高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥 邏輯聯(lián)結(jié)詞相關(guān)知識小結(jié)

1、邏輯聯(lián)結(jié)詞相關(guān)知識小結(jié)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）了解“或”“且”“非”的復(fù)合命題的構(gòu)成； （2）理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義。 （3）判斷復(fù)合命題的真假。教學(xué)重點：判斷復(fù)合命題的真假。教學(xué)難點：對邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義的理解二、知識精講(一) 邏輯聯(lián)結(jié)詞1邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞。2簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。3復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。 常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，表示命題故復(fù)合命題有三種形式：p或q；p且q；非p4邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合的“交”“并”“補”的關(guān)系：復(fù)合命題的構(gòu)成與集合理論之間的關(guān)系 

2、   (1)復(fù)合命題  p或q    設(shè)命題p所述范疇記為集合A       命題q所述范疇記為集合B    則復(fù)合命題：p或q所述范疇對應(yīng)于集合AB，韋恩圖如圖1    (2)復(fù)合命題p且q    設(shè)：命題p所述范疇記為集合A           命題q所述范疇記為集合B &#

3、160;  則復(fù)合命題：p且q 所述范疇對應(yīng)于集合AB，韋恩圖如圖2(3)復(fù)合命題：非P設(shè)命題P所述范疇記為集合A，全集為U，則復(fù)合命題非P所述范疇對應(yīng)于集合CuA。韋恩圖如圖3 應(yīng)用：命題：非(P或q)對應(yīng)于集合Cu(AB)。而(非P)且(非q)對應(yīng)于集合(CuA)(CuB)，由集合理論德摩根律： Cu(AB)=(CuA)(CuB)，可以清楚看到，使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識到：非(P或q)(非P)且(非q)的正確性。例1、將命題：若x+y0   則x0或y0改變成否命題。解：其否命題為：若x+y0 則x0且y0例2、將命題：“菱形的對角互相垂直平分”改變成逆

4、否命題。 解：其逆否命題為：對角線不垂直或不平分的四邊形不是菱形。（二）判斷復(fù)合命題的真假 1“非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p非p真假假真 2“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假3“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假 注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時為假，其他情況為真；4判斷復(fù)合命題真假的步驟：（1）把復(fù)合命

5、題寫成兩個簡單命題，并確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式；（2）判斷簡單命題的真假；（3）根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題的真假。三、難點分析關(guān)于非命題問題1： 怎樣構(gòu)造簡單命題的非命題?非命題也叫命題的否定。非命題與原命題的真值相反。原命題為真，非命題為假；原命題為假，非命題為真。對量詞和判斷詞的否定：判斷詞“是”的否定是“不是”；“有” 的否定是“沒有”；“存在”的否定是“不存在”。量詞“所有”的否定是“不所有”即“有的”；“每一個” 的否定是“至少有一個不”； “都是”的否定是“不都是”即“至少有一個不是”；“都不是”的否定是“不都不是”即“至少有一個是”。對單稱命題的否定只要直接否定判斷詞。如“3是正數(shù)”的

6、非命題就是“3不是正數(shù)”。對全稱命題的否定在否定判斷詞時還要否定全稱量詞變成特稱命題。對省略全稱量詞的全稱命題要補回全稱量詞再否定。如“整數(shù)是有理數(shù)”就是全稱命題“所有整數(shù)都是有理數(shù)”；它的非命題是“有的整數(shù)不是有理數(shù)”對特稱命題的否定要否定特稱量詞變成全稱命題。如特稱命題“有的實數(shù)的平方不是正數(shù)” 的非命題是“所有實數(shù)的平方都是正數(shù)”；命題“所有的分?jǐn)?shù)都是無理數(shù)”的非命題是“有的分?jǐn)?shù)不是無理數(shù)”。問題2： 怎樣構(gòu)造復(fù)合命題的非命題?對復(fù)合命題的否定：“兩個命題的或命題”的否定是這“兩個命題的非命題的且命題”；“兩個命題的且命題”的否定是這“兩個命題的非命題的或命題”。例如“3 >1或

7、2 <3”的非命題是”3 1且2 3”; “3>5或 2<3”的非命題是”35且23”; “3>5或 2<1”的非命題是”35且21”。該結(jié)論的邏輯表達式是：（1） 非（p或q）（非p）且（非q） （2）非（p且q）（非p）或（非q），這其實就是邏輯運算的摩根律；可用真值表證明如下：(1)非（p或q）（非p）且（非q）命題p命題qp或q非（p或q）非p非q（非p）且（非q）TTTFFFFTFTFFTFFTTFTFFFFFTTTT(2)非（p且q）（非p）或（非q）命題p命題qp且q非（p且q）非p非q（非p）或（非q）TTTFFFFTFFTFTTFTFTTFTFF

