第18講 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 判別估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)

1、第18講 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 判別估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)目的：理解參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的概念，掌握矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。了解無(wú)偏性、有效性及一致性等估計(jì)量?jī)?yōu)劣的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，了解樣本均值與樣本方差作為總體均值與總體方差估計(jì)量的無(wú)偏性和一致性。教學(xué)重點(diǎn)：參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。教學(xué)難點(diǎn)：參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的最大似然估計(jì)法。教學(xué)時(shí)數(shù)： 2學(xué)時(shí)。教學(xué)過(guò)程：第六章 參數(shù)估計(jì)§6.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)設(shè)總體服從某已知分布，如，等，但是其中的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)為未知，怎樣根據(jù)抽取的樣本估計(jì)未知參數(shù)的值，就是參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題。定義 設(shè)總體的分布中含有未知參數(shù)，從總體中抽取樣本，構(gòu)造某個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為參數(shù)的估計(jì)，則稱(chēng)為參數(shù)的

2、點(diǎn)估計(jì)量；若樣本的觀測(cè)值為，則稱(chēng)為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。例如，人的身高，一個(gè)樣本為,則為個(gè)人的平均身高，近似認(rèn)為總體均值為，即。用來(lái)估計(jì)，這里不是真值，而是估計(jì)值。 若總體的分布中含有m（m>1)個(gè)未知參數(shù)，則需構(gòu)造m個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為相應(yīng)m個(gè)未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量。下面介紹兩種常用的求未知參數(shù)點(diǎn)估計(jì)量的方法。1.矩估計(jì)法（1）總體階原點(diǎn)矩，樣本階原點(diǎn)矩 ，；（2）總體階中心矩，樣本階中心矩，。用相應(yīng)的樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩，如，等。同樣由于，故有。例1 設(shè)，一個(gè)樣本為。則 ， 或。例2 設(shè)，一個(gè)樣本為，則例3 設(shè)， ，一個(gè)樣本為，則 若，則有。由于參數(shù)可以由其總體的各階原點(diǎn)矩表示出來(lái)，即此時(shí)，用樣本原點(diǎn)矩

3、來(lái)估計(jì)總體原點(diǎn)矩代入上面的函數(shù)中就可以得到參數(shù)的估計(jì)，即因此，求的矩估計(jì)的關(guān)鍵就在于找出關(guān)系。例4 設(shè)，一個(gè)樣本為，求參數(shù)的矩估計(jì)。解 因?yàn)楣蕜t 2. 最大似然估計(jì)法設(shè)總體的一個(gè)樣本為（），由樣本的獨(dú)立性可得其中為總體的分布密度函數(shù)，為未知參數(shù)。設(shè)是的點(diǎn)估計(jì)量，則取樣本值的概率應(yīng)最大，于是我們選取使得最可能出現(xiàn)，步驟如下：（1）令（2）（3）（4）求出最大值點(diǎn)，則。例5 設(shè)， ，一個(gè)樣本為，其觀測(cè)值為，求的最大似然估計(jì)。解（1）令（2）（3）（4）令，則。故§6.2 判別估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩種參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的方法,它們是矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。對(duì)于同一個(gè)未知參數(shù),用不同的

4、估計(jì)法得到的點(diǎn)估計(jì)量一般是不相同的,那么哪一個(gè)估計(jì)量更好呢?為此我們需要建立判別估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn),而參數(shù)的所謂“最佳估計(jì)量”應(yīng)當(dāng)是在某種意義下最接近于。最佳估計(jì)量應(yīng)具有下列性質(zhì)：（1） 無(wú)偏性若的數(shù)學(xué)期望E（）=，則稱(chēng)是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。設(shè)樣本觀測(cè)值為，則稱(chēng)為參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)值。例6 設(shè)總體的均值，方差，證明樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量。證 因?yàn)闃颖鞠嗷オ?dú)立，且與總體服從相同分布，所以有 由于所以樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量。（2）有效性設(shè)=與=都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，若<則稱(chēng)較有效。有效估計(jì)量：當(dāng)樣本容量一定時(shí)，若的所有無(wú)偏估計(jì)量中，的方差最小，則稱(chēng)是參數(shù)的有效估計(jì)量。例7 證明樣本均值作為總體均值的估計(jì)量較個(gè)別樣本()有效。證 由例1知，與都是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量，即 又=,而,所以當(dāng)時(shí),故樣本均值作為總體均值的估計(jì)量較個(gè)別樣本()有效。例8 從總體中抽取樣本，證明下列三個(gè)統(tǒng)計(jì)量, 都是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量，并確定哪個(gè)估計(jì)量更有效。證 所以三個(gè)統(tǒng)計(jì)量都是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量。 由于的值最小，所以是三個(gè)估計(jì)量中最有效估計(jì)量。（3）一致性若對(duì)于任意給定的正數(shù)，有 P ()=1, 則稱(chēng)是參數(shù)的一致估計(jì)量。例9 設(shè)總體的均值，方差，證明樣本均值是總體均值的一致估計(jì)量。證 因?yàn)闃颖鞠嗷オ?dú)立，且與總體服從相同的