微積分基本定理1

1、有朋自遠(yuǎn)方來，不亦樂乎有朋自遠(yuǎn)方來，不亦樂乎? ? 1.1.已知汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻已知汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t(t(單位：單位：h)h)的的速度為速度為v v(t)(t)t t2 22 (2 (單位：單位：km/h)km/h)，那么它在，那么它在0t10t1時(shí)段內(nèi)行駛的位移時(shí)段內(nèi)行駛的位移S(S(單位：單位：km)km)是多少？是多少？ 1.1.已知汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻已知汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t(t(單位：單位：h)h)的的速度為速度為v v(t)(t)t t2 22 (2 (單位：單位：km/h)km/h)，那么它在，那么它在0t10t1時(shí)段內(nèi)行駛的位移時(shí)段內(nèi)行駛的位

2、移S(S(單位：單位：km)km)是多少？是多少？解：解：（1）分割分割：在區(qū)間：在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)n小小區(qū)間：區(qū)間： 每個(gè)小區(qū)間的長度為每個(gè)小區(qū)間的長度為112110,1,iinnnnnnn 1tn （2）近似代替近似代替：在區(qū)間：在區(qū)間 上物體發(fā)生的位移近似為上物體發(fā)生的位移近似為1,iinn ( )ivtn（3）求和求和：在：在0,1上物體發(fā)生的位移近似為上物體發(fā)生的位移近似為2231111312() ()2)11111(1)(21)2(1)(2)266nnnnniiiiiiiSvtnnnnnn nnnnn （4）取

3、極限取極限：在：在0,1上物體發(fā)生的位移為上物體發(fā)生的位移為1115(1)(2)263limlimnnnSSnn211dxx 2.2.你你能能利利用用定定積積分分的的定定義義計(jì)計(jì)算算的的值值嗎嗎？ 1.1.已知汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻已知汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t(t(單位：單位：h)h)的速的速度為度為v(t)(t)t t2 22 (2 (單位：單位：km/h)km/h)，那么它在，那么它在0t10t1時(shí)時(shí)段內(nèi)行駛的位移段內(nèi)行駛的位移S(S(單位：單位：km)km)是多少？是多少？直接用定義計(jì)算比較麻煩！直接用定義計(jì)算比較麻煩！幾乎不可能用定義計(jì)算！幾乎不可能用定義計(jì)算！1205(2)3

4、Stdt = 一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 ，由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時(shí)刻由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時(shí)刻t的速度是的速度是)(tss )()(tstv設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段 內(nèi)的位移為內(nèi)的位移為S，你能分別用，你能分別用 表示表示S嗎？嗎？ba,( ), ( )vt st( )ss t ( )vv t ( )( )v ts t 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) S( )bav t dt 求求定定積積分分這段位移又可表示為這段位移又可表示為( )( )ss bs a ( )( )( ),bav t dts bs a 其其中中s s ( (t t) )= =

5、v v( (t t) ) 上式表明，速度函數(shù)在區(qū)間上式表明，速度函數(shù)在區(qū)間 a a，b b 上上的定積分等于位移函數(shù)的定積分等于位移函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 a a，b b 的兩端點(diǎn)處的函數(shù)值的兩端點(diǎn)處的函數(shù)值s(b)s(b)與與s(a)s(a)的差（即的差（即物體的位移）物體的位移）( )v t( )s t( )( )( )bav t dts bs a 其其中中s (t)=v(t)s (t)=v(t)上式是否具有一般性呢？上式是否具有一般性呢？微積分基本定理（牛頓微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）萊布尼茲公式）( )( )( )baf x dxF bF a 一一般般地地，如如果果f(x)f(x)是

6、是區(qū)區(qū)間間a,ba,b上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，并并且且F (x)=f(x)F (x)=f(x)，那那么么( )( ),Fxf x (1)(1)若若則則稱稱F(x)F(x)為為f(x)f(x)的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). .( )|( )( )( )babaf x dxFaFbFx即（2）微積分基本定理揭示了）微積分基本定理揭示了_和和_之間的內(nèi)之間的內(nèi) 在聯(lián)系，在聯(lián)系，導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)定積分定積分提供了提供了計(jì)算定積分計(jì)算定積分的一種有效方法的一種有效方法.幾乎不可能用定義計(jì)算！幾乎不可能用定義計(jì)算！211:dxx 例例1 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：2321111(1)(2)(2)dxxdxxx

