炎德英才大聯(lián)考長(zhǎng)沙一中2015屆高三月考試卷(二)理科數(shù)學(xué)

1、炎德英才大聯(lián)考長(zhǎng)沙一中 2015屆高三月考試卷(二數(shù)學(xué)(理科一、選擇題 (本大題共 10小題,每小題 5分,共 5分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1、已知集合 M =x y =, N =(22log 2x y x x=-,則 MN =( A A 、 11,32 B 、 11, , 32-+ C 、 10, 2 D 、 (1,0, 2-+2、命題:“ x R ,使 2410x x +”的否定是( DA 、 x R , 2410x x +C 、 x R , 2410x x + D 、 x R , 2410x x +3、若實(shí)數(shù) , x y 滿足:1000x y x y x

2、-+ +,則 2z x y =+的最大值為( DA 、 0B 、 1C D 、 2 【解析】如圖,畫出滿足條件的可行域,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的 直線過點(diǎn) (0,1A 時(shí), 2max z =,則 2z x y =+的最大值為 2。(或者通過比較可行域各頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值的大小可得答案 2。 4、已知向量 (1,1cos a =-, 11cos , 2b =+ ,且 a b ,則銳角 =( BA 、 30B 、 45 C 、 60 D 、 75【解析】 a b , (11cos 1cos 2-+=,即 21sin 2=, 又 為銳角,所以 sin 2 =, 45=。故選 B 。 5、閱讀如圖所示的

3、程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出的結(jié)果為( CA 、 14 B 、 20 C 、 30 D 、 55 【解析】根據(jù)框圖,可得 2222123430S =+=。故選 C 。 6、已知 0a b B 、 22log log 2a b +-C 、 (2log 0b a - D 、 2log 1b a a b + 【解析】根據(jù) 0a b ,且 1a b +=,可得 1012a b ,所以 2log 10a -2log 1b a a b + , D 錯(cuò); (21111244ab a a a =-=-+ (222log log log 2a b ab +=,若 1x 0, 4,總 20, 4x ,使得 (1

4、2g x f x =成立,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為( B A 、 1,2 B 、 41, 3 C 、 3, 22D 、 24, 33【解析】因?yàn)?( 2sin 2f x x x =+2sin 23x =+ ,當(dāng) 0, 4x 時(shí), (1,2f x ;而當(dāng) 0, 4x 時(shí), 2, 663x -, 1cos 2,162x - ,又 0m , 所以 (cos 2236g x m x m =-+ 33,32m m -;要使條件滿足,必須且只需使 33,32m m -1,2,即 32312m m-,解得 413m 。 二、填空題(本大題共 5小題,每小題 5分,共 25分。把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫

5、線上。 11、已知復(fù)數(shù) z 滿足 (12z i -=(其中 i 為虛數(shù)單位 ,則 z ; 1i +12、在 (2611ax x -+的展開式中, 3x 項(xiàng)的系數(shù)為 16-,則實(shí)數(shù) a 的值為 2或 313、 向平面區(qū)域 (, ,0144x y x y =-內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn), 則該點(diǎn)落在曲線 cos 2y x =下方的概率 為 ;214、已知 O 是 ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足 2OB OC OB OC OA -=+-,若 2 AB =, AC = 則 ABC 的外接圓的面積為 ;74 15、設(shè) (f x 是 R 上的偶函數(shù),且當(dāng) 0x 時(shí), (1222xf x x =-;函數(shù)(2ln 1g

6、x x x=+-。 則:(1函數(shù) (g x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ; 2(2若實(shí)數(shù) a 是函數(shù) (g x 的正零點(diǎn),則 (2f -與 (f a 的大小關(guān)系為 。 (f a (2f - 【解析】 (1作圖可知函數(shù) (g x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2個(gè); 其一在 (1,0-上,另一在 (1,2上( (12ln 22ln310g g =-時(shí), (2ln 210f x - , 所以函數(shù) (f x 在 (1, +上單調(diào)遞增,從而 (2f a f 成立。又函數(shù)為偶函數(shù),故 (f a ,求 m 的最小值。【解析】 ( 由已知,當(dāng) 2n 時(shí), (311n n n n n S S S S a -+-=, 即 (31n n n

7、n S S a a -+=, 21n n n S S a -+=, 211n n n S S a +=, 兩式相減得 2211n n n n a a a a +=-, 于是 11n n a a +-=(2n ; 又由 11a =, 223212S S a -=, 可得 22a =,所以 211a a -=; 因此,數(shù)列 n a 是以 1為首項(xiàng), 1為公差的等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式為 n a n =。 6分 ( 數(shù)列 m t 中, k a (含 k a 項(xiàng)前的所有項(xiàng)之和為(112121212k k k k k k +-=+-232k k-=, 當(dāng) 36k =時(shí),其和為23363619262-=201

8、4; 又因?yàn)?201419268836272-=,故恰好在 37k =時(shí)開始滿足 2014m T 。 (min 371236703m =+=。 12分19、 (本小題滿分 13分 今年暑假期間有一個(gè)自駕游車隊(duì),組織車友前往青海游玩。該車隊(duì)是由 31輛車身長(zhǎng) 都約為 5m (以 5m 計(jì)算的同一車型組成的,行程中經(jīng)過一個(gè)長(zhǎng)為 2725m 的隧道(通過該隧道的速度不能超 過 20m /s ,勻速通過該隧道,設(shè)車隊(duì)速度為 x m /s ,根據(jù)安全和車流的需要,當(dāng) 012x 時(shí),相鄰兩車之間保 持 20m 的距離,當(dāng) 1220x 時(shí),相鄰兩車之間保持 21163x x +m 的距離。自第 1輛車車頭進(jìn)