8、FTTTT3 復(fù)合命題“若P則q”形式的否定。 “若P則q”型命題的否定實質(zhì)上較復(fù)雜，但在中學(xué)數(shù)學(xué)里所研究的命題都是具有實質(zhì)性蘊涵關(guān)系的命題，是具有真假性的命題，不能區(qū)分真假性的命題不作研究。“若P則q”的否定命題真值性與命題“P且非q”相同，故是等價命題。我們就此認(rèn)為：命題”若P則q”的否定為“P則非q”，且習(xí)慣表達為“雖然P，卻非q”的形式，或是“盡管P，然而非q”. 4 含量詞命題的否定。 數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“ ”

9、與“ ”來表示）；由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。那么它的否定又怎么樣？ 在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 由此看來，要準(zhǔn)確表達含量詞命題的否定，就要求我們掌握好一些詞語的否定如下表： 詞語： 是 一定是 都是 大于 小于 且 詞語的否定： 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 詞語： 必有一個 至少有n個 至多有一個 所有x成立 所有x不成立 詞語的否定： 一個也沒有 至多有n-1個 至少有兩個 存

10、在一個x不成立 存在有一個成立 5 命題的否定與否命題的區(qū)別。 命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：一，任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。二，命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。原命題“若P則q” 的形式，它的否定命題在前面已講過，命題”若P則q”的否定為“P則非q”，且習(xí)慣表達為“雖然P，卻非q”的形式，或是“盡管P，然而非q”.；而它的否命題為“若非P，則非q”，（記為“若p，則q”）即是說既否定條件又否定結(jié)論。四、范例分析：例1寫出下列命題的否定命題與

11、否命題。并判斷其真假性。 （1） 若xy,則5x5y。 （2） 正方形的四條邊相等。 （3） 已知a,b為實數(shù)，若+ax+b0有非空實解集，則-4b0。 解：（1）的否定： 若xy，則5x5y。 假命題 否命題：若xy 則5x5y。 真命題 （原命題為：若xy則 5x5y。真命題） （2）的否定：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等。假命題 否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題 （原命題是真命題） 。 （3）的否定：存在兩個實數(shù)a,b，雖然滿足+ax+b0有非空實解集，但使-4b0。假命題 否命題：已知a,b為實數(shù)，若+ax+b0沒有非空實解集，

12、則-4b0。真命題 （原命題為：對任意的實數(shù)a,b, 若+ax+b0有非空實解集，則-4b0真命題） 例2 已知.設(shè)函數(shù)在R上單調(diào)遞減.不等式的解集為R.如果和有且僅有一個正確，求的取值范圍.分析 此題雖是一道在老教材之下的高考試題，但揭示了“解不等式”一類高考試題的命題方向.在新教材中，絕對值不等式的解法和二次不等式的解法與集合運算、命題判斷都有一定聯(lián)系，屬于對于學(xué)生提出的基本要求內(nèi)容的范疇，本題將這幾部分知識內(nèi)容有機地結(jié)合在一起，在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本方法掌握的同時，考查了學(xué)生命題轉(zhuǎn)換，分類討論等能力，在不同的方法下有不同的運算量，較好地體現(xiàn)出了“多考一點想，少考一點算”的命題原則.解答

13、:函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不等式的解集為R函數(shù)在R上恒大于1，函數(shù)在R上的最小值為，不等式的解集為R，即，若正確，且不正確，則；若正確，且不正確，則；所以的取值范圍為.例3 已知條件和條件，請選取適當(dāng)?shù)膶崝?shù)的值，分別利用所給的兩個條件作為A、B構(gòu)造命題：“若A則B”，并使得構(gòu)造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題.則這樣的一個原命題可以是什么？并說明為什么這一命題是符合要求的命題.分析 本題為一開放性命題，由于能得到的答案不唯一，使得本題的求解沒有固定的模式，考生既能在一般性的推導(dǎo)中找到一個滿足條件的，也能先猜后證，所找到的實數(shù)只需滿足，且1即可.這種新穎的命題形式有較強的綜合性，同時也是對于四個

14、命題考查的一種新嘗試，如此命題可以考查學(xué)生探究問題、解決問題的能力，符合當(dāng)今倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)方向.解答 已知條件即，或，或，已知條件即，或；令，則即，或，此時必有成立，反之不然.故可以選取的一個實數(shù)是，A為，B為，對應(yīng)的命題是若則，由以上過程可知這一命題的原命題為真命題，但它的逆命題為假命題.例4 已知；¬是¬的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.分析 本題實為上一命題的姊妹題，將命題的表述重心移至充要條件，使用了學(xué)生較為熟悉的語言形式.充要條件是一個十分重要的數(shù)學(xué)概念，新教材將這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)放在第一章，從而也可能利用第一章的知識內(nèi)容來命題考查這一概念.本例是一道揉絕對值不等式、二次不等式的求解與充要條件的運用于一起的較好試題，要求學(xué)生能正確運用數(shù)學(xué)符號，規(guī)范數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為，否則連讀題審題都感困難.解答 由得，由，得，¬即，或，而¬即，或；由¬是¬的必要不