7、 ( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a求出求出f(x)的原的原函數(shù)是關(guān)鍵函數(shù)是關(guān)鍵解解：（：（1）,1 1(lnx) =(lnx) =x x211dxx2 21 1=lnx| =ln2 -ln1=ln2.=lnx| =ln2 -ln1=ln2.2211(2)()2 ,()xxxx 3332211111(2)2()xdxxdxdxxx -求原函數(shù)求原函數(shù)-求原函數(shù)求原函數(shù)-代入公式代入公式-代入公式代入公式233111122|(91)(1)33xx 例例1 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：2321111(1)(2)(2)dxxdxxx 練習(xí)：計(jì)算下列定積分：練習(xí)：計(jì)算

8、下列定積分：2200(1)sin(2)sin(3)sinxdxxdxxdx 由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試用曲邊梯形由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.22sin( cos )( cos2 )( cos )2xdxx 2200sin( cos )( cos2 )( cos0)0 xdxx 00sin( cos )( cos )( cos0)2xdxx 析：析：( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a求出求出f(x)的原的原函數(shù)是關(guān)鍵函數(shù)是關(guān)鍵（1 1）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，

9、還可以是0 0；（2 2）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸上方時(shí)，定積分的值取正值，且軸上方時(shí)，定積分的值取正值，且等等于曲邊梯形的面積于曲邊梯形的面積；（3 3）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且等等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；（4 4）在區(qū)間）在區(qū)間a,ba,b上曲線與上曲線與x x軸所圍成的圖形的面積等于軸所圍成的圖形的面積等于x x軸軸上方的面積減去位于上方的面積減去位于x x軸下方的面積軸下方的面積0(1)sin2xdx 20(3)sin0 xdx 2(2)sin2xdx 我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：

10、計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：3322121(1)(2)sin 5xdxxdxx 21cos10(2)sin 52xxdxdx 11cos102211|sin10|22011220dxxdxxx （）- -（s si in n1 10 0 + +s si in n1 10 0 ）3332211211(1)(2)xdxxdxxx 析析：先化簡，再積分先化簡，再積分223 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：332121(1)(2)sin 5xdxxdxx 先化簡，再積分先化簡，再積分22101(3)()(4)sincosxdxxxdxx 223212111129(2)(2 )|36xdxxxxx

11、析析：（3 3）原原式式= =0011sin2(cos2 )|024xdxx （4 4）原原式式3204xdx 練練 習(xí)習(xí) ： 計(jì)計(jì) 算算 定定 積積 分分112x dx 例例計(jì)計(jì) 算算 定定 積積 分分101110()xdxx dxxdx 解解：20211011|22xx 11122 2232233320201123(4)|(4 )|333dxdxxxxx 析析 ： 原原 式式 = = （ 4 4- -x x）（ x x - -4 4）( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系推廣推廣微積分基本定理微積

12、分基本定理轉(zhuǎn)化與化歸轉(zhuǎn)化與化歸由具體到一般由具體到一般計(jì)算定積分計(jì)算定積分應(yīng)用應(yīng)用（求原函數(shù)）（求原函數(shù)）課本課本P55P55 習(xí)題習(xí)題1.6 1.6 A A組組 ： T1T1、T2(T2(必做題必做題) ) B B組組 ： T1T1、T2(T2(必做題必做題) ) T3( T3(選做題選做題) ) 你能計(jì)算出由曲線你能計(jì)算出由曲線 與與直線直線 所圍成圖形的面積嗎所圍成圖形的面積嗎? 1614121086425101520 xy我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：（1 1）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是0 0；（2 2）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸上

