第9章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用2偏導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某一的某一鄰域內(nèi)有定義，鄰域內(nèi)有定義， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，存在，則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處處對(duì)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記為的偏導(dǎo)數(shù)，記為 9.2.1偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法9.2 9.2 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.同同理理可可定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處對(duì)對(duì)y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記記為

2、為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自自變變量量x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同同理理可可以以定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自自變變量量y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記記作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.例例 1 1 求求 223yxyxz 在在點(diǎn)點(diǎn))2, 1(處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解 x

3、z;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例 3 3 設(shè)設(shè)22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx 偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到

4、二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例 4 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程RTpV （R為常數(shù)） ，求證：為常數(shù)） ，求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xu 是是一一個(gè)個(gè)整整體體記記號(hào)號(hào)，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,

5、yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：、 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例例如如,函函數(shù)數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存

6、在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖 偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)),(00yxfx就就 是是 曲曲 面面 被被 平平 面面0yy 所所截截得得的的曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)0M處處的的切切線線xTM0對(duì)對(duì)x軸軸的的斜斜率率. 偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)),(00yxfy就就 是是 曲曲 面面 被被 平平 面面0 xx 所所截截得得 的的曲曲線線 在在點(diǎn)點(diǎn)0M處處的的切切 線線yTM0對(duì)對(duì)y軸軸 的的斜斜率率.幾何意義幾何意義: :曲線曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切

7、線與正向 軸軸所成的傾角是多少所成的傾角是多少? ? 4422yyxzx例例5 xz1x)4 ,2( 2),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).9.2.2高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)例例 5設(shè)設(shè)13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62

8、xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx,22xyzyxz 例例 6 6 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax ,22xyzyxz 定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個(gè)個(gè)二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xyz 2及及yxz 2在在區(qū)區(qū)域域 D D 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這兩兩個(gè)個(gè)二二階階混

9、混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必相相等等問題：?jiǎn)栴}：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 , 0, 0, 0,),(22222222yxyxyxyxxyyxf)0 , 0()0 , 0(yxxyff ?, 1)0 , 0( xyf. 1)0 , 0( yxf偏導(dǎo)

10、數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）（偏增量比的極限）混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）（相等的條件）小結(jié)小結(jié)若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點(diǎn)在 點(diǎn)),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,一一、 填填空空題題: :1 1、 設(shè)設(shè)yxztanln , ,則則 xz_ _ _ _

11、_ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè) xzyxezxy則則),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 設(shè)設(shè),zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 設(shè)設(shè),arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .

12、 練練 習(xí)習(xí) 題題 5 5、設(shè)、設(shè)zyxu)( , ,則則 yzu2_. .二、二、 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . . 三、三、 曲線曲線 4422yyxz, ,在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)(2,4,5)處的處的切線與正向切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少? ? 四、四、 設(shè)設(shè)xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和 五、設(shè)五、設(shè))ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . . 六、六、 驗(yàn)證驗(yàn)證: : 1 1、)11(yxez , ,滿足滿足zyzyxzx222 ； 2 2、22

13、2zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222. .七、設(shè)七、設(shè) 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;練習(xí)題答案練習(xí)題答案 2 2、zzyxyxzxu21)(1)(