【新教材教案】3.1.1 函數(shù)的概念 教學(xué)設(shè)計(jì)（2）-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

1、【新教材】3.1.1 函數(shù)的概念（人教A版）函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的比重，因而作為函數(shù)的第一節(jié)內(nèi)容，主要從三個實(shí)例出發(fā)，引出函數(shù)的概念.從而就函數(shù)概念的分析判斷函數(shù)，求定義域和函數(shù)值，再結(jié)合三要素判斷函數(shù)相等.課程目標(biāo)1.理解函數(shù)的定義、函數(shù)的定義域、值域及對應(yīng)法則。2.掌握判定函數(shù)和函數(shù)相等的方法。3.學(xué)會求函數(shù)的定義域與函數(shù)值。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：通過教材中四個實(shí)例總結(jié)函數(shù)定義；2.邏輯推理：相等函數(shù)的判斷；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求函數(shù)定義域和求函數(shù)值；4.數(shù)據(jù)分析：運(yùn)用分離常數(shù)法和換元法求值域；5.數(shù)學(xué)建模：通過從實(shí)際問題中抽象概括出函數(shù)概念的活動，培養(yǎng)學(xué)生從“特殊到一般”的分析問題的

2、能力，提高學(xué)生的抽象概括能力。重點(diǎn)：函數(shù)的概念，函數(shù)的三要素。難點(diǎn)：函數(shù)概念及符號y=f(x)的理解。教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。一、 情景導(dǎo)入初中已經(jīng)學(xué)過：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等，那么在初中函數(shù)是怎樣定義的？高中又是怎樣定義？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、 預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本60-65頁，思考并完成以下問題1. 在集合的觀點(diǎn)下函數(shù)是如何定義？函數(shù)有哪三要素？2. 如何用區(qū)間表示數(shù)集？3. 相等函數(shù)是指什么樣的函數(shù)？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題

3、。三、 新知探究1函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任何一個屬x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)xA.(2)函數(shù)的定義域與值域：函數(shù)yf(x)中，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合fx|xA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集2區(qū)間概念(a，b為實(shí)數(shù)，且ab)3其它區(qū)間的表示四、典例分析、舉一反三題型一 函數(shù)的定義例1 下列選項(xiàng)中(橫軸表示x軸,縱軸表示y軸),表示y是x的函數(shù)的是()【答案】D解題技巧

4、：（判斷是否為函數(shù)）1.（圖形判斷）y是x的函數(shù),則函數(shù)圖象與垂直于x軸的直線至多有一個交點(diǎn).若有兩個或兩個以上的交點(diǎn),則不符合函數(shù)的定義,所對應(yīng)圖象不是函數(shù)圖象.2.（對應(yīng)關(guān)系判斷）對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關(guān)系；“一對多”的不是函數(shù)關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練一1.集合A=x|0x4,B=y|0y2,下列不表示從A到B的函數(shù)的是()【答案】C題型二 相等函數(shù)例2試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù):(1)f(x)=(x)2,g(x)=x2;(2)y=x0與y=1(x0);(3)y=2x+1(xZ)與y=2x-1(xZ).【答案】見解析 【解析】:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x)2的定義域?yàn)閤|

5、x0,而g(x)=x2的定義域?yàn)閤|xR,它們的定義域不同,所以它們不表示同一函數(shù).(2)因?yàn)閥=x0要求x0,且當(dāng)x0時,y=x0=1,故y=x0與y=1(x0)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同,所以它們表示同一函數(shù).(3)y=2x+1(xZ)與y=2x-1(xZ)兩個函數(shù)的定義域相同,但對應(yīng)關(guān)系不相同,故它們不表示同一函數(shù).解題技巧：(判斷函數(shù)相等的方法)定義域優(yōu)先原則1.先看定義域，若定義域不同，則函數(shù)不相等.2.若定義域相同，則化簡函數(shù)解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相等.跟蹤訓(xùn)練二1.試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù): f(x)=x2-xx,g(x)=x-1;f(x)=xx,g(x)=xx;f(x)

6、=(x+3)2,g(x)=x+3;f(x)=x+1,g(x)=x+x0;汽車勻速運(yùn)動時,路程與時間的函數(shù)關(guān)系f(t)=80t(0t5)與一次函數(shù)g(x)=80x(0x5).其中表示相等函數(shù)的是(填上所有正確的序號). 【答案】【解析】f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù);f(x)與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù);f(x)=|x+3|,與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù);f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù);f(x)與g(x)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系皆相同,是同一函數(shù).題型三 區(qū)間例3 已知集合A=x|5-x0,集合B=x|x|-30,則AB用區(qū)間可表示為.