9、入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時(shí)間為 y (s 。( 將 y 表示成 x 的函數(shù); ( 求該車隊(duì)通過隧道時(shí)間 y 的最小值及此時(shí)車隊(duì)的速度。 【解析】 ( 當(dāng) 012x 時(shí), (2725531203113480y x x +-=; 2分當(dāng) 1220x 時(shí), (22112725531311510288063x x x x y x x +- +=2880510x x=+; 4分所求函數(shù)解析式為 (3480, 0122880510, 1220x xy x x x =+。 6分( 當(dāng) 012x 時(shí),由于函數(shù)單調(diào)遞減,所以在 12x =m /s 時(shí), min 349029012y =(s ; 8分

10、 當(dāng) 1220x 時(shí), 288051010250y x x =+=(s , 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 28805x x=即 24x =時(shí)成立。但 (2412,20,且當(dāng) 1220x 時(shí), 22228805288050x y x x-=-=,所以 min 254y =(s 。答:當(dāng)車隊(duì)速度為 20m /s 時(shí),車隊(duì)通過隧道時(shí)間最小,最小時(shí)間為 254s 。 13分 20、 (本小題滿分 13分 如圖,已知拋物線 1C :22y px =(0p ,圓 2C 與 y 軸相切,其圓心是拋物線的 焦點(diǎn),點(diǎn) M 是拋物線的準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn),點(diǎn) N 是圓 2C 上的任意一點(diǎn),且線段 MN 長(zhǎng)度的最大值為 3,直

11、線 l 過拋物線 1C 的焦點(diǎn),與 1C 交于 A 、 D 兩點(diǎn),與 2C 交于 B 、 C 兩點(diǎn)。 ( 求 1C與 2C 的方程; ( 是否存在直線 l ,使得 OA OB OC OD k k k k +=(其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,且 , , AB BC CD 依次成 等差數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的直線 l ;若不存在,請(qǐng)說明理由。 【解析】 ( 當(dāng)點(diǎn) N 為圓 2C 與 x 軸的另一交點(diǎn)時(shí), MN 的長(zhǎng)度最大,為 32p ,所以 3322p p =,所以拋物線 1C 的方程為 24y x =;圓 2C 的方程為 (2211x y -+=。 4分( 假設(shè)存在滿足條件的直線 l ,并設(shè)其

12、方程為 1my x =-,(11, A x y , (22, D x y , (33, B x y , (44, C x y ;由 214my x y x =-=2440y my -=, 12124, 4y y m y y +=-;(相應(yīng)的 (22212121214416y y y y x x =,所以 (1212121212121212 OA OD y y y y y y y x x y k k x x x x x x +=+=4m =-; 6分 由 (22111my x x y =-+=可解得 1x y =或 1x y =; 于是 1B +, 1C , 2O B O C k k m + =

13、-; 8分 因此,由 OA OB OCOD k k k k +=6m -=, 2m =-; 此時(shí),直線 l 的方程為 12y x -= -,結(jié)合( 可求得 6AD =; 而 2BC =,所以 3A B =。又 , , AB BC CD 依次成等差數(shù)列 2AB CD BC +=3AD AB BC CD BC =+=。故存在直線滿足要求，且方程為 2x + y - 2 = 0 。 13 分 2 -x 21、 （本小題滿分 13 分）已知函數(shù) f ( x ) = 。 x + (1 - t ) x + 1 e （ t R ， e 是自然對(duì)數(shù)的底） （ ）若對(duì)于任意 x ( 0,1) ，曲線 y = f

14、 ( x ) 恒在直線 y = x 上方，求實(shí)數(shù) t 的最大值； （）是否存在實(shí)數(shù) a, b, c 0,1 ，使得 f ( a ) + f (b ) x x ( 0,1) 時(shí)，1 - t e x - x - 。 x x e 1 1 x 設(shè) g ( x ) = e - x - ， x ( 0,1 ，則 g ( x ) = e x - 1 + 2 0 對(duì) x ( 0,1 恒成立， x x 1 x 所以 g ( x ) = e - x - 在 ( 0,1 上單調(diào)遞增，于是 g ( x )max = g (1) = e - 2 ； x 從而，由（*）式得 1 - t e - 2 ，即 t 3 - e

15、。 所以， t 的最大值為 3 - e 。 6 分 （）假設(shè)存在 a, b, c 0,1 ，使得 f ( a ) + f (b ) f ( c ) 成立，則問題等價(jià)于 2 f ( x )min f ( x )max 。 （*） x ( 0,1) 時(shí)， - ( x - t )( x - 1) 。 ex 當(dāng) t 1 時(shí)， f ( x) 0 ， f ( x ) 在 0,1 上單調(diào)遞減，所以 2 f (1) f ( 0) ， 由（ ）知， f ( x) = 3-t e e e 3 - 。由于 3 - 1 ，所以 t 3 - 符合題意； e 2 2 2 當(dāng) t 0 時(shí)， f ( x) 0 ， f ( x ) 在 0,1 上單調(diào)遞增，所以 2 f ( 0) f (1) ， 即 2 3-t e 0 ，得 t 3 - 2e 。 3 - 2 ，所以 t 3 - 2e 也符合題意； e 當(dāng) 0 t 1 時(shí)，在 x 0, t ) 上， f ( x) 0 ， f ( x ) 在 0, t ) 上單調(diào)遞減； 即 2 1 0 ， f ( x ) 在 (t,1