長、寬、高分別為5、4、4

10、；半圓柱的高為5，底面半徑為2，幾何體的底面積為： 底面周長為：4×3+×2=12+2，幾何體的表面積S=2×（16+2）+5×（12+2）=92+14幾何體的體積V=5×（16+2）=80+10 【思路點撥】根據(jù)題意求出幾何體的數(shù)值，由于是組合體所以要分開計算.【題文】16、邊長為2的正方形ABCD，其內(nèi)切圓與邊BC切于點E、F為內(nèi)切圓上任意一點，則取值范圍為 【知識點】向量;線性規(guī)劃.F3,E5【答案解析】D 解析：解：以正方形ABCD的中心為原點如圖建立坐標(biāo)系，所以，設(shè)F點的坐標(biāo)為，按線性規(guī)劃可知，當(dāng)直線與圓相切時，有最大值與最小值，再由

11、點的直線的距離公式可求出Z的最值，所以最大值為，最小值為.【思路點撥】把向量問題轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃問題是解題的關(guān)鍵.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.【題文】17（本小題滿分12分）數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是等差數(shù)列，且.(I)求數(shù)列的通項公式；(II)設(shè)，數(shù)列的前n項和，求證：.【知識點】數(shù)列的通項公式；特殊數(shù)列求和.D1,D4【答案解析】解析： 解：(I)設(shè)數(shù)列的公差為d,又因為(II) 【思路點撥】根據(jù)已知條件即可求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項求和法可證明第二問的結(jié)果.【題文】18、如圖，在直三棱柱中，分別是的中點.(I)證明：；(II)求二面角的余弦值【知識點】直線與平面的

12、位置關(guān)系；二面角.G3,G4【答案解析】解析：(I)證明：如圖，E是的中點，取為BC的中點G，連接EG、AG、ED，在中，四邊形ADEF為平行四邊形，又所以(II)解：如圖，以B為原點，BC，BA，,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則直三棱柱，如圖，連接BD，在，即，BD是CD在平面內(nèi)的射影，所以二面角的余弦值為【思路點撥】根據(jù)已知條件可判定直線與平面平行，再建立空間坐標(biāo)系求出二面角的余弦值.【題文】19（本小題滿分12分）交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)T.其范圍為0，10,分別有五個級別：T暢通；基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶?在晚

13、高峰時段，從貴陽市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示. (I)在這20個路段中，輕度擁堵、中度擁堵的路段各有多少個？(II)從這20個路段中隨機抽出3個路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望.【知識點】直方圖；離散形隨機變量的分布列及期望.K6,K8【答案解析】解析：(I)由直方圖得：輕度擁堵的路段個數(shù)是個，中度擁堵的路段個數(shù)是(II)X的可能取值為0，1，2，3，所以X的分布列為【思路點撥】由直方圖可找出各種情況數(shù)據(jù)，再根據(jù)條件求出分布列與期望.【題文】20（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓的離心率

14、為，過橢圓由焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB斜率為0時，弦AB長4.(1) 求橢圓的方程；(2) 若.求直線AB的方程.【知識點】直線方程；橢圓方程.H1,H5【答案解析】 解析：（1）由題意知，又，解得：，所以橢圓方程為：.-6分（2）當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，由題意知當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),則直線CD的方程為.將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得，則，所以.同理，.所以=解得，所以直線AB方程為x-y-1=0或x+y-1=0.-12分【思路點撥】根據(jù)橢圓的幾何量可得到橢圓方程，再依據(jù)題目中的條件求出適合的直線方程.

15、【題文】21、已知函數(shù)在處的切線斜率為2.(I)求的最小值；(II)設(shè)是函數(shù)圖像上的兩點，直線AB的斜率為k，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若存在，使，求證：【知識點】導(dǎo)數(shù)與最值.B12【答案解析】解析：由由在上是減函數(shù)，從而 【思路點撥】由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可求出最小值，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一天計分.做答是用2B鉛筆 在答題紙上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑.【題文】22（本小題滿分10分）如圖，已知AP是圓O的切線，P為切點，AC是圓O的割線，與圓O交于B,C兩點，圓心O在的內(nèi)部，點M是BC中點.（1） 證明：A,P,O,M四點公園共圓；（2）

16、求的大小.【知識點】幾何證明選講. N1【答案解析】(1)略；（2）. 解析：（1）證明：連接OP,OM.因為AP與圓O相切于點P,所以.因為M是圓O的弦BC的中點，所以.于是由圓心O在的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A,P,O,M四點共圓. -5分（2） 由（1）得A,P,O,M四點共圓，所以.由（1）得,由圓心O在的內(nèi)部，可知,所以. -10分【思路點撥】（1）根據(jù)對角互補的四邊形由外接圓，證明A,P,O,M四點共圓；（2）由同弧所對圓周角相等得.又,由圓心O在的內(nèi)部，可知,所以.【題文】23（本小題滿分10分）已知切線C的極坐標(biāo)方程是，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直

17、角坐標(biāo)系，直線L的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.(1) 寫出直線L與曲線C的直角坐標(biāo)系下的方程；(2) 設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換，得到曲線，判斷L與切線交點的個數(shù).【知識點】極坐標(biāo)與參數(shù)方程. N3【答案解析】(1) 直線L的直角坐標(biāo)方程為，曲線C的直角坐標(biāo)方程為；（2）兩個 .解析：（1）消去參數(shù)t得直線L的直角坐標(biāo)方程為:,由公式得曲線C的直角坐標(biāo)方程為；-5分(2)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線的方程為，由于直線L恒過點，點在橢圓內(nèi)部，所以直線L與橢圓相交，故直線與橢圓有兩個交點.-10分【思路點撥】(1)參數(shù)方程消去參數(shù)得普通方程，利用公式完成極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化.(2)先求得曲線的方程，再由直線L所過的點在曲線內(nèi)，得直線與曲線有兩個交點.【題文】24（本小題滿分10分）設(shè)函數(shù). （1）當(dāng)a=2時，解不等式；（2）若的解集為，求證：m+2n4.【知識點】絕對值不等式的解法；不等式的證明方法. N4【答案解析】（1）不等式的解集為；（2）略. 解析：（1）當(dāng)a=2時，不等式為，因為方程的解為