7、60;【答案】(-,-3)(-3,3)(3,5【解析】A=x|5-x0,A=x|x5.B=x|x|-30,B=x|x±3.AB=x|x<-3或-3<x<3或3<x5,即AB=(-,-3)(-3,3)(3,5.解題技巧：（如何用區(qū)間表示集合）1.正確利用區(qū)間表示集合,要特別注意區(qū)間的端點(diǎn)值能否取到,即“小括號”和“中括號”的區(qū)別.2.用區(qū)間表示兩集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算時,應(yīng)先求出相應(yīng)集合,再用區(qū)間表示.跟蹤訓(xùn)練三1.集合x|0<x<1或2x11用區(qū)間表示為. 2. 若集合A=2a-1,a+2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為. 

8、【答案】(1)(0,1)2,11(2)(-,3)【解析】 (2)由區(qū)間的定義知,區(qū)間(a,b)(或a,b)成立的條件是a<b.A=2a-1,a+2,2a-1<a+2.a<3,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,3).題型四 求函數(shù)的定義域例4 求下列函數(shù)的定義域:(1)y=(x+2)0|x|-x;(2)f(x)=x2-1x-1-4-x.【答案】(1) (-,-2)(-2,0)(2) (-,1)(1,4【解析】(1)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足x+20,|x|-x0,即x-2,|x|x,解得x<0,且x-2.故原函數(shù)的定義域?yàn)?-,-2)(-2,0).(2)要使函數(shù)有意義,

9、自變量x的取值必須滿足4-x0,x-10,即x4,x1.故原函數(shù)的定義域?yàn)?-,1)(1,4.解題方法（求函數(shù)定義域的注意事項(xiàng)）(1)如果函數(shù)f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R;(2)如果函數(shù)f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)組成的集合;(3)如果函數(shù)f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)組成的集合;(4)如果函數(shù)f(x)是由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成的,那么函數(shù)的定義域是使各式子都有意義的自變量的取值集合(即求各式子自變量取值集合的交集).跟蹤訓(xùn)練四1.求函數(shù)y=2x+3-12-x+1x的定義域.2.已知函數(shù)f(

10、x)的定義域是-1,4,求函數(shù)f(2x+1)的定義域.【答案】(1) x-32x<2,且x0(2) -1,32【解析】(1)要使函數(shù)有意義,需2x+30,2-x>0,x0,解得-32x<2,且x0,所以函數(shù)y=2x+3-12-x+1x的定義域?yàn)閤-32x<2,且x0.(2)已知f(x)的定義域是-1,4,即-1x4.故對于f(2x+1)應(yīng)有-12x+14,-22x3,-1x32.函數(shù)f(2x+1)的定義域是-1,32.題型五 求函數(shù)值（域）例5 (1)已知f(x)11+x(xR，且x1)，g(x)x22(xR)，則f(2)_，f(g(2)_.(2)求下列函數(shù)的值域：yx

11、1； yx22x3，x0,3)；y3x-11+x； y2xx-1.【答案】（1） （2） R 2,6) y|yR且y3 【解析】(1)f (x)，f(2).又g (x)x22，g (2)2226，f ( g(2)f (6).(2)(觀察法)因?yàn)閤R，所以x1R，即函數(shù)值域是R.(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)?,6)(分離常數(shù)法)y3.0，y3，y的值域?yàn)閥|yR且y3(換元法)設(shè)t，則t0且xt21，所以y2(t21)t2 2，由t0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)?解題方法（求函數(shù)值（域)的方法）1.已知f(x)的表達(dá)

12、式時,只需用數(shù)a替換表達(dá)式中的所有x即得f(a)的值.2.求f(g(a)的值應(yīng)遵循由內(nèi)到外的原則.3. 求函數(shù)值域常用的4種方法 （1）觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到； （2）配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時，可利用配方法或二次函數(shù)圖像求其值域； （3）分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域； （4）換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.對于f（x）=ax+b+cx+d（其中a，b，c，d為常數(shù)，且a0）型的函數(shù)常用換元法.跟蹤訓(xùn)練五1.求下列函數(shù)的值域：(1)y 2x+1 1；(2)y1-x21+x2.【答案】(1) 1，)(2) (1,1【解析】(1)因?yàn)?，所以11，即所求函數(shù)的值域?yàn)?，)(2)因?yàn)閥1，又函數(shù)的定義域?yàn)镽