13、方時(shí)，定積分的值取正值，且等軸上方時(shí)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；于曲邊梯形的面積；（3 3）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且等軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；（4 4）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸上方的面積等于位于軸上方的面積等于位于x x軸下方的面積軸下方的面積時(shí)，定積分的值為時(shí)，定積分的值為0 0，且等于位于，且等于位于x x軸上方的曲邊梯形的面積減軸上方的曲邊梯形的面積減去位于去位于x x軸下方的曲邊梯形的面積軸下方的曲邊梯形的面積例例1 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：2321

14、111(1)(2)(2)dxxdxxx ( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a求出求出f(x)的原的原函數(shù)是關(guān)健函數(shù)是關(guān)健解解：（：（1）,1 1(lnx) =(lnx) =x x解解：（：（1）,1 1(lnx+ C) =(lnx+ C) =x x211dxx2 21 1=(lnx+ C)| =(ln2+ C)-(ln1+ C)=ln2.=(lnx+ C)| =(ln2+ C)-(ln1+ C)=ln2.-求原函數(shù)求原函數(shù)-代入公式代入公式211dxx2 21 1=lnx| =ln2 -ln1=ln2.=lnx| =ln2 -ln1=ln2.-代入公式代入公式例例2

15、 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：220123(1)sincos(2)xxxxdxdxx 11cos2sin2sincos ,42xxxx( (- -) ) = =001sincoscos 2|0.4xxdxx 解解：（：（1）1sin cossin2 ,2xxx（2）22332xxxxx 221323(23ln )22xxxxxxxx 2222112311(23 ln) |3 ln 2.22xxdxxxxx 例例2 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：220123(1)sincos(2)xxxxdxdxx 1222001(1)sin(2)()xdxxdxx 練習(xí)：計(jì)算下列定積分：練習(xí)：計(jì)算下列定

16、積分：4 53 例例3121,0,( )( ).1,0,xf xf x dxxx 設(shè)設(shè)求求練習(xí)：計(jì)算下列定積分練習(xí)：計(jì)算下列定積分12212(1)(2)4x dxx dx 101220( )(1)1f x dxxdxdx解解：bccabadxxfdxxfdxxf)()()(201201() |21xxx xO1y1-112 (求定積分問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)求原函數(shù)的問題的問題)例例1 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：2321111(1)(2)(2)dxxdxxx ( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a求出求出f(x)的原的原函數(shù)是關(guān)健函數(shù)是關(guān)健-求原函數(shù)

17、求原函數(shù)2211,xx （2 2）（x x + +） = =2 2x x- -32312111122(2)()|(9)(11).33xdxxxx 解解：（：（1）,1 1(lnx) =(lnx) =x x211dxx2 21 1=lnx| =ln2 -ln1=ln2.=lnx| =ln2 -ln1=ln2.-代入公式代入公式例例2 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：222123(1)(2)sin 5xxdxxdxx 22332xxxxx 解解：（1 1）221323(23ln )22xxxxxxxx 2222112311(23 ln) |3 ln 2.22xxdxxxxx 21cos10sin

18、52xxdxdx （2 2）11cos102211|sin10|220dxxdxxx 例例2 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：22101(1)()(2)sincosxdxxxdxx 練習(xí)：計(jì)算下列定積分：練習(xí)：計(jì)算下列定積分：222123(1)(2)sin 5xxdxxdxx 223212111129(2)(2 )|36xdxxxxx 析析：（1 1）原原式式= =0011sin2cos2 |024xdxx （2 2）原原式式練習(xí)：計(jì)算下列定積分練習(xí)：計(jì)算下列定積分3322|03(1)4(2)xxdxedx bccabadxxfdxxfdxxf)()()(112xxdx 例例計(jì)計(jì) 算算 定定 積積 分分（+ +2 2 ）111111xxxdxx dxdx 解解：（+ +2 2 ）2 2011101()xx dxxdxdx 2 220211101112|22ln 2xxx 11331222ln 22ln 2 2232233320201123(4)|()|333dxdxxxx 析析：（1 1）原原式式= = （4 4- -x x）（x x - -4 4）003222236030311()|()|12